Pole sześciokąta znajdującego się w podstawie ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $9\sqrt{3}$. Obliczymy długości krawędzi i przekątnych podstawy tego ostrosłupa.

Korzystając ze wzoru na pole sześciokąta foremnego, mamy $6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$.

Mnożąc stronami przez $4$, mamy $6a^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}$.

A to oznacza, że $a^2=6$.

Czyli krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegokrawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegokrawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $\sqrt{6}$, dłuższa przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegodłuższa przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegodłuższa przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość$2\sqrt{6}$, a krótsza: $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Obliczymy długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego suma długości krawędzi podstawy wynosi $12$, a kąt między sąsiednimi krawędziami bocznymi ma miarę $26°$.

Krawędź podstawy ma długość $2$. Możemy obliczyć długość krawędzi bocznej korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

RS143XMklQR7r

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, jest ona pod kątem prostym do podstawy, a jej spodek znajduje się w miejscu przecięcia dłuższych przekątnych ostrosłupa. Pomiędzy wysokością ściany bocznej ostrosłupa a krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z krawędzi bocznej ostrosłupa, wysokości ściany bocznej oraz fragmentu krawędzi podstawy, który łączy te odcinki. Krawędź boczna tego ostrosłupa została podpisana literą b. Fragment krawędzi podstawy, będący jedną z przyprostokątnych zaznaczonego trójkąta ma długość jeden. Pomiędzy wysokością tego trójkąta a krawędzią boczną zaznaczono kąt o mierze trzynastu stopni.

$\sin 13°=\frac{1}{b}$. Po odczytaniu z tabeli wartości trygonometrycznych otrzymujemy $b=\frac{1}{0,2250}\approx 4,44$.

Obliczymy długość dłuższej przekątnej podstawy ostrosłupa, którego krawędź boczna ma długość $12$, a wysokość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegowysokość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegowysokość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $9$.

RipqzQ46P9Aj5

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, jest ona pod kątem prostym do podstawy i ma długość dziewięć. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z krawędzi bocznej ostrosłupa, wysokości ostrosłupa oraz fragmentu przekątnej podstawy, który łączy te dwa odcinki. Jest to trójkąt prostokątny. Krawędź boczna tego ostrosłupa, która jest przeciwprostokątną, ma długość dwanaście. Fragment przekątnej podpisano literą a.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$9^2+a^2={12}^2$, a stąd dalej $81+a^2=144$.

Czyli $a^2=63$.

A zatem $a=3\sqrt{7}$.

Długość dłuższej przekątnej wynosi więc $2a=6\sqrt{7}$.

Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej ma miarę $37°$, a krawędź podstawy ma długość $2\sqrt{3}$. Obliczymy długość wysokości ostrosłupa.

Krótsza przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegokrótsza przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegoKrótsza przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma wtedy długość $6$, a jej połowa $3$.

R1aTodhy5L5hW

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, jest ona pod kątem prostym do podstawy. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ściany bocznej ostrosłupa, wysokości ostrosłupa oraz odcinka łączącego spodki tych wysokości. Jest to trójkąt prostokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest przeciwprostokątną. Wysokość ostrosłupa podpisano literą H. Odcinek łączący spodki wysokości ma długość trzy. Pomiędzy wysokościami zaznaczono kąt 37 stopni.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy: $tg37°=\frac{3}{H}$. Czyli $H=\frac{3}{0,7536}\approx 4$.

Obliczymy wysokość dachu hełmowego tworzącego ostrosłup prawidłowy sześciokątny, jeżeli do jego pokrycia użyto blachy o kształcie jak na rysunku poniżej (nie liczymy zakładek).

RdtZyyjsmb5CU

Ilustracja przedstawia siatkę, która składa się z sześciu trójkątów równoramiennych połączonych ze sobą ramionami w taki sposób, że układają się w kształt niepełnego sześciokąta. Ramię trójkąta ma długość 6 metrów, natomiast jego podstawa ma długość 4 metry.

Ostrosłup, który powstanie nam po pokryciu dachu blachą, to

RvaLVTNM5s7Ed

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt, którego bok ma długość cztery. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, jest ona pod kątem prostym do podstawy i jest podpisana literą H. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z krawędzi bocznej ostrosłupa, wysokości ostrosłupa oraz fragmentu przekątnej podstawy, który łączy te dwa odcinki. Jest to trójkąt prostokątny. Krawędź boczna tego ostrosłupa, która jest przeciwprostokątną, ma długość sześć. Fragment przekątnej ma długość cztery.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa,

$H^2+4^2=6^2$,

a zatem $H=2\sqrt{5}\approx 4,5 \mathrm{m}$.

Dach ten będzie miał około $4,5 \mathrm{m}$ wysokości.

Trójkąt przedstawiony na rysunku jest prostokątny. Jego przyprostokątna ma długość $6$. Określimy długości krawędzi bocznej, krawędzi podstawy, przekątnych podstawy, wysokości ostrosłupa i wysokości ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego na rysunku.

R1NGK7L1DOQY8

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie sześciokąta. W którym trójkąt równoramienny, którego ramionami są wysokości naprzeciwległych ścian bocznych, a podstawą jest odcinek łączący spodki tych wysokości. Wysokości ścian bocznych są pod kątem prostym do krawędzi podstawy.

Uzupełnijmy rysunek o dane z zadania.

R1TWPNv0xaKuS

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie sześciokąta. W którym trójkąt równoramienny, którego ramionami są wysokości naprzeciwległych ścian bocznych, a podstawą jest odcinek łączący spodki tych wysokości. Wysokości ścian bocznych są pod kątem prostym do krawędzi podstawy. Krawędź boczna ostrosłupa została podpisana literą a. Krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą b. Wysokości ścian bocznych, będące ramionami podpisano $h=6$. Podstawę trójkąta podpisano $a\sqrt{3}$. Kąt pomiędzy ramionami trójkąta to kąt prosty.

Czyli wysokość ściany bocznej ma długość $h=6$.

Narysowany trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem jego przeciwprostokątna będzie miała długość $6\sqrt{2}$ , czyli krótsza przekątna również ma długość $d_2=6\sqrt{2}$.

Stąd mamy $a\sqrt{3}=6\sqrt{2}$, czyli krawędź podstawy to $a=2\sqrt{6}$.

Dłuższa przekątna podstawy ma zatem długość $d_1=4\sqrt{6}$.

Wysokość ostrosłupa jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego, którego przeciwprostokątna ma długość $6$.

A zatem $H=3\sqrt{2}$.

Długość krawędzi bocznej policzymy stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, którego bokami są wysokość ściany bocznej, połowa krawędzi podstawy i krawędź boczna

$6^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2=b^2$, czyli $b^2=42$. A stąd $b=\sqrt{42}$.

bok wielokąta znajdującego się w podstawie ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego

odcinek łączący wierzchołek podstawy z wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego

najkrótszy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego z płaszczyzną podstawy

wysokość trójkąta równoramiennego będącego ścianą boczną ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa

dłuższa przekątna wielokąta znajdującego się w podstawie ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego

krótsza przekątna wielokąta znajdującego się w podstawie ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego