Przeczytaj

Wzór funkcji kwadratowej $f$ możemy zapisać w postaci:

ogólnej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $x \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ ,

kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = \frac{- ∆}{4 a}$ , $Δ = b^{2} - 4 a c$ oraz $a \neq 0$ .

Oprócz postaci ogólnej i kanonicznej, występuje również postać iloczynowapostać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej.

Niektóre wzory funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej możemy zapisać w postaci iloczynowej poprzez wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, czy wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

Przykład 1

Zapiszemy w postaci iloczynowej wzór funkcji kwadratowej $f$ :

$f (x) = x^{2} - 25$
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, wzór funkcji $f$ przedstawiamy w postaci iloczynowej:
$f (x) = (x - 5) (x + 5)$
$f (x) = 2 x^{2} - 10 x$
Rozwiązanie:
Po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias otrzymujemy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej:
$f (x) = 2 x (x - 5)$
$f (x) = x^{2} - 12 x + 36$
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, wzór funkcji $f$ przedstawiamy w postaci iloczynowej:
$f (x) = {(x - 6)}^{2}$

Występowanie postaci iloczynowej wzoru funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego.

Dla $∆ > 0$ mamy:

Jeżeli $∆ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .

Wtedy wzór funkcji kwadratowej $f$ zapisujemy w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej: $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Dla $∆ = 0$ mamy:

Jeżeli $∆ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe: $x_{0} = \frac{- b}{a}$ .

Wtedy wzór funkcji kwadratowej $f$ zapisujemy w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej: $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ .

Dla $∆ < 0$ mamy:

Jeżeli $∆ < 0$ , to funkcja kwadratowa $f$ nie ma miejsc zerowych.

Jeżeli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, wówczas postać iloczynowapostać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej nie istnieje.

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ sprowadza się do rozwiązania równania $a x^{2} + b x + c = 0$ , czyli do wyznaczenia pierwiastków odpowiedniego równania kwadratowego.

Przedstawienie wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej jest równoznaczne z zapisaniem wzoru tej funkcji w postaci iloczynu czynników liniowych.

W celu zamiany wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej na postać iloczynową, użyjemy podanych wcześniej zależności.

Przykład 2

Zapiszemy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej, jeżeli $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ .

Rozwiązanie:

Współczynniki we wzorze funkcji $f$ wynoszą odpowiednio: $a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$ .

Obliczamy wyróżnik:

$∆ = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25$ .

Ponieważ $∆ > 0$ , to funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe.

Zatem: $\sqrt{∆} = 5$ oraz $x_{1} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ i $x_{2} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Postać iloczynowa wzoru funkcji $f$ wynosi $f (x) = 2 (x - \frac{1}{2}) (x - 3)$ .

Z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej możemy odczytać jej miejsce zerowe, bez wykonywania obliczeń.

Przykład 3

Bez obliczania wartości wyróżnika, podamy jego znak, jeżeli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = - 3 (x + 8) (x - 2)$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ jest zapisany w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , zatem miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $x_{1} = - 8$ oraz $x_{2} = 2$ .

Ponieważ funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, zatem $∆ > 0$ .

Postać iloczynową funkcji kwadratowej możemy w łatwy sposób zamienić na postać ogólną.

Przykład 4

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 (x - 2) (x + 1)$ w postaci ogólnej.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wystarczy wykonać mnożenie jednomianów, a następnie uporządkować je tak, aby otrzymać postać ogólną wzoru funkcji kwadratowej.

Otrzymujemy, że: $f (x) = - 3 (x^{2} + x - 2 x - 2) = - 3 (x^{2} - x - 2) = - 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Wzór na postać iloczynową funkcji kwadratowej możemy wykorzystać do znajdowania brakujących współczynników we wzorze tej funkcji, mając dane np. miejsca zerowe tej funkcji.

Przykład 5

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci iloczynowej wiedząc, że jej miejscami zerowymi są liczby $3$ i $- 2$ , jeżeli do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $P = (- 3, 2)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, więc wykorzystamy jej wzór w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Po podstawieniu do wzoru funkcji $x_{1} = 3$ oraz $x_{2} = - 2$ mamy: $f (x) = a (x - 3) (x + 2)$ . Ponieważ punkt $P$ należy do wykresu funkcji, zatem do wyznaczania wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie:

$2 = a (- 3 - 3) (- 3 + 2)$

$a = \frac{1}{3}$ .

Postać iloczynowa funkcji $f$ wyraża się wzorem: $f (x) = \frac{1}{3} (x - 3) (x + 2)$ .

Przykład 6

Wyznaczymy wartości współczynników $b$ i $c$ we wzorze funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} + b x + c$ , jeżeli miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $x_{1} = - 3$ oraz $x_{2} = 2$ .

Rozwiązanie:

W tym celu wykorzystamy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Wtedy $f (x) = 2 (x + 3) (x - 2)$ , co po przekształceniu sprowadza się do postaci:

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 12$ , zatem $b = 2$ i $c = - 12$ .

Dla zainteresowanych

Przeanalizuj symulację i sprawdź swoją wiedzę w zakresie wyznaczania postaci iloczynowej funkcji kwadratowej, mając daną jej postać ogólną.

RzBmlGxKZnRMN

RviMVSbgY4UWj

Ćwiczenie 1

Daną mamy funkcję:

f (x) = - 7 x^{2} + 28 x - 28

. Wyznacznik tej funkcji kwadratowej to:

∆ = b^{2} - 4 a c =

- 28

, 2.

{(x - 2)}^{2}

, 3.

2

, 4.

28^{2}

, 5.

\frac{- 28}{2 \times - 7}

, 6.

- 7

, 7.

0

, 8.

- 7

- 4 \times

- 28

, 2.

{(x - 2)}^{2}

, 3.

2

, 4.

28^{2}

, 5.

\frac{- 28}{2 \times - 7}

, 6.

- 7

, 7.

0

, 8.

- 7

\times

- 28

, 2.

{(x - 2)}^{2}

, 3.

2

, 4.

28^{2}

, 5.

\frac{- 28}{2 \times - 7}

, 6.

- 7

, 7.

0

, 8.

- 7

=

- 28

, 2.

{(x - 2)}^{2}

, 3.

2

, 4.

28^{2}

, 5.

\frac{- 28}{2 \times - 7}

, 6.

- 7

, 7.

0

, 8.

- 7

. Zatem miejsce zerowe tej funkcji to:

x_{0} = \frac{- b}{2 a} =

- 28

, 2.

{(x - 2)}^{2}

, 3.

2

, 4.

28^{2}

, 5.

\frac{- 28}{2 \times - 7}

, 6.

- 7

, 7.

0

, 8.

- 7

=

- 28

, 2.

{(x - 2)}^{2}

, 3.

2

, 4.

28^{2}

, 5.

\frac{- 28}{2 \times - 7}

, 6.

- 7

, 7.

0

, 8.

- 7

. Ostatecznie postać iloczynowa funkcji wygląda następująco:

f (x) = a {(x - x_{0})}^{2} =

- 28

, 2.

{(x - 2)}^{2}

, 3.

2

, 4.

28^{2}

, 5.

\frac{- 28}{2 \times - 7}

, 6.

- 7

, 7.

0

, 8.

- 7

- 28

, 2.

{(x - 2)}^{2}

, 3.

2

, 4.

28^{2}

, 5.

\frac{- 28}{2 \times - 7}

, 6.

- 7

, 7.

0

, 8.

- 7

Słownik

postać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej

$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , gdy $∆ > 0$ , $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$

$f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ , gdy $∆ = 0$ , $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

brak postaci iloczynowej, gdy $∆ < 0$

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Dla $∆ > 0$ mamy:

Dla $∆ = 0$ mamy:

Dla $∆ < 0$ mamy:

Dla zainteresowanych

Słownik

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Przeczytaj

Dla ∆>0 mamy:

Dla ∆=0 mamy:

Dla ∆<0 mamy:

Dla zainteresowanych

Słownik

Dla $∆ > 0$ mamy:

Dla $∆ = 0$ mamy:

Dla $∆ < 0$ mamy: