Warto przeczytać

Czy sprzedawca w sklepie z pamiątkami regulował zegarki przed umieszczeniem ich na ścianie? Trudno powiedzieć, ale przyjmijmy, że tak. Na ile starannie to zrobił - to też trudno powiedzieć. A jak precyzyjny jest mechanizm każdego z zegarów, także trudno orzec, choć to zegarki szwajcarskie... A może ktoś z kupujących „pobawił się” którymś z zegarów? A może…?

Z całą pewnością można stwierdzić tylko to, że wiele przyczyn złożyło się na to, że różne zegarki w sklepie z pamiątkami pokazywały różne godziny. Dlatego sprzedawca udzielił dobrej (a do tego dowcipnej) odpowiedzi. Rzeczywiście, kiedy różne pomiary dają ten sam wynik, nie ma sensu ich dalej powtarzać. Kiedy jednak wyniki pomiarów są różne, trzeba ich mieć jak najwięcej.

Ja też mam w domu wiele zegarów. Któregoś dnia, z pomocą rodziny, zrobiłem fotografię swoim zegarom niemal w tym samym czasie. Poniższe zdjęcia dokumentują tę chwilę (Rys. 1.).

R14tm6yMVW2r0

Rys. 1. Ilustracja przedstawia kompozycję złożoną z czternastu zdjęć zegarów z różnych epok. Od lewej mamy dwa zegary zawieszone na ścianie. Jeden z nich to mały domek o brązowej fasadzie i czerwonym dachu, pod którym na huśtawce huśta się mała lalka ubrana w strój ludowy. Do zdjęcia dołączono powiększenie metalowej tarczy tego zegara. Kolejne zdjęcie obok, to okrągły zegar z białą tarczą w brązowej ramce, wiszący płasko na ścianie. Po prawej umieszczono zdjęcie starego zegara stojącego, który wygląda jak drewniane małe pudełko z białą tarczą. Są to najstarsze zegary z zaprezentowanych, wyposażone w systemy mechaniczne złożone z kół zębatych i zapadek, odmierzających czas. W drugim rzędzie od góry widoczne są nieco nowsze typy zegarów. Na przykład stojący zegarek w postaci metalowego pudełka z białą półokrągłą tarczą ze wskazówkami. Po prawej widoczne są kolejne dwa zegary. Jeden ścienny okrągły w plastikowej szarej ramce oraz zegar elektroniczny wyświetlający godzinę na czarnym ekranie urządzenia stereo. W najniższym rzędzie widoczne są od lewej trzy zegary ścienne, najbardziej po lewej widnieje zegar, którego tarcza kształtem przypomina kontynent afrykański. Dwa pozostałe to płaskie okrągłe tarcze zawieszone na ścianie. Jeden z nich ma żółtą ramkę i białą tarczę, a drugi wygląda jak porcelanowy talerz ręcznie malowany. Obok, po prawej stronie, ułożono współczesny zegarek naręczny z metalową okrągłą kopertą, czarną tarczą na metalowej bransoletce. Kolejne zdjęcia po prawej prezentują stojący, plastikowy budzik, przypominający prostopadłościenne pudełko z białą tarczą. Część z prezentowanych zegarów wyposażona jest w mechaniczne systemy odmierzające czas. Są to najmniej dokładne czasomierze. Pozostałe wykorzystują systemy elektroniczne, znacznie dokładniejsze. Warto zauważyć, że część z zaprezentowanych na zdjęciach zegarów posiada analogowe tarcze wyposażone we wskazówki. Dokładny odczyt godziny z tych urządzeń jest dodatkowo utrudniony, ponieważ użytkownik musi często zdecydować, bliżej którego wskazania znajduje się wskazówka. Zdecydowanie łatwiej jest odczytać godzinę z czasomierzy wyposażonych w wyświetlacz cyfrowy. W takim przypadku nie występuje niepewność związana z odczytem, ale należy pamiętać, że dana wartość na wyświetlaczu będzie taka sama przez całą minutę. Każde z urządzeń, niezależnie od tego czy jest to przyrząd cyfrowy, czy analogowy, ma zalety i wady. Powszechnie uważa się jednak, że urządzenia cyfrowe są dokładniejsze, ze względu na niezależność od usterek mechanicznych układów odmierzających czas. Wszystkie zegary przedstawione w kompozycji zdjęć pokazują godzinę od 18:03 do 18:08.

Zegar oznaczony żółtą gwiazdką jest sterowany sygnałem radiowym, pozostałe ustawiłem ręcznie, kiedy zmieniał się czas z letniego na zimowy.

Wskazania tych czternastu zegarów są następujące: 18:06, 18:07, 18:08, 18:05, 18:04, 18:06, 18:09, 18:06, 18:03, 18:08, 18:06, 18:05, 18:07, 18:05. Wskazania zaokrągliłem do pełnych minut, ale - jak widać - wskazania te się różnią w zakresie kilku minut. Sterowany radiem zegar sam się wyregulował w nocy. Kiedy go fotografowałem, wskazywał godzinę 18:06 i 35 sekund. Na powyższej liście jego wskazanie zaokrągliłem do 18:07.

Jak widać, niektóre z zegarów się spieszą, inne spóźniają i tak już zapewne pozostanie, bo na razie nie mam zamiaru ich regulować. Kilkuminutowa dokładność ich wskazań wystarcza mi całkowicie w warunkach domowych. Zwróćmy uwagę, że wskazania konkretnego zegara obarczone są błędem systematycznym, bo ten, który spóźnia się dziś, także i jutro będzie się spóźniał. Ale prawdą jest, że jeden zegar się spóźnia, a drugi spieszy. Są to oczywiście błędy przypadkowe, bo nie miałem intencji przyspieszać, czy opóźniać moich zegarów, kiedy je regulowałem. Przyczyną błędów w ich wskazaniach jest -  muszę to przyznać- niezbyt staranna ich regulacja. Ustawienie jednego zegara nie miało przy tym żadnego wpływu na ustawianie drugiego. W rezultacie przypadkowy charakter błędów wskazań moich zegarów nie jest tu problemem, ale źródłem informacji. Mogę powiedzieć, że mam wykonane 14 niezależnych pomiarów tej samej wielkości. Gdyby zatem uśrednić ich wskazania, wynik powinien być bliższy prawdzie. Zróbmy to.

Wyliczam wartość średnią $x_{\text{śr}}$ zgodnie z wzorem:

Wyliczam też niepewność standardową wartości średniej $s_{\text{śr}}$, wykorzystując wzór:

Wzory (1) i (2) zostały dokładnie omówione w materiałach pt. Rozkład normalny i Wynik serii pomiarów powtarzalnych i jego niepewność standardowa.

Uwaga: we wzorach tych za wartości $x_1,x_2,\dots x_n$ podstawiam wskazania minut kolejnych zegarów ($n=14$). W rezultacie otrzymuję $x_{\text{śr}}=6,07\,\text{min}$ oraz $s_{\text{śr}}=0,44\text{ min}$, czyli wynik pomiaru czasu mogę zapisać jako $x=6,07~(0,44)\text{ min}$. Przeliczając to na godziny, minuty i sekundy otrzymuję czas, jaki był w chwili pomiarów wskazywany przez moje zegary: $t=18{\colon}06{\colon}04$, przy czym niepewność tego pomiaru wynosi $u(t)=0,44\cdot60\,\text{s}=26\,\text{s}$.

Wynik ten zgadza się nieźle ze wskazaniem zegara sterowanego sygnałem radiowym, który jest dla mnie wzorcem czasu. Widać, że wykonanie serii pomiarów umożliwia zmniejszenie wpływu błędów przypadkowych na wynik pomiaru. Obliczenie wartości średniej zwiększa precyzję pomiaru, a obliczenie jej niepewności jest informacją o wartości tej precyzji. Gdybym miał jeszcze więcej zegarów, to mógłbym poprawić dokładność mojego pomiaru, bo niepewność wartości średniej jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z liczby pomiarów. Nic więc dziwnego, że w odwiedzonym przez mnie sklepie w Genewie było tak wiele zegarów.

Zauważmy jednak, że gdybym regulował swoje zegary na podstawie wskazań takiego zegara, który sam się spóźnia lub spieszy, to wszystkie zegary zachowałyby ten błąd systematycznybłąd systematycznybłąd systematyczny i wartość średnia też byłaby nim obarczona. Oznacza to, że wykonanie serii pomiarów nie eliminuje możliwych błędów systematycznych. Jestem jednak w komfortowej sytuacji, dysponując sygnałem radiowym jako punktem odniesienia. Zwykle jednak tak nie jest, bo pomiar robimy po to, by wyznaczyć nieznaną wartość. Błędy systematyczne są trudniejsze do wykrycia i wyeliminowania.

Moje doświadczenia z zegarami sugerują jednak sposób rozwiązania problemu. Aby wyeliminować błędy systematyczne, trzeba mieć zegar taki, jak ten mój, który jest sterowany radiem. Taki zegar to wzorzec wielkości, która jest przedmiotem pomiaru. Sposobem na to, by uniknąć błędów systematycznych w pomiarach jest wzorcowanie, zwane również kalibracją urządzeń pomiarowych. Wzorcowanie polega na ustaleniu zależności pomiędzy wskazaniami wzorcowanego urządzenia pomiarowego, a wskazaniami wzorca. W najprostszym przypadku zależność ta ma postać stałego współczynnika, przez który należy pomnożyć wskazania danego urządzenia pomiarowego, aby uzyskać poprawną wartość. W skomplikowanych urządzeniach pomiarowych zależność ta może być wyrażona w postaci funkcji (bardziej skomplikowanej niż prosta proporcjonalność) lub tablicy. Zagadnieniami jednostek miar, ich definicji i wzorców oraz wszelkimi działaniami związanymi z metrologią zajmuje się w Polsce Główny Urząd Miar (GUM).

W powyższym przykładzie powiedzieliśmy, że przyczyną błędów przypadkowych była mała precyzja wyregulowania zegarów, a błędu systematycznego uniknęliśmy dzięki posiadaniu zegara wzorcowego. Nie zawsze tak jest. Zobaczmy inny przykład.

Na Rys. 2. pokazano zdjęcie skali z analogowego miernika wielkości elektrycznych. Kiedy patrzymy na skalę od strony prawej, w taki sposób jak na zdjęciu, wskazówka miernika „przesuwa się” w lewo. Gdybyśmy patrzyli z lewej strony, wskazówka „przesunęłaby się” w prawo. Jest to klasyczny przykład tzw. błędu paralaksy, wynikający z patrzenia ukośnie na tarczę miernika przy odczytywaniu wskazywanej wartości. Aby mu zapobiec, w takich miernikach często spotyka się zwierciadło ustawione za skalą tak, aby odczytu dokonywać wtedy, kiedy wskazówka i jej odbicie w zwierciadle pokrywają się.

RlJbLy8hhQXdo

Rys. 2. Zdjęcie przedstawia tarczę multimetru analogowego. Multimetr analogowy to urządzenie pomiarowe, służące do pomiarów parametrów elektrycznych, takich jak napięcie i natężenie prądu elektrycznego oraz rezystancja. Na zdjęciu fragmentu białej tarczy widnieją trzy półokrągłe skale jedna pod drugą. Dwie górne skale są zaznaczone czarnym kolorem, a dolna ma kolor zielony. Na najwyższej skali widoczna jest podziałka, na której zaznaczono wartości od dwudziestu do sześćdziesięciu, co dwa. Na środkowej skali zaznaczono wartości od pięciu do dwudziestu, co pięć dziesiątych. Na dolnej skali widoczna jest skala logarytmiczna, na której wartości rosną w lewą stronę, odwrotnie do noniuszy widocznych na górnych skalach. Zaznaczono na niej wartości od dwudziestu do pięciu dziesiątych. Na tarczy multimetru widoczna jest czarna cienka wskazówka, wychylająca się proporcjonalnie do mierzonej wielkości fizycznej. Wskazówka na górnej skali umiejscowiona jest blisko wartości równej czterdzieści, ale nieco mniej niż czterdzieści. Pod skalą widoczny jest szary łuk, równoległy do podziałki, w którym odbija się wskazówka. Jej odbicie pokazuje wynik odrobinę większy od czterdziestu, na który wskazuje czerwona strzałka pomocnicza (dorysowana na zdjęciu). W tej sytuacji mamy do czynienia z błędem paralaksy, czyli nieprawidłowym odczytem wartości, wynikającym z nieodpowiedniego spojrzenia na skalę. Używając mierników analogowych, gdzie odczyt wyniku to określenie pozycji na przykład wychylenia wskazówki, należy pamiętać, aby na urządzenie patrzeć z kierunku prostopadłego do wskaźnika. Wskazówka i jej odbicie powinny pokrywać się. Dzięki temu można uniknąć przekłamania odczytu wartości wskazywanej przez rzut wskazówki na noniusz. Im większa jest różnica kąta, pod którym widoczna jest wskazówka od kierunku prostopadłego względem tarczy, z której odczytywana jest wartość, tym większy błąd zostaje popełniony.

Kiedy błędy paralaksy mają charakter przypadkowy, a kiedy systematyczny? Zależy to od osoby wykonującej pomiar. Kiedy zwraca ona uwagę na to, by odczytywać wartości na skali miernika zawsze patrząc „na wprost”, a nie z prawa, czy z lewa, błąd paralaksy jest minimalny. Kiedy zaś nie dba o to, błąd paralaksy może się pojawić i mieć różne wartości, zarówno dodatnie, jak i ujemne, zarówno większe, jak i mniejsze, zależnie od tego, z której strony osoba ta spoglądała na miernik. Gdy spogląda ona na miernik z różnych stron, wtedy są to błędy przypadkowebłąd przypadkowybłędy przypadkowe. Kiedy zaś postawi miernik z boku i będzie zawsze spoglądać na niego z jednej strony, błąd paralaksy będzie miał zawsze ten sam znak. Będzie to więc błąd systematycznybłąd systematycznybłąd systematyczny. Zauważmy że problem paralaksy występuje też, kiedy odczytujemy temperaturę z zaokiennego termometru spoglądając z góry lub z dołu i w innych podobnych sytuacjach.

W takich przypadkach nie urządzenie pomiarowe, ale osoba wykonująca pomiar jest odpowiedzialna za występowanie w nim błędów. Swym sposobem wykonywania pomiarów może ona wprowadzać zarówno błędy przypadkowe, jak i systematyczne.

Podsumujmy i uogólnijmy wnioski z naszych rozważań:

1. W znaczeniu ilościowym przez błąd pomiarubłąd pomiarowybłąd pomiaru rozumiemy różnicę między wartością zmierzoną $x$ i rzeczywistą wartością $x_0$ mierzonej wielkości fizycznej, której na ogół nie znamy.

2. Pojęcie błędu pomiarowego jest pojęciem jakościowym, a nie ilościowym. Pojęcia tego używa się w celu zaznaczenia tego, że wartość mierzona różni się od wartości rzeczywistej. Innymi słowy, błąd jest pojęciem idealizowanym i błędy nie mogą być znane dokładnie.

3. Parametrem, który w sposób ilościowy opisuje rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej, jest niepewność pomiaruniepewność pomiarowaniepewność pomiaru, którą oznacza się przez $u(x)$ (zob. materiały pt. Jak w praktyce prowadzić pomiar i szacować niepewności pomiarowe? oraz Niepewność całkowita).

4. Każdy pomiar obarczony jest błędem, przy czym może to być błąd zarówno przypadkowy, jak i systematyczny.

5. Błędy przypadkowebłąd przypadkowyBłędy przypadkowe powstają wskutek oddziaływania na układ pomiarowy różnorodnych, niezależnych czynników.

6. Przyczyną powstawania błędów systematycznychbłąd systematycznybłędów systematycznych jest działanie na układ pomiarowy czynnika, który w określony sposób zmienia jego parametry pomiarowe.

7. Sygnałem rozpoznawczym występowania błędów przypadkowych są różne wartości wyników uzyskiwanych przy powtarzaniu pomiaru w tych samych warunkach pomiarowych.

8. Uzyskiwanie tych samych wartości przy powtarzaniu pomiarów świadczy o tym, że błędy przypadkowe są mniejsze niż dokładność urządzenia pomiarowego.

9. W celu weryfikacji, czy w pomiarze występuje błąd systematyczny, należy wynik pomiaru porównać ze wskazaniami urządzenia wzorcowego.

10. Wynik pojedynczego pomiaru nie umożliwia żadnej obiektywnej weryfikacji jego poprawności.

11. Wykonanie dużej liczby pomiarów oraz obliczenie wartości średniej i niepewności standardowej wartości średniej umożliwia znaczne zmniejszenie wpływu błędów przypadkowych na wynik pomiaru oraz obiektywną ocenę wielkości tego wpływu. Nie dostarcza to jednak informacji, czy pomiary zawierają błędy systematyczne.

12. Dla uniknięcia błędów systematycznych wymagane jest wzorcowanie urządzeń pomiarowych.

Myślę, że sprzedawca pamiątek przy Rue du Mont‑Blanc w Genewie doskonale o tym wiedział.

Słowniczek