Korzystając z wykresu funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=4x^2-2$, wyznaczymy iloraz różnicowy tej funkcji w punkcie $A=\left(0,-2\right)$ i przyroście $h=1$.

RsiXxEIMBmGZk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę oraz z wierzchołkiem w wyróżnionym punkcie $\left(0;-2\right)$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla $h=1$ możemy wyznaczyć trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

Rk7UkH0xJjAA7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę oraz z wierzchołkiem w wyróżnionym punkcie $\left(0;-2\right)$. Na paraboli wybrano punkt, którego pierwsza współrzędna jest o 1 większa, niż pierwsza współrzędna wierzchołka. Jest to punkt o współrzędnych $\left(1;2\right)$. Na płaszczyźnie rozrysowano trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna trójkąta to odcinek między wierzchołkiem a drugim punktem na paraboli. Pozioma przyprostokątna to odcinek o końcach $\left(0;-2\right)$ oraz $\left(1;-2\right)$. Pionowa przyprostokątna to odcinek o końcach $\left(1;-2\right)$ oraz $\left(1;2\right)$. W trójkącie oznaczono dwa kąty wewnętrzne. Kąt alfa znajdujący się przy wierzchołku paraboli oraz kąt prosty między przyprostokątnymi.

Z rysunku odczytujemy, że $a=\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{1}=4$, zatem iloraz różnicowy funkcji jest równy $4$.

Wyznaczymy iloraz różnicowy funkcji $f$, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, jeżeli sieczna do wykresu funkcji przechodzi przez punkty $A$ i $B$.

R1CPJQtiB1y0S

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano falistą krzywą przechodzącą przez trzecią, drugą i pierwszą ćwiartkę układu oraz przez dwa wyróżnione punkty $A=\left(-4;-2\right)$ oraz $B=\left(0;6\right)$.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy współrzędne zaznaczonych punktów: $A=\left(-4,-2\right)$, $B=\left(0,6\right)$.

Zatem:

$x_0=-4$,

$f\left(x_0\right)=-2$,

$h=4$,

$x_0+h=0$,

$f\left(x_0+h\right)=6$.

Wobec tego iloraz różnicowy funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku, jest równy:

$\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{6-\left(-2\right)}{4}=2$.

Obliczymy wartości ilorazów różnicowych funkcji w punkcie $A$ i $B$ z poniższego wykresu, gdy przyrost argumentu jest równy $4$.

Rg37kKGQuIZrx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch poziomych półprostych oraz ukośnego odcinka je łączącego. Pierwsza półprosta biegnie na poziomie minus trzy od minus nieskończoności do minus jeden. Z punktu $\left(-1;-3\right)$ biegnie ukośny odcinek do punktu $\left(2;3\right)$. Z tego punktu biegnie druga półprosta na poziomie trzy od jeden do plus nieskończoności. Na wykresie zaznaczono zamalowanymi kropkami dwa punkty: $A=\left(-2;-3\right)$ oraz $B=\left(0;-1\right)$.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że $A=\left(-2,-3\right)$ oraz $B=\left(0,-1\right)$.

Gdy $A=\left(-2,-3\right)$ oraz $h=4$ mamy:

$x_0=-2$,

$f\left(x_0\right)=-3$,

$x_0+h=-2+4=2$,

$f\left(x_0+h\right)=3$.

Wobec tego iloraz różnicowy funkcji w punkcie $A$ wynosi:

$\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{3-\left(-3\right)}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

Gdy $B=\left(0,-1\right)$ oraz $h=4$ mamy:

$x_0=0$,

$f\left(x_0\right)=-1$,

$x_0+h=4$,

$f\left(x_0+h\right)=3$.

Wobec tego iloraz różnicowy funkcji w punkcie $B$ wynosi:

$\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{3-\left(-1\right)}{4}=\frac{4}{4}=1$.

Wyznaczymy wartość przyrostu $h$ argumentu funkcji z rysunku, gdy $h>5$ oraz iloraz różnicowy funkcji w punkcie $A$ jest równy $\frac{1}{3}$.

RTUPPljRM8V4P

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch poziomych półprostych oraz ukośnego odcinka je łączącego. Pierwsza półprosta biegnie na poziomie minus trzy od minus nieskończoności do minus trzech. Z punktu $\left(-3;-3\right)$ biegnie ukośny odcinek do punktu $\left(0;3\right)$. Z tego punktu biegnie druga półprosta na poziomie trzy od jeden do plus nieskończoności. Na wykresie zaznaczono zamalowaną kropką punkt $A=\left(-5;-3\right)$.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że: $x_0=-5$, $f\left(x_0\right)=-3$.

Zauważmy, że jeżeli $h>5$, to $f\left(x_0+h\right)=3$.

Zatem korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji $\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$, rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{3}=\frac{3-\left(-3\right)}{h}$, czyli $h=18$.

Wykażemy, że jeśli funkcja $f$ jest stała, to wartość ilorazu różnicowego tej funkcji w dowolnym punkcie $x_0$ wynosi $0$.

Rozwiązanie

Jeżeli funkcja $f$ jest stała, to można ją opisać za pomocą wzoru $f\left(x\right)=c$, gdzie $c\in \mathrm{ℝ}$.

Wtedy dla dowolnego $x$ zachodzi własność $f\left(x\right)=f\left(x+h\right)$, gdy $h\ne 0$.

Korzystając ze wzoru na iloraz różnicowy funkcji, otrzymujemy:

$\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{f\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{0}{h}=0$.

stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $\left(x,y\right)$, gdzie $x$ należy do dziedziny funkcji, natomiast $y$ jest wartością funkcji dla argumentu $x$