Przeczytaj

Przypomnijmy najpierw, że niezerowe wektory nazywamy równoległymi jeśli ich kierunki są równoległe (są zawarte w prostych równoległych).

Poznaliśmy już kryterium równoległości wektorów umieszczonych na płaszczyźnie bez układu współrzędnych. Przypomnijmy, że niezerowe wektory są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista $k \neq 0$ , że jeden z nich jest iloczynem drugiego przez liczbę $k$ .

Uzasadnimy teraz kryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnychkryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnych.

Rozważmy niezerowe wektory $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ oraz załóżmy, że są one równoległe. Może zajść jedna z możliwości:

Jeśli $a = 0$ , to wektor $\vec{u}$ jest równoległy do osi $y$ , zatem wektor $\vec{v}$ jest również równoległy do osi $y$ , co oznacza, że $c = 0$ . Wobec tego $a d - b c = 0 \cdot d - b \cdot 0 = 0$ .
Jeśli $b = 0$ , to wektor $\vec{u}$ jest równoległy do osi $x$ , zatem wektor $\vec{v}$ jest również równoległy do osi $x$ , co oznacza, że $d = 0$ . Wobec tego
$a d - b c = a \cdot 0 - 0 \cdot c = 0$ .
Jeśli $a \neq 0$ i $b \neq 0$ , to wektor $\vec{u}$ nie jest równoległy do żadnej z osi układu, zatem wektor $\vec{v}$ również nie jest równoległy do żadnej z osi układu, co oznacza, że $c \neq 0$ i $d \neq 0$ . Ponieważ wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, to istnieje taka liczba rzeczywista $k \neq 0$ , że jeden z nich jest iloczynem liczby $k$ przez drugi. Przyjmijmy, że $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ , co jest równoważne równości $[a; b] = k \cdot [c; d]$ . Dalej mamy $[a; b] = [k c; k d]$ , czyli $a = k c$ i $b = k d$ , co prowadzi do równań $k = \frac{a}{c}$ i $k = \frac{b}{d}$ , z których wynika, że $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ , czyli $a d - b c = 0$ .

Z powyższych rozważań wynika kryterium równoległości wektorówkryterium równoległości wektorówkryterium równoległości wektorów:

Niezerowe wektory $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy między ich współrzędnymi zachodzi związek $a d - b c = 0$ .

Przykład 1

Wektory o współrzędnych $[2; - 3]$ i $[- 6; 9]$ są równoległe, ponieważ $[- 6; 9] = - 3 \cdot [2; - 3]$ . Można też zastosować poznane wcześniej kryterium i sprawdzić różnicę iloczynów współrzędnych obu wektorów: $2 \cdot 9 - (- 3) \cdot (- 6) = 18 - 18 = 0$ , co również potwierdza, że są to wektory równoległewektory równoległewektory równoległe.

Przykład 2

Wektory o współrzędnych $[2; - 3]$ i $[- 6; 8]$ nie są równoległe. Można to stwierdzić na podstawie powyższego kryterium sprawdzając różnicę iloczynów współrzędnych obu wektorów: $2 \cdot 8 - (- 3) \cdot (- 6) = 16 - 18 = - 2 \neq 0$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wartości parametru $m$ , dla których wektory o współrzędnych $[m; 1]$ oraz $[9; m]$ są równoległe. Po zastosowaniu kryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnychkryterium równoległości wektorówkryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnych otrzymujemy równanie: $m^{2} - 9 = 0$ , którego pierwiastkami są liczby $3$ i $- 3$ . Rzeczywiście w obu przypadkach otrzymujemy pary wektorów równoległych: wektor o współrzędnych $[3; 1]$ jest równoległy do wektora o współrzędnych $[9; 3]$ oraz wektor o współrzędnych $[- 3; 1]$ jest równoległy do wektora o współrzędnych $[9; - 3]$ .

Słownik

kryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnych

twierdzenie orzekające, że niezerowe wektory o współrzędnych $[a; b]$ i $[c; d]$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne spełniają zależność: $a d - b c = 0$

wektory równoległe

wektory, których kierunki są prostymi równoległymi

kryterium równoległości wektorów

dwa niezerowe wektory są równoległe dokładnie wtedy, gdy jeden z nich jest iloczynem drugiego przez liczbę różną od zera

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik