Warto przeczytać

Obejrzyj raz jeszcze wykres pomiarów intensywności promieniowania jonizującego. Został on uzupełniony o tzw. „słupki błędów”, jak żargonowo nazywa się odcinki  niepewności pomiarowych, nanoszone na wykresach (Rys. 1.)

RRNx4fGh1L2NP

Rys. 1. Ilustracja pokazuje wykres prezentujący wyniki trzydziestu pomiarów promieniowania jonizującego. Osie wykresu narysowano czarnymi liniami. Pionowa oś opisana jest jako liczba zliczeń. Na osi liczby zliczeń zaznaczono wartości od zera do dwudziestu pięciu co pięć. Pozioma oś wykresu podpisana jest jako numer pomiaru. Na osi numeru pomiaru zaznaczono wartości od zera do trzydziestu, również co pięć. W polu wykresu widocznych jest trzydzieści niebieskich punktów pomiarowych. Wartości dla kolejnych punktów pomiarowych to: dwanaście, osiem, dwanaście, siedemnaście, szesnaście, dziesięć, osiem, dziewiętnaście, siedem, dziewięć, piętnaście, trzynaście, osiem, piętnaście, czternaście, dwanaście, siedemnaście, dwanaście, szesnaście, siedemnaście, dziewięć, pięć, dziewiętnaście, jedenaście, sześć, jedenaście, trzynaście, siedem, osiem i czternaście. W polu wykresu widoczna jest również funkcja o stałej wartości, narysowana w postaci poziomej, czerwonej linii. Wartość czerwonej funkcji jest równa dwanaście

Teraz już nie dziwi Cię, że wyniki mają tak różne wartości, skoro tak duże są ich niepewności pomiarowe. Dodałem też czerwoną linię - ilustruje ona położenie wartości średniej.

Przykład 1. Licznik Geigera‑Müllera

Punkty pomiarowePunkt pomiarowyPunkty pomiarowe na wykresie to liczba cząstek, które w zadanym przedziale czasu (przyjąłem 30 sekund) przeszły przez objętość czynną licznika Geigera‑Müllera i zostały zarejestrowane przez radiometr (Rys. 2.)

R1PqHVuxijMF1

Rys. 2. Ilustracja przedstawia radiometr z licznikiem Geigera‑Müllera. Licznik ma postać żółtego, prostokątnego urządzenia z symetrycznymi zwężeniami wzdłuż boków. Zwężenia ułatwiają trzymanie radiometru w ręku. W górnej części urządzenia umieszczony jest szary wyświetlacz wskazujący wynik czternastu setnych milisiwerta. Pod wyświetlaczem widoczna jest szara klawiatura składająca się z dziewięciu przycisków. Nad wyświetlaczem widoczny jest podłużny, pionowy i srebrny element. Obok radiometru, po prawej stronie widoczne jest powiększenie srebrnego elementu. Srebrny element to licznik Geigera‑Müllera widoczny w postaci cylindrycznego elementu o czerwonym zwieńczeniu i czarnej dolnej części. Z dolnej części wystają dwa metalowe druciki służące do zamontowania licznika wewnątrz radiometru. Przez srebrny element w górnej części radiometru przechodzi czerwony odcinek biegnący w kierunku lewego i dolnego rogu ilustracji. Kierunek biegu odcinka zaznaczono czerwonymi grotami strzałek. Odcinek symbolizuje tor lotu cząstki przecinający objętość licznika Geigera‑Müllera.

Są to głównie cząstki promieniowania kosmicznegoPromieniowanie kosmicznepromieniowania kosmicznego. Jest sprawą przypadku, że trajektoria jakiejś cząstki przebiega akurat przez licznik. To dlatego liczby zliczeń tych cząstek w poszczególnych pomiarach są różne, choć każdy trwał tyle samo czasu.

I rzeczywiście: przyjrzyj się uważnie położeniom punktów pomiarowych na wykresie oraz ich niepewnościom. Bez trudu wskażesz punkty odstające dość daleko od wartości średniej $\bar{x}$, która wynosi 12 zliczeń na 30 sekund. Wiele punktów odbiega od średniej znacznie dalej niż zakres ich niepewności standardowej. Jest to zrozumiałe, ponieważ proces rejestracji cząstek podlega prawom statystycznym.

Jedno z tych praw mówi, że niepewność standardowa danej liczby zliczeń jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z tej liczby. Popatrz na wykres i zauważ, że tak istotnie jest - punkty odpowiadające większym wartościom zliczeń mają nieco większe odcinki niepewności. Przypomnijmy, że niepewność standardowa tych punktów $u(x)$ określa przedział od $\bar{x}-u(x)$ do $\bar{x}+u(x)$, w którym wartość prawdziwa (tj. $x_0$, której przybliżeniem jest $\bar{x}$) znajduje się z prawdopodobieństwem ok. 68%. Znaczy to, że z prawdopodobieństwem ok. 32% zmierzona wartość (tj. punkt pomiarowy) może odbiegać od wartości średniej $\bar{x}$ o więcej niż wartość niepewności standardowej. To właśnie dlatego niektóre punkty na wykresie są bardziej odległe od średniej niż ich odcinki niepewności.

Przykład 2. Izochronizm drgań wahadła

W omówionym powyżej przypadku mieliśmy na osi odciętych numer pomiaru, czyli wielkość nieobarczoną błędem pomiarowym. Na ogół jednak tak nie jest.

Przykładem sytuacji, w której mierzona jest zależność pomiędzy dwiema zmiennymi, jest problem izochronizmu drgańIzochronizm drgańizochronizmu drgań wahadła.

Postawmy hipotezę badawczą: Istnieje zakres amplitud, w którym drgania wahadła matematycznego można uznać za izochroniczne.

Zbadajmy ten zakres dla dwumetrowego wahadła w ziemskim polu grawitacyjnym. W tym celu zmierzymy zależność okresu drgań $T$ od amplitudy drgań wahadła $A$.
By uniknąć zmiany amplitudy podczas pomiaru (np. wskutek tłumienia), wahadło wychylamy o zadany kąt i puszczamy. Kąt ten określamy za pomocą tablicowego kątomierza o rozdzielczości 1º.

Dysponujesz ręcznym stoperem, który uruchamiasz w momencie puszczenia wahadła i zatrzymujesz po jednym okresie. Wyniki pomiaru przedstawiamy w tabeli.

Choć stoper miał rozdzielczość 0,01 s, to musimy uznać, że dokładność pomiaru jest znacznie gorsza, bo wynika z refleksu osoby wykonującej pomiary. Dokładność tę szacuje się na ogół na 0,2 s i taką też przyjmiemy niepewność graniczną wyznaczania okresu drgań:

Niepewność standardowa pomiaru okresu wynosi więc 0,12 s. Analogicznie określamy niepewność standardową amplitudy:

Każdy punkt pomiarowy na wykresie $T\mathrm{(}A\mathrm{)}$ (Rys. 3.) zostanie więc przedstawiony z dwoma odcinkami niepewności: równoległym do osi odciętych (na której odkładamy amplitudy) oraz równoległym do osi rzędnych (na której odkładamy okresy drgań).

R1GMKomlrFlbm

Rys. 3. Ilustracja przedstawia wykres zależności okresu wahadła, wielka litera T, w funkcji amplitudy wyrażonej w stopniach. Amplituda oznacza kąt odchylenia wahadła od położenia równowagi. Osie wykresu narysowane są czarnymi strzałkami. Jedna z osi jest pionowa i przedstawia okres wyrażony w  sekundach, wielka litera T i w nawiasie kwadratowym mała litera s. Na pionowej osi zaznaczono wartości od zera do trzech sekund, co pięć dziesiątych sekundy. Pomiędzy znacznikami na osi widoczne są mniejsze znaczniki pomocnicze, co jedną dziesiątą sekundy. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia amplitudę wyrażoną w stopniach. Na osi amplitudy zaznaczono wartości pięciu, dziesięciu, dwudziestu, trzydziestu oraz czterdziestu stopni. W polu wykresu widoczne są punkty pomiarowe w postaci niebieskich kropek. Na punkty pomiarowe naniesione zostały odcinki niepewności, pionowe oraz poziome. Pionowe odcinki niepewności mają długość około dwóch dziesiątych sekundy. Poziome odcinki niepewności mają długość około jednego stopnia. Dla amplitudy równej pięć stopni wartość okresu wynosi około dwóch i dziewięciu dziesiątych sekundy. Dla wychylenia równego dziesięć stopni wartość okresu jest minimalnie mniejsza. Kolejne punkty pomiarowe dla dwudziestu, trzydziestu i pięćdziesięciu stopni przyjmują wartości rosnące o średnio około jedną do dwóch dziesiątych sekundy.

Pierwsze, co rzuca się w oczy, to fakt, że poziome odcinki niepewności są niewiele większe niż rozmiar kropki, którą oznaczamy punkty pomiarowe. Stawia to pod znakiem zapytania celowość ich nanoszenia na wykres.

Pionowe odcinki niepewności również nie są zbyt czytelne. Nie pozwalają rozstrzygnąć, czy widoczna słaba tendencja wzrostowa okresu drgań jest efektem przypadku, związanego z  niepewnością pomiarową, czy wskazuje na nieizochronicznyIzochronizm drgańnieizochroniczny charakter drgań wahadła. Zastosujmy więc pewien trik: przedstawmy na osi rzędnych jedynie fragment przedziału czasu (Rys. 4.). Na rysunku tym zaznaczamy także czerwoną linią wartość $T_0$ - okresu drgań izochronicznych, obliczonych zgodnie z wyrażeniem:

gdzie $l=2\text{ m}$, $g=9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$, zaś $\pi=3,142$.

R2scjzBGLrfoV

Rys. 4. Ilustracja przedstawia wykres zależności okresu wahadła, wielka litera T, w funkcji amplitudy wyrażonej w stopniach. Amplituda oznacza kąt odchylenia wahadła od położenia równowagi. Osie wykresu narysowane są czarnymi strzałkami. Jedna z osi jest pionowa i przedstawia okres wyrażony w sekundach, wielka litera T i w nawiasie kwadratowym mała litera s. Na pionowej osi zaznaczono wartości od dwóch i czterech dziesiątych sekundy do trzech i dwóch dziesiątych sekundy, co pięć setnych sekundy. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia amplitudę wyrażoną w stopniach. Na osi amplitudy zaznaczono wartości pięciu, dziesięciu, dwudziestu, trzydziestu oraz czterdziestu stopni. W polu wykresu widoczne są punkty pomiarowe w postaci niebieskich kropek. Na punkty pomiarowe naniesione zostały odcinki niepewności, pionowe oraz poziome. Pionowe odcinki niepewności mają długość około dwóch dziesiątych sekundy. Poziome odcinki niepewności mają długość około jednego stopnia. Dla amplitudy równej pięć stopni wartość okresu wynosi około dwóch i dziewięciu dziesiątych sekundy. Dla wychylenia równego dziesięć stopni wartość okresu jest minimalnie mniejsza. Kolejne punkty pomiarowe dla dwudziestu, trzydziestu i pięćdziesięciu stopni przyjmują wartości rosnące o średnio około jedną do dwóch dziesiątych sekundy. Na wykresie widoczna jest dodatkowa funkcja narysowana czerwoną linią. Czerwona funkcja przyjmuje stałą wartość dwóch i osiemdziesięciu pięciu setnych sekundy. Czerwona funkcja przecina pionowe odcinki niepewności pięciu pierwszych punktów na wykresie i przechodzi nieco poniżej odcinka niepewności punktu pomiarowego uzyskanego dla amplitudy równej pięćdziesiąt stopni.

Tu wyraźnie widoczne są trzy cechy badanej zależności:

1. W zakresie amplitud $A\le {40}^{\circ }$ odstępstwa wyników pomiarów od wartości $T_0$ jest mniejsze od ich niepewności standardowych. Zatem okres drgań może być uznany za stały i niezależny od amplitudy. W tym zakresie amplitud, przy tej dokładności pomiarów, drganie wahadła wykazuje izochroniczność.

2. Dla amplitudy $A=50°$ odstępstwo wyniku od wartości $T_0$ jest większe od jego niepewności standardowej, jednak mniejsze od dwóch odchyleń standardowych. Tak więc jednoznaczne rozstrzygnięcie problemu izochroniczności drgań w tym zakresie amplitud i przy tej niepewności pomiarowej jest niemożliwe.

3. Zauważamy słabą tendencję wzrostową badanej zależności: każdy z czterech ostatnich punktów pomiarowych ma dłuższy okres drgań niż punkt poprzedni. Z drugiej strony wzrost ten każdorazowo jest mniejszy od niepewności pomiarowej okresu drgań, każdy więc może być statystycznie nieważki (tzn. może być dziełem przypadku).

Wniosek
Ze względu na powyższe spostrzeżenia problem izochroniczności drgań wahadła w pełnym zakresie amplitud pozostaje w tym doświadczeniu nierozstrzygnięty. Należy - w miarę możliwości i środków - powtórzyć pomiar, zapewniając dokładność lepszą co najmniej o rząd wielkości.

Podsumowanie

Przedstawienie niepewności pomiarowych w formie graficznej ilustruje w poglądowy sposób dokładności wykonanych pomiarów. Umożliwia także poprawną ich interpretację.

Wynik pomiaru bez podanej wartości jego niepewności jest bezwartościowy. Podobnie, punkt pomiarowy na wykresie bez odcinka niepewności (gdy odcinek ten jest odpowiednio długi), nie może być traktowany jako prezentacja wyniku pomiaru.

Słowniczek