Obliczymy, ile doniczek w kształcie sześcianu o krawędzi wewnętrznej $15 \mathrm{cm}$ napełnimy ziemią z dziesięciolitrowego opakowania.

Rozwiązanie

Obliczymy najpierw pojemność jednej doniczki i wyrazimy ją w litrach. Mamy więc $V={15}^3=3375 {\mathrm{cm}}^3=3,375 \mathrm{l}$. Policzmy teraz ile doniczek można wypełnić $10 \mathrm{l}$ ziemi: $10:3,375\approx 2,96$. A zatem ziemi wystarczy na napełnienie dwóch pełnych doniczek.

Pan Zaradny ma $10$ sześciennych drewnianych klocków o krawędzi $10 \mathrm{cm}$. Przecina je, jak na rysunku, otrzymując z każdego klocka dwa nowe klocki w kształcie graniastosłupa prostego czworokątnego.

RLoxgZQ9t7e9Q

Na ilustracji przedstawiono sześcian. Przecięto go na ukos w następujący sposób. 2 centymetry od górnej, lewej krawędzi podstawy, oraz 7 centymetrów od lewej, dolnej podstawy. Powstała płaszczyzna przecięcia w kształcie prostokąta.

Pan Zaradny ma puszkę farby o pojemności $0,25 \mathrm{l}$. Sprawdzimy, czy wystarczy mu farby do pomalowania wszystkich powstałych klocków, jeżeli wydajność farby wynosi $8 \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{l}}$, a każdy klocek trzeba pomalować dwa razy?

Rozwiązanie

Aby policzyć powierzchnię, ktorą pomalujemy, wystarczy policzyć powierzchnię $10$ sześcianów i dodać do niej $20$ pól przekroju – po jednym na każdy powstały klocek. Przekrój jest prostokątem. Policzmy długość dłuższego boku tego prostokąta.

R1I3DuAI0u5pH

Na ilustracji przedstawiono sześcian. Przecięto na ukos, tworząc dwie bryły, w następujący sposób. Płaszczyzna przecięcia zaczyna się 2 centymetry od górnej, lewej krawędzi podstawy i kończy 7 centymetrów od lewej, dolnej podstawy. Powstała płaszczyzna przecięcia w kształcie prostokąta. Małą literą b oznaczono dłuższy bok powstałego prostokąta, stanowiący odcinek łączący górną podstawę z dolną. Z jego wierzchołka upuszczono wysokość sześcianu padającą na krawędź dolnej podstawy, równą dziesięć. Powstał trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej b, dłuższej przyprostokątnej równej 10, oraz krótszej przyprostokątnej równej pięć.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

${10}^2+5^2=b^2$

A stąd $b=5\sqrt{5} \mathrm{cm}$.

Czyli pole przekroju wynosi

$P_{prz}=10·5\sqrt{5}=50\sqrt{5} {\mathrm{cm}}^2$

Policzmy pole całkowite sześcianusześciansześcianu:

$P_c=6·{10}^2=600 {\mathrm{cm}}^2$

Możemy już policzyć pole $10$ klocków:

$P_{10}=10·600+20·50\sqrt{5}=6000+1000\sqrt{5} {\mathrm{cm}}^2$

Ponieważ malujemy dwukrotnie, to

$2·\left(6000+1000\sqrt{5}\right)=\left(12000+2000\sqrt{5}\right) {\mathrm{cm}}^2=\left(1,2+0,2\sqrt{5}\right) {\mathrm{m}}^2\approx 1,6 {\mathrm{m}}^2$.

$1 \mathrm{l}$ farby wystarcza na $8 {\mathrm{m}}^2$, co oznacza, że jedna puszka o pojemności $0,25 \mathrm{l}$ wystarczy na pomalowanie $2 {\mathrm{m}}^2$.

A zatem Panu Zaradnemu wystarczy farby na pomalowanie klocków.

Świecznik ma kształt sześcianu o krawędzi $10 \mathrm{cm}$. Wykonany jest ze stalowego pręta o przekroju kwadratu,  o boku $1 \mathrm{cm}$ oraz z szyby o grubości $4 \mathrm{mm}$, która pokrywa $5$ ścian. Obliczymy, jaką masę ma ten świecznik, jeżeli gęstość stali wynosi $7,9\frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{cm}}^3}$, a $1 {\mathrm{m}}^2$ szyby o grubości $4 \mathrm{mm}$ ma masę $10 \mathrm{kg}$.

Rczwz7CGIKvyN

Na ilustracji przedstawiono świecznik o stalowej konstrukcji w kształcie sześcianu. Ze stali wykonane są jedynie krawędzie. Wszystkie ściany pokryte są szybą, oprócz dolnej podstawy, na której umieszczono niewielką, fioletową świecę.

Rozwiązanie

Musimy policzyć objętość stalowej konstrukcji i pole powierzchchni szyby.

Każda z szyb ma wymiary $8 \mathrm{cm}\times 8 \mathrm{cm}$.

A zatem powierzchnia szyby wynosi

$P=5·8·8=320 {\mathrm{cm}}^2=0,032 {\mathrm{m}}^2$

A zatem szyba ma masę $0,32 \mathrm{kg}=320 \mathrm{g}$.

Teraz obliczymy objętość stali.

Podzielmy konstrukcję na:

$8$ sześcianów o krawędzi $1 \mathrm{cm}$ i $12$prostopadłościanówprostopadłościanprostopadłościanów o wymiarach $1 \mathrm{cm}\times 1 \mathrm{cm}\times 8 \mathrm{cm}$.

Mamy zatem objętość stali

$V=8·1·1·1+12·1·1·8=8+96=104 {\mathrm{cm}}^3$

Stąd stal ma masę $104·7,9=821,6 \mathrm{g}$.

Czyli masa całego świecznika wynosi

$320+821,6=1141,6 \mathrm{g}=1,1416 \mathrm{kg}$.

Młodszy brat Bartka chce zbudować dużą sześcienną budowlę z małych sześcianów o krawędzi jednostkowej. Do tej pory ułożył klocki tak, jak na rysunku poniżej:

RMcK3rBYsHudV

Ilustracja przedstawia budowlę z klocków sześciennych o równej wielkości. Podstawa budowli to prostokąt o wymiarach dwa na pięć klocków. Pierwsze piętro budowli to pas pięciu klocków z tyłu i o jednym klocku na środku z przodu. Drugie piętro budowli składa się z jednego klocka na środku z przodu i z trzech klocków ustawionych obok siebie pośrodku z tyłu. Czwarte piętro budowli składa się z dwóch klocków pośrodku: jeden z przodu, jeden z tyłu.

Brat Bartka ma do dyspozycji całe pudełko $100$ jednostkowych klocków. Sprawdziamy, czy wystarczy mu klocków na dobudowanie sześcianu do tej budowli.

Rozwiązanie

Zauważmy, że najmniejszy możliwy sześcian będzie miał krawędź długości $5$. A zatem jego objętość będzie wynosić $V=5^3=125$. Do tej pory brat Bartka wykorzystał $22$ sześciany. A zatem potrzebuje jeszcze $103$ klocki. Czyli pudełko $100$ klocków mu nie wystarczy do zbudowania sześcianusześciansześcianu.

Kostka sześcienna jest wykonana w taki sposób, aby suma oczek na przeciwległych ścianach wynosiła $7$. Poniżej prezentujemy kilka siatek sześcianu. Z których nie można zbudować kostki do gry. Uzasadnimy dlaczego.

R1MlUTOOl10ua

Na ilustracji przedstawiono 4 siatki sześcianu, z których nie można zbudować kostki do gry. Siatki oznaczono kolejnymi cyframi od 1 do czterech. Siatka numer jeden wygląda następująco. W linii poziomej znajdują się 4 pola, z liczbą oczek wynoszącą kolejno trzy, cztery, jeden, pięć. Nad polem z czterema oczkami, znajduje się pole z dwoma oczkami. Pod polem z czterema oczkami, znajduje się pole z pięcioma oczkami. Siatka numer dwa. W linii poziomej znajdują się 4 pola, z liczbą oczek wynoszącą kolejno, sześć, trzy, jeden, cztery. Nad polem z czterema oczkami, znajduje się pole z pięcioma oczkami. Pod polem z jednym oczkiem, znajduje się pole z dwoma oczkami. Siatka numer trzy. W linii poziomej znajdują się 4 pola, z liczbą oczek wynoszącą kolejno, trzy, pięć, sześć, dwa. Nad polem z trzema oczkami znajduje się pole z jednym oczkiem. Pod polem z sześcioma oczkami, znajduje się pola z pięcioma oczkami. Siatka numer cztery. W linii poziomej znajdują się 4 pola, z liczbą oczek wynoszącą kolejno, dwa, trzy, pięć, cztery. Nad polem z dwoma oczkami znajduje się pole z sześcioma oczkami, a poniżej pole z jednym oczkiem.

R19ouiuchOdIU

Ilustracja

Rozwiązanie

Na siatce pierwszej nie zgadzają się sumy oczek w dwóch przypadkach: $1+3\ne 7$ oraz $4+6\ne 7$. Wystarczy zamienić miejscami ściany z jednym i czterema oczkami.

W przypadku siatki trzeciej jest podobna sytuacja, nie zgadzają się sumy oczek w dwóch przypadkach: $1+4\ne 7$ oraz $3+6\ne 7$. Wystarczy zamienić miejscami ściany z jednym i trzema oczkami.

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są przystającymi kwadratami

odcinek łączący wierzchołki sześcianu, które nie leżą na tej samej ścianie

graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami