Przeczytaj

Wzór funkcji kwadratowej $f$ możemy zapisać w postaci:

ogólnej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $x \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ ,

kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = \frac{- ∆}{4 a}$ , $Δ = b^{2} - 4 a c$ oraz $a \neq 0$ .

Oprócz postaci ogólnej i kanonicznej, występuje również postać iloczynowapostać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej.

Niektóre wzory funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej możemy zapisać w postaci iloczynowej poprzez wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, czy wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

Przykład 1

Zapiszemy w postaci iloczynowej wzór funkcji kwadratowej $f$ :

$f (x) = x^{2} - 25$
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, wzór funkcji $f$ przedstawiamy w postaci iloczynowej:
$f (x) = (x - 5) (x + 5)$
$f (x) = 2 x^{2} - 10 x$
Rozwiązanie:
Po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias otrzymujemy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej:
$f (x) = 2 x (x - 5)$
$f (x) = x^{2} - 12 x + 36$
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, wzór funkcji $f$ przedstawiamy w postaci iloczynowej:
$f (x) = {(x - 6)}^{2}$

Występowanie postaci iloczynowej wzoru funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego.

Dla $∆ > 0$ mamy:

Jeżeli $∆ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .

Wtedy wzór funkcji kwadratowej $f$ zapisujemy w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej: $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Dla $∆ = 0$ mamy:

Jeżeli $∆ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe: $x_{0} = \frac{- b}{a}$ .

Wtedy wzór funkcji kwadratowej $f$ zapisujemy w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej: $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ .

Dla $∆ < 0$ mamy:

Jeżeli $∆ < 0$ , to funkcja kwadratowa $f$ nie ma miejsc zerowych.

Jeżeli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, wówczas postać iloczynowapostać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej nie istnieje.

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ sprowadza się do rozwiązania równania $a x^{2} + b x + c = 0$ , czyli do wyznaczenia pierwiastków odpowiedniego równania kwadratowego.

Przedstawienie wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej jest równoznaczne z zapisaniem wzoru tej funkcji w postaci iloczynu czynników liniowych.

W celu zamiany wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej na postać iloczynową, użyjemy podanych wcześniej zależności.

Przykład 2

Zapiszemy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej, jeżeli $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ .

Rozwiązanie:

Współczynniki we wzorze funkcji $f$ wynoszą odpowiednio: $a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$ .

Obliczamy wyróżnik:

$∆ = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25$ .

Ponieważ $∆ > 0$ , to funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe.

Zatem: $\sqrt{∆} = 5$ oraz $x_{1} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ i $x_{2} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Postać iloczynowa wzoru funkcji $f$ wynosi $f (x) = 2 (x - \frac{1}{2}) (x - 3)$ .

Z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej możemy odczytać jej miejsce zerowe, bez wykonywania obliczeń.

Przykład 3

Bez obliczania wartości wyróżnika, podamy jego znak, jeżeli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = - 3 (x + 8) (x - 2)$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ jest zapisany w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , zatem miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $x_{1} = - 8$ oraz $x_{2} = 2$ .

Ponieważ funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, zatem $∆ > 0$ .

Postać iloczynową funkcji kwadratowej możemy w łatwy sposób zamienić na postać ogólną.

Przykład 4

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 (x - 2) (x + 1)$ w postaci ogólnej.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wystarczy wykonać mnożenie jednomianów, a następnie uporządkować je tak, aby otrzymać postać ogólną wzoru funkcji kwadratowej.

Otrzymujemy, że: $f (x) = - 3 (x^{2} + x - 2 x - 2) = - 3 (x^{2} - x - 2) = - 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Wzór na postać iloczynową funkcji kwadratowej możemy wykorzystać do znajdowania brakujących współczynników we wzorze tej funkcji, mając dane np. miejsca zerowe tej funkcji.

Przykład 5

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci iloczynowej wiedząc, że jej miejscami zerowymi są liczby $3$ i $- 2$ , jeżeli do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $P = (- 3, 2)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, więc wykorzystamy jej wzór w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Po podstawieniu do wzoru funkcji $x_{1} = 3$ oraz $x_{2} = - 2$ mamy: $f (x) = a (x - 3) (x + 2)$ . Ponieważ punkt $P$ należy do wykresu funkcji, zatem do wyznaczania wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie:

$2 = a (- 3 - 3) (- 3 + 2)$

$a = \frac{1}{3}$ .

Postać iloczynowa funkcji $f$ wyraża się wzorem: $f (x) = \frac{1}{3} (x - 3) (x + 2)$ .

Przykład 6

Wyznaczymy wartości współczynników $b$ i $c$ we wzorze funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} + b x + c$ , jeżeli miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $x_{1} = - 3$ oraz $x_{2} = 2$ .

Rozwiązanie:

W tym celu wykorzystamy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Wtedy $f (x) = 2 (x + 3) (x - 2)$ , co po przekształceniu sprowadza się do postaci:

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 12$ , zatem $b = 2$ i $c = - 12$ .

Dla zainteresowanych

Przeanalizuj symulację i sprawdź swoją wiedzę w zakresie wyznaczania postaci iloczynowej funkcji kwadratowej, mając daną jej postać ogólną.

RzBmlGxKZnRMN

RviMVSbgY4UWj

Ćwiczenie 1

Daną mamy funkcję: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia osiem x, minus, dwadzieścia osiem. Wyznacznik tej funkcji kwadratowej to: DELTA, równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a c, równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem minus, cztery ×1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem ×1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem. Zatem miejsce zerowe tej funkcji to: x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, b, mianownik, dwa a, koniec ułamka, równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem. Ostatecznie postać iloczynowa funkcji wygląda następująco: f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, a nawias, x, minus, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem

Słownik

postać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej

$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , gdy $∆ > 0$ , $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$

$f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ , gdy $∆ = 0$ , $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

brak postaci iloczynowej, gdy $∆ < 0$

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Dla $∆ > 0$ mamy:

Dla $∆ = 0$ mamy:

Dla $∆ < 0$ mamy:

Dla zainteresowanych

Słownik

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Przeczytaj

Dla ∆>0 mamy:

Dla ∆=0 mamy:

Dla ∆<0 mamy:

Dla zainteresowanych

Słownik

Dla $∆ > 0$ mamy:

Dla $∆ = 0$ mamy:

Dla $∆ < 0$ mamy: