Przeczytaj
Zacznijmy od definicji:
Czworokąt, którego przeciwległe boki są równoległe, nazywany równoległobokiem.
Niech będzie czworokątem wypukłym oraz niech będzie punktem przecięcia przekątnych i .
Wówczas następujące warunki są równoważne:
proste i są równoległe oraz proste i są równoległe;
oraz ;
oraz proste i są równoległe;
oraz .
Zanim pokażemy równoważność powyższych warunków zastanówmy się, czy musimy udowadniać równoważności każdej pary.
Zauważmy, że jeżeli udowodnimy ciąg implikacjiimplikacji:
to tym samym udowodnimy równoważność każdych dwóch powyższych warunków.
Sprawdźmy wynikającą równoważność na przykładzie warunków i .
Ciąg implikacji pociąga za sobą prawdziwość implikacji . Natomiast ciąg implikacji pociąga prawdziwość implikacji .
Łącząc , otrzymujemy równoważność warunków .
Analogicznie można pokazać, że przytoczony na początku ciąg implikacji pociąga równoważność każdej innej pary warunków.
Teraz możemy przejść do dowodu twierdzenia o równoległoboku:
:
Ponieważ oraz są równoległe więc . Analogicznie, proste i są równoległe, więc . Stąd wniosek, że trójkąty i są przystające (cecha kąt‑bok‑kąt), skąd otrzymujemy tezę oraz .
:
Z równości oraz wynika, że trójkąty i są przystające (cecha bok‑bok‑bok). Wobec tego i w konsekwencji proste i są równoległe.
:
Ponieważ proste oraz są równoległe, więc oraz . Te dwie równości, wraz z równością dowodzą, że trójkąty i są przystające (cecha kąt‑bok‑kąt). Stąd wnioskujemy oraz .
:
Z równości , wynika, że trójkąty i są przystające (cecha bok‑kąt‑bok). Wobec tego , skąd wynika, że proste i są równoległe. Analogicznie dowodzimy, że proste i są równoległe.
Wykorzystamy teraz równoważność powyższych warunków w rozwiązaniu kilku ciekawych problemów:
Punkt jest środkiem boku trójkąta . Wówczas wtedy i tylko wtedy, gdy .
Rozwiązanie
Oznaczmy przez punkt symetryczny do punktu względem punktu . Wówczas czworokąt jest równoległobokiem:
Zauważmy, że jeżeli to również . Wtedy trójkąty i są przystające, stąd .
Odwrotnie: jeżeli to i trójkąty i są przystające, stąd wniosek, że kąty i są równe. Ponadto suma ich miar jest równa , więc miara każdego z nich musi być równa .
Punkty i są środkami boków i trójkąta . Wówczas proste i są równoległe oraz
Rozwiązanie
Niech będzie obrazem symetrycznym punktu względem punktu . Wówczas czworokąt jest równoległobokiem, wobec tego odcinki i są równoległe i mają równą długość. Z założeń , więc czworokąt jest równoległobokiem, zatem proste i są równoległe, oraz .
Powyższe twierdzenie nazywane jest twierdzeniem o linii środkowej w trójkącielinii środkowej w trójkącie
Wykorzystamy teraz powyższy przykład do charakterystyki czworokąta, którego wierzchołkami są środki boków dowolnego czworokąta .
Punkty , , , są odpowiednio środkami boków , , , czworokąta (rysunek). Pokażemy, że to równoległobok.
Rozwiązanie
Wystarczy, że wykorzystamy tezę poprzedniego przykładu analizując trójkąty i . Otrzymamy, że odcinki i są równoległe do oraz równe połowie tego odcinka, więc czworokąt (na podstawie własności ) jest równoległobokiem.
Podobnie, odcinki i są równoległe do odcinka oraz równe połowie tego odcinka, więc czworokąt jest równoległobokiem.
Spójrzmy, jak możemy wykorzystać równoległobok w zadaniach optymalizacyjnych.
Po dwóch stronach rzeki o równoległych brzegach znajdują się dwa domki położone w punktach i (rysunek). W którym miejscu należy wybudować most , prostopadły do brzegów rzeki, aby droga łącząca oba domki i biegnąca przez most była najkrótsza?
Rozwiązanie
Zastanowimy się, kiedy łamana jest najkrótsza. Zauważmy, że brzegi rzeki są równoległe, więc jej szerokość, a więc długość mostu jest zawsze taka sama.
Możemy zatem pominąć długość mostu . Nasze zadanie polega więc na znalezieniu takiego miejsca przy brzegu rzeki, żeby suma długości odcinków była najmniejsza z możliwych.
Wyznaczmy taki punkt , aby czworokąt był równoległobokiem. Wtedy
Ostatnia nierówność wynika z nierówności trójkąta.
Równość zachodzi, jeżeli punkt leży na odcinku .
Zatem szukanym punktem na brzegu rzeki jest punkt przecięcia prostej z „górnym” brzegiem rzeki – punkt .
W tym miejscu należy wybudować most.
Punkt leży wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości . Proste , , przecinają odcinki , , odpowiednio w punktach , , (rysunek).
Zastanówmy się jakie jest ograniczenie górne sumy:
Rozwiązanie
Prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta przechodzące przez punkt :
Analizując dokładnie powyższy rysunek zwrócimy uwagę na najważniejsze aspekty rozwiązania:
powstają trzy równoległoboki: , , i trzy trójkąty równoboczne: , , .
odcinek leżący wewnątrz trójkąta równobocznego jest krótszy od jego boku.
Na podstawie powyższych obserwacji otrzymujemy:
.
Zatem ograniczenie górne naszej sumy jest równe .
Słownik
odcinek łączący środki pewnych dwóch boków trójkąta
zdanie „jeżeli , to ”, co zapisujemy