Przeczytaj
Ponieważ sześcian ma bardzo regularne kształty jest on często wykorzystywany w konstrukcjach budowli i przedmiotach codziennego użytku. Każdy z nas ma w domu pudełka, kostki do gry, szafki, naczynia itd. w kształcie sześcianu.
Przypomnijmy najważniejsze wzory związane z sześcianem o krawędzi :
pole powierzchni:
,objętość:
,długość przekątnej sześcianuprzekątnej sześcianu:
.
Większość zadań odwołujących się do rzeczywistości związanych z sześcianem wymaga policzenia objętości lub pola powierzchni sześcianu lub jego części.
Obliczymy, ile doniczek w kształcie sześcianu o krawędzi wewnętrznej napełnimy ziemią z dziesięciolitrowego opakowania.
Rozwiązanie
Obliczymy najpierw pojemność jednej doniczki i wyrazimy ją w litrach. Mamy więc . Policzmy teraz ile doniczek można wypełnić ziemi: . A zatem ziemi wystarczy na napełnienie dwóch pełnych doniczek.
Pan Zaradny ma sześciennych drewnianych klocków o krawędzi . Przecina je, jak na rysunku, otrzymując z każdego klocka dwa nowe klocki w kształcie graniastosłupa prostego czworokątnego.
Pan Zaradny ma puszkę farby o pojemności . Sprawdzimy, czy wystarczy mu farby do pomalowania wszystkich powstałych klocków, jeżeli wydajność farby wynosi , a każdy klocek trzeba pomalować dwa razy?
Rozwiązanie
Aby policzyć powierzchnię, ktorą pomalujemy, wystarczy policzyć powierzchnię sześcianów i dodać do niej pól przekroju – po jednym na każdy powstały klocek. Przekrój jest prostokątem. Policzmy długość dłuższego boku tego prostokąta.
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
A stąd .
Czyli pole przekroju wynosi
Policzmy pole całkowite sześcianusześcianu:
Możemy już policzyć pole klocków:
Ponieważ malujemy dwukrotnie, to
.
farby wystarcza na , co oznacza, że jedna puszka o pojemności wystarczy na pomalowanie .
A zatem Panu Zaradnemu wystarczy farby na pomalowanie klocków.
Świecznik ma kształt sześcianu o krawędzi . Wykonany jest ze stalowego pręta o przekroju kwadratu, o boku oraz z szyby o grubości , która pokrywa ścian. Obliczymy, jaką masę ma ten świecznik, jeżeli gęstość stali wynosi , a szyby o grubości ma masę .
Rozwiązanie
Musimy policzyć objętość stalowej konstrukcji i pole powierzchchni szyby.
Każda z szyb ma wymiary .
A zatem powierzchnia szyby wynosi
A zatem szyba ma masę .
Teraz obliczymy objętość stali.
Podzielmy konstrukcję na:
sześcianów o krawędzi i prostopadłościanówprostopadłościanów o wymiarach .
Mamy zatem objętość stali
Stąd stal ma masę .
Czyli masa całego świecznika wynosi
.
Kolejną grupę zagadnień stanowią zadania dotyczące budowli z sześciennych klocków oraz siatek sześcianu.
Młodszy brat Bartka chce zbudować dużą sześcienną budowlę z małych sześcianów o krawędzi jednostkowej. Do tej pory ułożył klocki tak, jak na rysunku poniżej:
Brat Bartka ma do dyspozycji całe pudełko jednostkowych klocków. Sprawdziamy, czy wystarczy mu klocków na dobudowanie sześcianu do tej budowli.
Rozwiązanie
Zauważmy, że najmniejszy możliwy sześcian będzie miał krawędź długości . A zatem jego objętość będzie wynosić . Do tej pory brat Bartka wykorzystał sześciany. A zatem potrzebuje jeszcze klocki. Czyli pudełko klocków mu nie wystarczy do zbudowania sześcianusześcianu.
Kostka sześcienna jest wykonana w taki sposób, aby suma oczek na przeciwległych ścianach wynosiła . Poniżej prezentujemy kilka siatek sześcianu. Z których nie można zbudować kostki do gry. Uzasadnimy dlaczego.
Rozwiązanie
Na siatce pierwszej nie zgadzają się sumy oczek w dwóch przypadkach: oraz . Wystarczy zamienić miejscami ściany z jednym i czterema oczkami.
W przypadku siatki trzeciej jest podobna sytuacja, nie zgadzają się sumy oczek w dwóch przypadkach: oraz . Wystarczy zamienić miejscami ściany z jednym i trzema oczkami.
Słownik
graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są przystającymi kwadratami
odcinek łączący wierzchołki sześcianu, które nie leżą na tej samej ścianie
graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami