Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Równanie wymierne
Definicja: Równanie wymierne

Jeżeli WxPx to wielomiany, Px nie jest wielomianem zerowym Px0 to równanie

WxPx=0

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą x.

Rozwiązać równanie to znaleźć takie pierwiastki wielomianu Wx, które nie są miejscami zerowymi wielomianu Px.

Przed przystąpieniem do  rozwiązania równania wymiernego należy określić jego dziedzinę.

Dziedziną równia wymiernego jest zbiór liczb rzeczywistych pomniejszony o zbiór pierwiastków wielomianu Px.

Pokażemy przykłady rozwiązań równań wymiernych, w których licznik i mianownik są jednomianamijednomianjednomianami.

Jednomian
Definicja: Jednomian

Jednomianem nazywamy takie wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie 2x=0.

Dziedzina równania:  0.

Ułamek algebraiczny jest równy zero, jeżeli licznik tego ułamka jest równy zero.

2=0 – sprzeczność

Równanie nie posiada rozwiązania.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie x2=0.

Jest to równanie wymiernerównanie wymiernerównanie wymierne WxPx=0, gdzie Px=2.

Dziedzina równania:  .

x2=0x=0

Rozwiązanie równania to x=0.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie -45x=1.

Dziedzina równania: 0.

Skorzystamy z własności proporcji:

5x=-4

x=-45

Rozwiązanie równania: x=-45.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie 2x3·x23x22=0.

Dziedzina równania:   0.

Przekształcimy równoważnie równanie, wykorzystując własności potęg.

8x59x4=0

89x=0

x=0D

Równanie nie posiada rozwiązania.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie 1x=x2.

Dziedzina równania:   0.

Z własności proporcji otrzymujemy:

x2=2

x2-2=0

x-2x+2=0

x=2 lub x=-2

Rozwiązanie równania to x=-2, x=2.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie 2x+3x=1+1x.

Dziedzina równania:  0.

Sprowadzimy lewą i prawą stronę równania do wspólnego mianownika.

5x=x+1x

5x=xx+1

5x-xx+1=0

Wyłączamy x przed nawias.

x5-x+1=0

x4-x=0

x=0 lub x=4

0D, 4D

Rozwiązanie równania: x=4.

Przykład 7

Obliczymy, dla jakich wartości parametru m równanie 4·2x344xm3=1 jest tożsamościowe.

Dziedzina równania:  0.

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej

4·16x1264x3m=1

64x1264x3m=1

x12x3m=1

Czyli

3m=12 |:3

m=4

Dla m=4 równanie jest tożsamościowe.

Słownik

równanie wymierne
równanie wymierne

równanie WxPx=0 z jedną niewiadomą x, gdzie WxPx są wielomianami, Px nie jest wielomianem zerowym Px0

jednomian
jednomian

takie wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter