Przeczytaj

W materiale omówimy, w jaki sposób obliczać oprocentowanie od założonych lokat bankowych oraz udzielonych kredytów.

Lokaty bankowe

Lokatą bankową nazywamy umowę z bankiem, na mocy której bank przyjmuje na określony z góry czas kapitał inwestora, a po zakończeniu trwania umowy zwraca kapitał powiększony o zysk, który nazywa się odsetkami.

W obecnym systemie bankowym uzyskane odsetki pomniejsza się o należny podatek.

Z pojęciem lokaty związana jest kapitalizacja odsetek.

Kapitalizacją odsetek nazywa się powiększanie kapitału poprzez dopisanie odsetek, które zostały wypracowane przez ten kapitał.

Okresem kapitalizacji nazywamy czas, po którym następuje dopisanie odsetek do kapitału.

Do obliczania wartości kapitału otrzymanego po upływie okresu trwania lokaty, możemy skorzystać z prostego wzoru.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$K_{0}$ – kapitał początkowy,

$K_{n}$ – kapitał końcowy po $n$ latach,

$n$ – liczba lat depozytu,

$r$ – roczna stopa procentowa.

Jeśli kapitalizacja odsetekkapitalizacja odsetekkapitalizacja odsetek odbywa się jeden raz w roku, to:

K_{n} = K_{0} \cdot {(1 + \frac{r}{100})}^{n}

Na wysokość kapitału w kolejnych latach ma wpływ to, czy odsetki naliczone po kapitalizacji zostają:

wypłacone po roku trwania lokaty,

dopisane do kolejnego roku trwania lokaty.

Kredyty

Kredytem bankowym nazywamy pisemną umowę pomiędzy kredytodawcą (bankiem) a kredytobiorcą (klientem), na podstawie której kredytodawca udostępnia określoną kwotę pieniędzy, a obowiązkiem kredytobiorcy jest zwrot kredytu w ustalonym okresie wraz z odsetkami.

Do kosztów kredytu zalicza się:

odsetki – ich wysokość jest wyznaczona przez oprocentowanie stałe lub zmienne,

prowizja – opłata pobierana przez bank w zamian za udzielenie kredytu,

ubezpieczenie, w formie polisy, które chroni kredytobiorcę np. w razie utraty pracy,

dodatkowe opłaty – koszty, które uwzględniają na przykład opłatę za rozpatrzenie wniosku.

Oprocentowanie kredytu jest określane w stosunku rocznym, zaś raty kredytu płacone są miesięcznie.

Rata kredytu obejmuje dwa elementy: część kapitałową i odsetki. Istnieje możliwość wyboru jednego z dwóch rodzajów rat:

raty równe – przez cały okres spłaty zobowiązania ich wysokość będzie taka sama, zmieniać się będzie jedynie proporcja pomiędzy poszczególnymi elementami,

raty malejące – kwota kapitału jest przez cały czas na jednym poziomie, zmienia się tylko wysokość odsetek, a sama rata będzie malała wraz z upływem czasu.

Wysokość raty równej obliczamy ze wzoru:

I = \frac{N \cdot r}{k \cdot (1 - {(\frac{k}{k + r})}^{n})}

gdzie:

$I$ – wysokość raty równej,

$N$ – kwota udzielonego kredytu,

$r$ – oprocentowanie kredytu w skali roku,

$k$ – liczba rat płatnych w ciągu roku,

$n$ – liczba rat.

Wysokość raty malejącej w pierwszym miesiącu obliczamy ze wzoru:

I = \frac{N}{n} + N \cdot \frac{r}{100 k}

przy czym w kolejnych miesiącach kwotę udzielonego kredytu pomniejsza się o zapłacone raty.

W poniższych przykładach omówimy, w jaki sposób obliczyć odsetki od lokaty oraz wysokość rat równych i malejących w przypadku kredytu.

Przykład 1

Na roczną lokatę bankową wpłacono kwotę $50000 zł$ przy rocznym oprocentowaniu $1, 8 %$ . Obliczymy, ile odsetekodsetkiodsetek otrzymamy z tej lokaty, jeżeli podatek od odsetek wynosi $19 %$ .

Rozwiązanie:

Z treści zadania mamy następujące dane:

$K_{0} = 50000 zł$

$r = 1, 8 %$

$n = 1$

Zatem

$K_{1} = 50000 \cdot (1 + \frac{1, 8}{100}) = 50900$

$i = 50900 - 50000 = 900$

Po odjęciu podatku od odsetek w wysokości $19 %$ otrzymujemy kwotę:

$81 % \cdot 900 = 729$

Wobec tego po upływie roku otrzymamy kwotę odsetek $729 zł$ .

Przykład 2

Obliczymy wysokość drugiej raty kredytu udzielonego na kwotę $36000 zł$ na okres dwóch lat, przy rocznym oprocentowaniu kredytu $4 %$ , jeżeli raty miesięczne są malejące.

Rozwiązanie:

Z zadania mamy następujące dane:

$N = 36000 zł$

$k = 12$

$n = 24$

$r = 4 %$

Wysokość raty $I_{1}$ w pierwszym miesiącu trwania kredytu wynosi:

$I_{1} = \frac{N}{n} + N \cdot \frac{r}{100 k} = \frac{36000}{24} + 36000 \cdot \frac{4}{100 \cdot 12} = 1500 + 120 = 1620$

Wysokość raty $I_{2}$ w drugim miesiącu trwania kredytu wynosi:

$I_{2} = \frac{N}{n} + (N - \frac{N}{n}) \cdot \frac{r}{100 k} = \frac{36000}{24} + 34500 \cdot \frac{4}{100 \cdot 12} =$

$= 1500 + 115 = 1615$

Przykład 3

Obliczymy wysokość raty równej, kredytu udzielonego na kwotę $80000 zł$ na okres $5$ lat, jeżeli raty są spłacane miesięcznie, a roczna stopa procentowa wynosi $5 %$ .

Rozwiązanie:

Z zadania mamy następujące dane:

$N = 80000 zł$

$k = 12$

$n = 60$

$r = 5 %$

Do obliczenia raty kredytu wykorzystamy wzór:

$I = \frac{N \cdot r}{k \cdot (1 - {(\frac{k}{k + r})}^{n})}$

Zatem:

$I = \frac{80000 \cdot \frac{5}{100}}{12 \cdot (1 - {(\frac{12}{12 + \frac{5}{100}})}^{60})} \approx 1509, 70$

Można łatwo sprawdzić, że kapitał spłacony po upływie okresu kredytu jest zbliżony do kwoty, jaką otrzymalibyśmy z lokaty na ten sam okres i przy tym samym oprocentowaniu.

Przykład 4

Połowę kwoty $4000 zł$ złożono na lokatę roczną w banku $I$ , a drugą połowę w banku $II$ . Wiadomo, że odsetki uzyskane po roku w banku $I$ były o $30 zł$ wyższe niż odsetki uzyskane w banku $II$ . Obliczymy, o ile punktów procentowych oprocentowanie lokaty w banku $I$ było wyższe od oprocentowania w banku $II$ .

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$p$ – oprocentowanie lokaty w banku $I$ ,

$r$ – oprocentowanie lokaty w banku $II$ .

Wobec tego odsetki uzyskane w bankach wynoszą odpowiednio:

w banku $I$ : $2000 \cdot p$

w banku $II$ : $2000 \cdot r$

Ponieważ odsetki uzyskane po roku w banku $I$ były o $30 zł$ wyższe niż odsetki uzyskane w banku $II$ , zatem zachodzi zależność:

$2000 \cdot \frac{p}{100} = 2000 \cdot \frac{r}{100} + 30$

$2000 \cdot \frac{p}{100} - 2000 \cdot \frac{r}{100} = 30$

$2000 \cdot (p - r) = 3000$

$p - r = \frac{3000}{2000} = 1, 5$

$p = r + 1, 5$

Zatem oprocentowanie w pierwszym banku było większe niż oprocentowanie w drugim banku o $1, 5$ punktu procentowego.

Przykład 5

Kwotę $20000 zł$ podzielono na dwie części. Jedną część wpłacono do banku $I$ na lokatę roczną oprocentowaną $2 %$ w skali roku. Drugą część wpłacono do banku $II$ na lokatę roczną oprocentowaną $1 %$ w skali roku. W każdym z banków od naliczonych odsetek pobrano podatek w wysokości $19 %$ . Obliczymy, jaką kwotę wpłacono do każdego z banków, jeżeli po roku otrzymano $226, 80 zł$ odsetek.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – kwota wpłacona do banku $I$ ,

$20000 - x$ – kwota wpłacona do banku $II$ ,

$r_{1} = 2 %$ ,

$r_{2} = 1 %$ .

Po odliczeniu $19 %$ podatku od odsetek kapitał uzyskany po roku z banku $I$ wynosi:

$x \cdot (1 + \frac{2}{100} \cdot \frac{81}{100})$

Po odliczeniu $19 %$ podatku od odsetek kapitał uzyskany po roku z banku $II$ wynosi:

$(20000 - x) \cdot (1 + \frac{1}{100} \cdot \frac{81}{100})$

Łączny kapitał uzyskany po roku z obu banków wynosi $20226, 80 zł$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x \cdot (1 + \frac{2}{100} \cdot \frac{81}{100}) + (20000 - x) \cdot (1 + \frac{1}{100} \cdot \frac{81}{100}) = 20226, 8$

Z równania otrzymujemy, że

$x = 8000$ , zatem:

$20000 - x = 20000 - 8000 = 12000$

Wobec tego do banku $I$ wpłacono kwotę $8000 zł$ , zaś do banku $II$ wpłacono kwotę $12000 zł$ .

Słownik

odsetki

wynagrodzenie za korzystanie z kapitału przez bank

kapitalizacja odsetek

dodanie odsetek, które do końca danego okresu wypracował złożony kapitał

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Lokaty bankowe

Kredyty

Słownik