Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie
Geografowie określają położenie obiektów na kuli ziemskiej, korzystając z układu współrzędnych geograficznych, który wyznaczają południki, równoleżniki, równik i bieguny. Punkt zaznaczony na siatce geograficznej opisywany jest za pomocą pary liczb, nazywanej jego współrzędnymi geograficznymi. Pierwsza współrzędna to długość geograficzna, a druga – szerokość geograficzna. Punkt przecięcia południka zerowego z równikiem to początek układu współrzędnych.
Współrzędne punktu : długości geograficznej wschodniej, szerokości geograficznej północnej.
W zapisie międzynarodowym:
W praktyce do szybkiego wyznaczania położenia obiektu (nawet poruszającego się) wykorzystuje się najczęściej Globalny System Nawigacji (GPS), który obejmuje swym zasięgiem całą kulę ziemską. System ten jest ogólnodostępny, z jego usług może korzystać każda osoba, która posiada odpowiedni odbiornik.
Układy współrzędnych stosuje się również w wielu innych dziedzinach wiedzy, np. w geodezji, fizyce (do opisywania ruchu ciał).
Odczytaj współrzędne geograficzne (szerokość i długość) następujących miejscowości:
![](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1CRdsh458sAR/6/1yvGWR3ZgMOhyU4Ckzt5WltUpZuuwqfp.png)
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsGqD5YZu
Międzyrzec Podlaski,
Tarnów
Kraków
Kartezjański układ współrzędnych
W matematyce najczęściej posługujemy się układem współrzędnych, który tworzą dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe. Punkt przecięcia tych prostych, nazywany jest początkiem układu współrzędnych.
![Rysunek układu współrzędnych. Oś pozioma OX oznaczona jako oś odciętych, oś pionowa OY – oś rzędnych. Punkt przecięcia osi OX i OY to początek układu współrzędnych.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1LMpSzOd1aVI/4/OxMW68qmjB1o7Q2KkSTb9z5VEhXN3NUB.png)
Oś pozioma (pierwsza oś) nazywana jest osią odciętych lub osią .
Oś pionowa (druga oś) nazywana jest osią rzędnych lub osią .
Prostokątny układ współrzędnych nazywany jest układem kartezjańskim od Kartezjusza (Rene Descartes’a), znakomitego siedemnastowiecznego francuskiego matematyka, przyrodnika i filozofa, którego uważa się za prekursora stosowania metod geometrycznych w zagadnieniach algebraicznych.
Powszechnie znana jest sentencja filozoficzna Kartezjusza „Myślę, więc jestem”.
![Grafika statyczna](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1Tz7EmdyqZUM/4/Ayq82n5VHGoJ6vfQe3Jn76bsibJlCbY7.jpg)
Każdemu punktowi zaznaczonemu w układzie współrzędnych odpowiada uporządkowana para liczb nazywanych jego współrzędnymi.
Zapisujemy
![Zapis: P = (x, y). Pierwsza współrzędna x to odcięta punktu P. Druga współrzędna y to rzędna punktu P.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1Hx2VH5XZrtn/4/2OB4efInohszNVIhfr2jjUIjmSNQZSC9.png)
Pierwsza współrzędna określa położenie punktu względem osi , a druga – względem osi .
Aby wyznaczyć pierwszą współrzędną punktu , można zaznaczyć prostą prostopadłą do osi przechodzącą przez punkt . Liczba odpowiadająca punktowi, w którym ta prosta przecina oś , jest pierwszą współrzędną punktu – odciętą punktu .
Aby wyznaczyć drugą współrzędną punktu , można zaznaczyć prostą prostopadłą do osi przechodzącą przez punkt . Liczba odpowiadająca punktowi, w którym ta prosta przecina oś , jest drugą współrzędną punktu – rzędną punktu .
Współrzędne punktu : pierwsza współrzędna to , a druga to . Zapisujemy .
Współrzędne punktu : pierwsza współrzędna to , a druga to . Zapisujemy .
Współrzędne punktu : pierwsza współrzędna to , a druga to . Zapisujemy .
Współrzędne punktu : pierwsza współrzędna to , a druga to . Zapisujemy .
Najczęściej na obu osiach układu współrzędnych obieramy jednakowe jednostki tak, aby można było zaznaczyć dane punkty.
![Rysunki dwóch układów współrzędnych: Na pierwszy układzie współrzędnych odcinek jednostkowy na osi OX i osi OY równa się 10. Zaznaczone punkty: A =(10, 40), B =(-30, -20). Na drugim układzie współrzędnym odcinek jednostkowy na osi OX i osi OY równa się 50. Zaznaczone punkty: G =(-150, 200), H =(350, -150).](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RNxC9Zicxk3V7/4/1yDNWSOPeqcQUbbJt2AyJO7AlKexQCa8.png)
W zastosowaniach praktycznych, gdy na osiach układu współrzędnych zaznaczane są różne wielkości, jednostki mogą mieć różne długości.
![Wykres zależności zmiany objętości rtęci w zależności od temperatury w układzie współrzędnym. Na osi odciętych, odcinek jednostkowy równy 4, zaznaczona temperatura t mierzona w stopniach Celsjusza. Na osi rzędnych, odcinek jednostkowy równy 0,001, zaznaczona objętość względna rtęci. Wraz ze wzrostem temperatury wzrasta objętość względna rtęci.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1XwoC40KS7Ir/4/1z30MLcuEY9UjWESaHdyHdsRlPnJdxX0.png)
Wykres zmiany objętości rtęci w zależności od temperatury.
W układzie współrzędnych zaznaczone są punkty leżące na osiach układu.
Odczytajmy ich współrzędne.
Punkty leżące na osi :
Punkty leżące na osi :
Zauważmy, że
punkty leżące na osi mają drugą współrzędną równą
punkty leżące na osi mają pierwszą współrzędną równą
Początek układu współrzędnych (punkt ) ma współrzędne .
Podaj współrzędne punktu .
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsGqD5YZu
W układzie współrzędnych ustaw punkt tak, aby miał dane współrzędne.
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsGqD5YZu
Ćwiartki układu współrzędnych
![Rysunek układu współrzędnych. Osie OX i OY dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. I ćwiartka – prawa górna płaszczyzna, II ćwiartka – lewa górna płaszczyzna. III ćwiartka – lewa dolna płaszczyzna. IV ćwiartka – prawa dolna płaszczyzna.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RVdwT86bunG2G/4/uPsw7rG4HIbPAr2ikdiL6M21LR4DYjW3.png)
Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery części nazywane ćwiartkami.
Ćwiartki numerujemy: I, II, III, IV przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Punktów leżących na osiach układu współrzędnych nie zaliczamy do żadnej ćwiartki.
Zmieniaj położenie punktu zaznaczonego w układzie współrzędnych.
Zaobserwuj znaki pierwszej oraz drugiej współrzędnej punktu w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsGqD5YZu
Jeżeli punkt należy do:
ćwiartki układu współrzędnych, to obie jego współrzędne są liczbami dodatnimi,
ćwiartki układu współrzędnych, to jego pierwsza współrzędna jest liczbą ujemną, a druga dodatnią,
ćwiartki układu współrzędnych, to obie jego współrzędne są liczbami ujemnymi.
ćwiartki układu współrzędnych, to jego pierwsza współrzędna jest liczbą dodatnią, a druga ujemną.
R1b3msZGOj2nr1 Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsGqD5YZu
Narysuj układ współrzędnych, dobierz odpowiednio jednostkę i zaznacz punkty i .
Podaj współrzędne punktu .
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsGqD5YZu
Punkt znajduje się w układzie współrzędnych na osi odciętych, gdy
Jeżeli punkt znajduje się na osi , to
Znajdź liczbę wiedząc, że
punkt leży na osi .
punkt leży na osi
Przeciągnij punkty do odpowiedniej ćwiartki układu współrzędnych.
<span aria-label="H, równa się, nawias trzysta dwanaście przecinek jeden trzy dwa zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mi>H</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>312</mn><mo>,</mo><mn>132</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="C, równa się, nawias, minus, dwadzieścia trzy, przecinek, minus, trzydzieści trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mi>C</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>23</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>33</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="F, równa się, nawias, minus, osiemset dziewięć przecinek dziewięć zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mi>F</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>809</mn><mo>,</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="I, równa się, nawias dziesięć, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mi>I</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="B, równa się, nawias, minus, dwadzieścia sześć przecinek jeden osiem siedem zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mi>B</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>26</mn><mo>,</mo><mn>187</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="A, równa się, nawias dwanaście przecinek trzy dwa zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mi>A</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>12</mn><mo>,</mo><mn>32</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="E, równa się, nawias sto, przecinek, minus, siedemset sześćdziesiąt pięć zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mi>E</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>100</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>765</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="G, równa się, nawias, minus, dziewięćdziesiąt jeden, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mi>G</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>91</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="D, równa się, nawias, minus, trzysta sześćdziesiąt pięć przecinek dwa zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mi>D</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>365</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math></span>
I ćwiartka | |
---|---|
II ćwiartka | |
III ćwiartka | |
IV ćwiartka |
W której ćwiartce układu współrzędnych leży punkt ?
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsGqD5YZu
Jeżeli punkt znajduje się w ćwiartce układu współrzędnych, to liczba może być równa
Punkt znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
- Tak, ponieważ odcięta jest liczbą ujemną
- Nie, ponieważ odcięta jest liczbą ujemną
- Tak, ponieważ rzędna jest liczbą ujemną.
- Nie, ponieważ obie współrzędne są ujemne.
- Tak, ponieważ obie współrzędne są ujemne.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
- Punkty i mają taką samą rzędną.
- Punkty i znajdują się na osi odciętych.
Zaznacz w układzie współrzędnych cztery różne punkty , z których każdy znajduje się w innej ćwiartce układu współrzędnych. Odczytaj współrzędne tych punktów i uzupełnij tabelkę.
Nazwa punktu | Pierwsza współrzędna punktu | Druga współrzędna punktu | Numer ćwiartki układu współrzędnych, w której znajduje się punkt |
Zaznacz w układzie współrzędnych taki punkt
którego obie współrzędne są równe
którego druga współrzędna jest o mniejsza od pierwszej
którego pierwsza współrzędna jest dwukrotnie większa od drugiej
Zaznacz w układzie współrzędnych punkty . Co powiesz o ich wzajemnym położeniu?
Punkty skrajne Polski
Najdalej na północ wysunięty kraniec Polski o współrzędnych – miejscowość Jastrzębia Góra w gminie Władysławowo, powiat pucki.
Najdalej na południe wysunięty kraniec Polski – szczyt Opołonek w gminie Lutowiska, powiat bieszczadzki.
Najdalej na zachód wysunięty kraniec Polski – kolano Odry koło Osinowa Dolnego w gminie Cedynia, powiat gryfiński.
Najdalej na wschód wysunięty kraniec Polski – kolano Bugu we wsi Zosin w gminie Horodło, powiat hrubieszowski.
Środek geometryczny Polski znajduje się we wsi Piątek, na wschód od Łęczycy, na południe od Kutna, a na północ od Łodzi.
Oblicz różnicę czasu słonecznego między skrajnymi punktami Polski wschodnim i zachodnim.
W Szczecinie jest godzina w południe czasu słonecznego. Która godzina czasu słonecznego jest wtedy w Lublinie?
W Warszawie czas słoneczny określany jest według południka . Jaka jest różnica czasu słonecznego między Warszawą a Rzeszowem?
Określ współrzędne geograficzne środka Polski.
Jednym z najbardziej tajemniczych miejsc na ziemi jest Trójkąt Bermudzki.
Określ współrzędne geograficzne wierzchołków tego trójkąta i dowiedz się, czym się charakteryzuje ten obszar.