Kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu, nazywamy kątem środkowym.

Kątem wpisanym nazywamy kąt mniejszy od kąta półpełnego, którego wierzchołkiem jest pewien punkt (np. punkt  $C$) leżący na okręgu, a jego ramiona przecinają okrąg w  dwóch punktach (np.  $A$ oraz $B$ - różnych od punktu $C$).

Na rysunku poniżej punkty: $A,B,C,D,E$ i $F$ dzielą okrąg na sześć równych łuków. Znajdziemy miary zaznaczonych kolorami kątów środkowych na rysunku.

Na początek połączmy punkty: $A,B,C,D,E$ i $F$ tak, aby powstał sześciokąt. Ponieważ punkty te dzieliły okrąg na równe łuki, więc sześciokąt jest foremny. Prowadząc średnice okręgu o końcach w wierzchołkach sześciokąta, dzielimy go na sześć trójkątów równobocznych.

Miara kąta środkowego $AOC$ jest zatem równa $120°$, a miara kąta $FOE$ - $60°$.

R1ERPdDhu1986

Ilustracja pierwsza przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu zaznaczono sześć punktów kolejno od A do F. W okręgu poprowadzono cztery promiennie: O A, O C, O E, O F. Kolorem wyróżniono dwa kąty wyznaczone przez te promienie: kąt oparty na łuku A B C oraz kąt oparty na łuku E F.

R1HNaGVPe0HuE

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. Na okręgu zaznaczono sześć punktów kolejno od A do F. Punkty są od siebie równo oddalone. Punkty te połączono odcinkami, tworząc sześciokąt foremny wpisany w okrąg. Do każdego z punktów poprowadzono promień. Każdy kąt pomiędzy dwoma leżącymi obok siebie promieniami ma miarę 60 stopni.

Punkty: $A,B,C,D,E$ i $F$ są wierzchołkami sześciokąta foremnego (rysunek poniżej). Jakie miary mają kąty wypukłe $FDE$ oraz $CDA$?

Kąt $CDA$ ma miarę $60°$, co można zauważyć, analizując drugi rysunek poniżej. Kąt $FDE$ ma z kolei miarę $30°$.

Aby się o tym przekonać, spójrzmy najpierw na romb $FODE$ na kolejnym rysunku. Kąt $ODE$ ma miarę $60°$. Przekątna rombu $DF$ dzieli ten kąt na połowy.

Stąd miara kąta $FDE$ jest równa $30°$.

RMiTw5FEkkYFe

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. Na okręgu zaznaczono sześć punktów kolejno od A do F. Punkty są od siebie równo oddalone. W okręgu poprowadzono cztery cięciwy wyznaczające dwa kąty wpisane: kąt E D F oraz kąt A D C, gdzie A D jest średnicą okręgu.

Ru3QCBMmkLJmO

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. Na okręgu zaznaczono sześć punktów kolejno od A do F. Punkty są od siebie równo oddalone. Punkty te połączono odcinkami narysowanymi linią przerywaną, tworząc sześciokąt foremny wpisany w okrąg. Do każdego z punktów poprowadzono promień. Kolorem wyróżniono trójkąt D O C i zaznaczono kąt o mierze 60 stopni przy wierzchołku D trójkąta.

R61c3irEhmuMr

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. Na okręgu zaznaczono sześć punktów kolejno od A do F. Punkty są od siebie równo oddalone. Punkty te połączono odcinkami narysowanymi linią przerywaną, tworząc sześciokąt foremny wpisany w okrąg. Kolorem wyróżniono kąt wpisany E D F o mierze 30 stopni. Promień O E jest prostopadły do ramienia D F kąta wpisanego.

Kąt środkowy, oparty na tym samym łuku co kąt wpisany o mierze $\beta$, ma miarę $2\beta$.

R1dZXMPwCs5a3

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. W okręgu narysowano kąt wpisany o mierze beta, którego wierzchołki znajdują się na okręgu oraz kąt środkowy oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany, wierzchołek kąta środkowego znajduje się w punkcie O i ma on miarę dwa beta.

Jeśli kąt wpisany ma miarę $\beta =23°$, to kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę $\alpha =2·23°=46°$.

Jeśli kąt środkowy ma miarę $\alpha =80°$, to kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę $\beta =40°$.

Każdy kąt środkowy oparty na półokręgu ma miarę $180°$. A zatem każdy z kątów wpisanych opartych na półokręgu (mówimy też: opartych na średnicy okręgu) ma miarę równą $90°$. Także na odwrót: jeśli kąt wpisany jest kątem prostym, to odpowiada mu półpełny kąt środkowy.

RwhQfMtkU4XgK

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. W okręgu wykreślono średnicę. Zaznaczono kąt 180 stopni, który wyznacza średnica. W drugiej połowie okręgu zaznaczono trzy kąty oparte na średnicy o wierzchołkach na okręgu. Każdy z tych kątów ma miarę 90 stopni.

Kąt wpisany jest kątem prostym wtedy i tylko wtedy, gdy oparty jest na półokręgu.

Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa przeciwprostokątnej trójkąta. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej.

Promień $R$ okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $2$ i $3$ jest równy połowie długości przeciwprostokątnej , czyli:
$R=\frac{1}{2}\sqrt{4+9}=\frac{1}{2}\sqrt{13}$.

Zauważmy, że gdy ustalimy pewien kąt środkowy o mierze $\alpha$ oparty na danym łuku $AB$, to każdy z kątów wpisanych opartych na tym samym łuku ma miarę $\frac{1}{2}\alpha$. Wszystkie kąty wpisane oparte na łuku $AB$ są więc równe.

R17qv2K6mTAZB

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. W okręgu narysowano kąt środkowy alfa oraz trzy kąty wpisane oparte na tym samym łuku, każdy o mierze jedna druga alfa. Każdy z kątów wpisanych wyznaczają różnej długości cięciwy.

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

RhWq5GveKfvtQ

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. W okręgu narysowano cztery kąty wpisane oparte na tym samym łuku, jednak wyznaczone różnymi cięciwami. Każdy z kątów ma miarę beta.

Kąt wpisany i kąt środkowy oparte są na tym samym łuku okręgu, a suma ich miar wynosi $120°$. Oblicz miarę kąta wpisanego.

Rozwiązanie

Oznaczmy miarę kąta wpisanego przez $\alpha$, wówczas miara kąta środkowego opartego na tym samym łuku okręgu jest równa $2\alpha$. Mamy zatem:
$\alpha +2\alpha =120°$,
$\alpha =40°$.

Odpowiedź: Kąt wpisany ma miarę równą $40°$.

Punkty: $K,L,M,N$ są czterema kolejnymi wierzchołkami piętnastokąta foremnego wpisanego w okrąg o środku $O$. Oblicz sumę miar mniejszego z kątów środkowych $NOK$ oraz kąta wpisanego $NLM$.

Rozwiązanie

Wierzchołki piętnastokąta foremnego dzielą okrąg na piętnaście przystających łuków. Kąt środkowy, oparty na każdym z takich łuków, ma miarę $\frac{360°}{15}=24°$. Stąd miara mniejszego z kątów środkowych $NOK$ wynosi:
$3·24°=72°$
Kąt wpisany $NLM$ jest oparty na piętnastej części okręgu, czyli ma miarę równą:
$\frac{1}{2}·24°=12°$.

Odpowiedź: Suma miar mniejszego z kątów środkowych $NOK$ i kąta wpisanego $NLM$ jest równa $84°$.

kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu

kąt mniejszy od kąta półpełnego, którego wierzchołkiem jest pewien punkt (np.  $C$ ) leżący na okręgu, a jego ramiona przecinają okrąg w  dwóch punktach (np.  $A$ oraz $B$ -różnych od punktu $C$)