Przeczytaj

Przypomnimy pojęcie symetrii względem prostej.

Symetria osiowa

Definicja: Symetria osiowa

Symetrią osiową względem prostej $l$ nazywamy przekształcenie geometryczne, w którym każdemu punktowi $A$ , $A \notin l$ , przyporządkowujemy taki punkt $A'$ , dla którego prosta $A A'$ jest prostopadła do prostej $l$ i wektory $\vec{L A}$ oraz $\vec{L A}'$ są przeciwne i równej długości, gdzie punkt $L$ jest punktem wspólnym prostej $A A'$ i prostej $l$ . Jeśli $A \in l$ , to obrazem tego punktu w symetrii osiowej względem prostej $l$ jest ten sam punkt. Symetrię osiową względem prostej $l$ oznaczamy $S_{l}$ .

RGD19n0kOOELY

Ilustracja przedstawia prostą l oraz punkt A. Punkt ten jest odbity symetrycznie względem prostej l i oznaczony jako A prim. Prosta l jest prostopadła do odcinka A A prim i przechodzi przez jej środek.

Określimy zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem prostejpunkty symetryczne względem prostejpunktów symetrycznych względem prostej o równaniu $x = 0$ (oś $Y$ ):

RiRPAMSwAiFha

Ilustracja przedstawia poziomą oś X oraz pionową oś Y, która jest równocześnie osią symetrii dla punktu A o współrzędnych nawias x średnik y zamknięcie nawiasu. Odbiciem punktu A względem osi Y jest punkt A prim o współrzędnych nawias minus x średnik y zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że:

odcięte punktów $A$ i $A'$ są liczbami przeciwnymi,
rzędna punktu $A'$ jest równa rzędnej punktu $A$ .

Zatem:

S_{y} : \{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases}

Narysujemy teraz okręgi symetryczne względem osi $Y$ .

R1ZnqcEjX2OG9

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus jeden do sześciu. Oś Y jest osią symetrii okręgu o środku w punkcie A nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Okręgiem symetrycznym względem osi Y do okręgu A jest okrąg o środku w punkcie B nawias minus trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że ich promienie mają równe długości, a środki są punktami symetrycznymi względem osi $Y$ punkty symetryczne względem osi $Y$ punktami symetrycznymi względem osi $Y$ .

Przykład 1

Wyznaczymy równanie obraz okręgu o równaniu ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ w symetrii osiowej względem osi $Y$ .

Rozwiązanie:

Obrazem punktu $A = (x, y)$ w symetrii osiowej względem osi $Y$ jest punkt $A' = (- x, y)$ . Zmieniając $x$ na $(- x)$ , otrzymujemy:

${(- x - 3)}^{2} = {(- (x + 3))}^{2} = {(x + 3)}^{2}$ .

Zatem równanie okręgu ma postać:

${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ .

Poniższy rysunek przedstawia dany okrąg oraz jego obraz w symetrii osiowej względem osi $Y$ .

RfuMrq33u3SRf

Przykład 2

Napiszemy równanie okręgu, którego obrazem w symetrii względem osi $Y$ jest okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 2 = 0$ .

Rozwiązanie:

Wykorzystamy zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem osi $Y$ . Zmieniając $x$ na $(- x)$ , otrzymujemy:

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ .

Przykład 3

Sprawdzimy czy okrąg o średnicy $A B$ jest symetryczny do okręgu o średnicy $C D$ względem osi $Y$ , jeśli: $A = (0; 3)$ ; $B = (6; 1)$ ; $C = (- 2; 5)$ i $D = (- 4; - 1)$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczymy współrzędne środków oraz długości promieni obydwu okręgów.

Dla okręgu o średnicy $A B$ :

$r_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{40} = \sqrt{10}$ ,

$S_{1} = (\frac{0 + 6}{2}, \frac{3 + 1}{2})$ , czyli $S_{1} = (3; 2)$ .

Dla okręgu o średnicy $C D$ :

$r_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 4 + 2)}^{2} + {(- 1 - 5)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{40} = \sqrt{10}$ ,

$S_{2} = (\frac{- 2 - 4}{2}, \frac{- 1 + 5}{2})$ , czyli $S_{2} = (- 3, 2)$ .

Promienie okręgów mają równe długości, a środki są punktami symetrycznymi względem osi $Y$ , zatem okręgi są symetryczne względem osi $Y$ .

Przykład 4

Wyznaczymy pole trójkąta $A B C$ , jeśli $A$ jest środkiem okręgu o równaniu $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 4 = 0$ , $B$ jest środkiem okręgu $o'$ symetrycznego do danego okręgu względem osi $Y$ , zaś $C$ jest punktem wspólnym prostej o równaniu $y = - \frac{1}{2} x + 7$ i okręgu $o'$ o współrzędnych całkowitych.

Rozwiązanie:

Wyznaczymy najpierw współrzędne środka okręgu o równaniu: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 4 = 0$ . Skorzystamy z równania ogólnego okręgu: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ (punkt $A = (a; b)$ jest jego środkiem, zaś promień $r$ ma długość: $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ ). Zatem:

$- 2 a = 4$ , stąd $a = - 2$ ,

$- 2 b = - 6$ , stąd $b = 3$ ,

$r_{1} = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2} - 4} = \sqrt{4 + 9 - 4} = 3$ .

Ponieważ punkt $B$ jest środkiem okręgu symetrycznego do danego okręgu względem osi $Y$ , to $B = (2; 3)$ i $r_{2} = 3$ . Równanie tego okręgu ma postać: $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 4 = 0$ .

Wyznaczymy teraz współrzędne punktu $C$ .

Rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = - \frac{1}{2} x + 7 \\ x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 4 = 0 \end{cases}$ .

Po podstawieniu równania $1$ do równania $2$ mamy:

$x^{2} + {(- \frac{1}{2} x + 7)}^{2} - 4 x - 6 (- \frac{1}{2} x + 7) + 4 = 0$

$x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} - 7 x + 49 - 4 x + 3 x - 42 + 4 = 0$

$\frac{5}{4} x^{2} - 8 x + 11 = 0$

$∆ = 64 - 55 = 9$

$x_{1} = \frac{8 + 3}{\frac{5}{2}} = \frac{22}{5}$ – nie jest liczbą całkowitą

$x_{1} = \frac{8 - 3}{\frac{5}{2}} = \frac{10}{5} = 2$ .

Punkt $C$ ma współrzędne: $C = (2; 6)$ .

R1cLRxVWQGqrd

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu oraz pionową oś Y od minus jeden do ośmiu. Oś Y jest osią symetrii okręgu o środku w punkcie A nawias minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Okręgiem symetrycznym względem osi Y do okręgu A jest okrąg o środku w punkcie B nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Przez okrąg o środku w punkcie B przechodzi wykres funkcji o wzorze y=-12·x+7 w punkcie C nawias dwa średnik sześć zamknięcie nawiasu. Odcinki A B, B C oraz A C utworzyły trójkąt prostokątny.

Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $4$ i $3$ , zatem jego pole jest równe: $P = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ .

Niech prosta $s$ o równaniu $x = k$ będzie prostą równoległą do osi $Y$ , a punkt $P' = (x', y')$ – obrazem punktu $P = (x, y)$ w symetrii względem tej prostej.

RuKFpgiLafDVI

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, pionową oś Y oraz prostą pionową s znajdującą się w pierwszej ćwiartce. Punkt P prim o współrzędnych nawias minus x średnik y zamknięcie nawiasu, jest obrazem punktu P o współrzędnych nawias x średnik y zamknięcie nawiasu. Punkt P indeks dolny zero koniec indeksu jest środkiem odcinka P P prim, a argument k przez który przechodzi prosta s jest równy x.

Widzimy, że $y' = y$ . Punkt $P_{0}$ , jako środek odcinka $P P'$ , ma odciętą $x_{0} = \frac{x + x'}{2}$ , gdzie $x_{0} = k$ , skąd

S_{k} : \{\begin{cases} x' = 2 k - x \\ y' = y \end{cases}

Zauważmy, że jeżeli $k = 0$ , to z powyższych wzorów otrzymamy współrzędne punktu symetrycznego względem osi $Y$ :

\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases}

Przykład 5

Punkt $P'$ jest symetryczny do punktu $P$ o współrzędnych $(- \sqrt{7}; \sqrt{3})$ względem prostej o równaniu $x = - 4$ . Wyznaczymy współrzędne punktu $P'$ oraz równanie okręgu o środku w punkcie $P'$ i promieniu długości $5$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczymy współrzędne punktu $P'$ .

$I$ sposób
Wykorzystamy wzory $S_{k} : \{\begin{cases} x' = 2 k - x \\ y' = y \end{cases}$ , zatem:
$P' = (2 k - x, y) = (2 \cdot (- 4) - (- \sqrt{7}), \sqrt{3}) = (- 8 + \sqrt{7}, \sqrt{3})$ .

$II$ sposób
Wykonamy rysunek pomocniczy.
RAQq3aEQOpkND
Ilustracja przedstawia poziomą oś X, pionową oś Y oraz dwie proste pionowe o równaniach pierwsza x równa się minus cztery i druga x równa się minus pierwiastek z siedmiu. Punkt P zawiera się w prostej o równaniu x równa się minus pierwiastek z siedmiu i ma wartość pierwiastek z trzech. Punktem do niego symetrycznym względem prostej o równaniu x równa się minus cztery jest punkt P prim o współrzędnych $(- 8 + \sqrt{7}; \sqrt{3})$ .
$P' = (x_{1}, y_{1})$
$x_{1} = - 4 - (4 - \sqrt{7}) = - 8 + \sqrt{7}$ ,

$y_{1} = \sqrt{3}$ ,

$P' = (- 8 + \sqrt{7}, \sqrt{3})$ .

Równanie okręgu ma postać:

${(x + 8 - \sqrt{7})}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 25$ .

Słownik

punkty symetryczne względem prostej

punkty, które leżą na prostej prostopadłej do danej prostej, po przeciwnych jej stronach i w równych od niej odległościach

punkty symetryczne względem osi

Y

punkty symetryczne względem osi

Y

punkty, które leżą na prostej prostopadłej do osi $Y$ , po przeciwnych jej stronach i w równych od niej odległościach

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik