Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Do wyznaczania ilorazu różnicowego funkcji na podstawie jej wykresu wykorzystamy jego interpretację geometryczną.

Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego funkcji

Załóżmy, że do prostej, która jest sieczną do wykresu funkcji f, należą punkty o współrzędnych x0,fx0 oraz x0+h,fx0+h, gdzie h nazywamy przyrostem argumentu oraz h0.

Wówczas prosta przecina wykres funkcji w dwóch punktach, jak na poniższym rysunku.

R158jGEtty90r

Korzystając z trójkąta prostokątnego oraz definicji funkcji trygonometrycznej tangens, mamy zależność:

a=tgα=fx0+h-fx0h.

Powyższe wyrażenie jest nazywane ilorazem różnicowym funkcji.

Wobec tego, aby wyznaczyć iloraz różnicowy funkcjiiloraz różnicowy funkcjiiloraz różnicowy funkcji, gdy dany jest wykres tej funkcjiwykres funkcjiwykres tej funkcji, musimy znać:

  • współrzędne punktów przecięcia siecznej z wykresem funkcji lub

  • współrzędne punktu, przez który ma być poprowadzona sieczna oraz wartość przyrostu h dla podanego argumentu.

Przykład 1

Korzystając z wykresu funkcji określonej wzorem fx=4x2-2, wyznaczymy iloraz różnicowy tej funkcji w punkcie A=0,-2 i przyroście h=1.

RsiXxEIMBmGZk

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla h=1 możemy wyznaczyć trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

Rk7UkH0xJjAA7

Z rysunku odczytujemy, że a=tgα=41=4, zatem iloraz różnicowy funkcji jest równy 4.

Przykład 2

Wyznaczymy iloraz różnicowy funkcji f, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, jeżeli sieczna do wykresu funkcji przechodzi przez punkty AB.

R1CPJQtiB1y0S

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy współrzędne zaznaczonych punktów: A=-4,-2, B=0,6.

Zatem:

x0=-4,

fx0=-2,

h=4,

x0+h=0,

fx0+h=6.

Wobec tego iloraz różnicowy funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku, jest równy:

fx0+h-fx0h=6--24=2.

Przykład 3

Obliczymy wartości ilorazów różnicowych funkcji w punkcie AB z poniższego wykresu, gdy przyrost argumentu jest równy 4.

Rg37kKGQuIZrx

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że A=-2,-3 oraz B=0,-1.

Gdy A=-2,-3 oraz h=4 mamy:

x0=-2,

fx0=-3,

x0+h=-2+4=2,

fx0+h=3.

Wobec tego iloraz różnicowy funkcji w punkcie A wynosi:

fx0+h-fx0h=3--34=64=32.

Gdy B=0,-1 oraz h=4 mamy:

x0=0,

fx0=-1,

x0+h=4,

fx0+h=3.

Wobec tego iloraz różnicowy funkcji w punkcie B wynosi:

fx0+h-fx0h=3--14=44=1.

Przykład 4

Wyznaczymy wartość przyrostu h argumentu funkcji z rysunku, gdy h>5 oraz iloraz różnicowy funkcji w punkcie A jest równy 13.

RTUPPljRM8V4P

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że: x0=-5, fx0=-3.

Zauważmy, że jeżeli h>5, to fx0+h=3.

Zatem korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji fx0+h-fx0h, rozwiązujemy równanie:

13=3--3h, czyli h=18.

Przykład 5

Wykażemy, że jeśli funkcja f jest stała, to wartość ilorazu różnicowego tej funkcji w dowolnym punkcie x0 wynosi 0.

Rozwiązanie

Jeżeli funkcja f jest stała, to można ją opisać za pomocą wzoru fx=c, gdzie c.

Wtedy dla dowolnego x zachodzi własność fx=fx+h, gdy h0.

Korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, otrzymujemy:

fx0+h-fx0h=fx0-fx0h=0h=0.

Słownik

iloraz różnicowy funkcji
iloraz różnicowy funkcji

stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu

wykres funkcji
wykres funkcji

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych x,y, gdzie x należy do dziedziny funkcji, natomiast y jest wartością funkcji dla argumentu x