Przeczytaj

Przypomnijmy na początek wzory skróconego mnożenia, które mogą być przydatne przy rozkładaniu wielomianów na czynniki.

Wszystkie wzory zapiszemy tak, że po lewej stronie będzie suma (różnica), a po prawej iloczyn (potęga).

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a = {(a + b + c)}^{2}$

$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = {(a + b)}^{3}$

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = {(a - b)}^{3}$

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

$a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$

dla $n$ nieparzystych
$a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} - \dots - a b^{n - 2} + b^{n - 1})$

Jeżeli znasz symbol Newtona lub trójkąt Pascala, możesz też uogólnić wzór na kwadrat lub sześcian sumy do postaci zwanej dwumianem Newtona:

$(\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + (\binom{n}{2}) a^{n - 2} b^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) a b^{n - 1} + (\binom{n}{n}) b^{n} = {(a + b)}^{n}$

Przykład 1

Pokażmy po jednym przykładzie zastosowań do rozkładania wielomianu na czynniki dla każdego z powyższych wzorów:

$x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2}$

$x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}$

$x^{2} - 15 = (x - \sqrt{15}) (x + \sqrt{15})$

$x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1 =$
$= x^{4} + x^{2} + 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x =$
$= {(x^{2} + x + 1)}^{2}$

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = {(x + 1)}^{3}$

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = {(x - 2)}^{3}$

$x^{3} + 2 = (x + \sqrt[3]{2}) (x^{2} - \sqrt[3]{2} x + \sqrt[3]{4})$

$8 x^{3} - 27 = (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)$

$x^{26} - 1 = (x - 1) (x^{25} + x^{24} + x^{23} + \dots + x + 1)$

$x^{25} + 1 = (x + 1) (x^{24} - x^{23} + x^{22} - \dots - x + 1)$

W dwóch ostatnich przypadkach jeden z uzyskanych czynników jest wielomianem stopnia większego niż $2$ , czyli nie jest wielomianem nierozkładalnym.

$x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1 = {(x + 1)}^{4}$

Przykład 2

Sprowadź do postaci iloczynowej wielomian $W (x) = x^{6} - 64$ .

$W (x) = x^{6} - 2^{6}$ .

Możemy teraz użyć wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów lub na różnicę kwadratów. Warto zawsze wybrać optymalną w danej sytuacji metodę.
Zaprezentujemy tu obie metody.

R17wGKcCrRkqc

Różnica sześcianów

$W (x) = {(x^{2})}^{3} - 4^{3} = (x^{2} - 4) (x^{4} + 4 x^{2} + 16)$
Wiadomo, że $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ .
Zauważmy, że
$x^{4} + 4 x^{2} + 16 = (x^{4} + 8 x^{2} + 16) - 4 x^{2} =$
$= {(x^{2} + 4)}^{2} - {(2 x)}^{2} = (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$ .
Oba uzyskane wielomiany drugiego stopnia są już nierozkładalne.
Zatem podsumowując
$W (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$ .

Różnica kwadratów

$W (x) = {(x^{3})}^{2} - 8^{2} = (x^{3} + 8) (x^{3} - 8) =$
$= (x^{3} + 2^{3}) (x^{3} - 2^{3})$ .
Korzystając ze wzorów na sumę i różnicę sześcianów uzyskujemy więc
$W (x) = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ ,
przy czym oba wielomiany drugiego stopnia są nierozkładalne.

Obie metody prowadzą oczywiście do tego samego rozwiązania
$W (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} + 2 x + 4)$ .
Warto zawsze wybrać tę, która jest dla nas prostsza i szybsza (wydaje się, że w powyższym przykładzie rozumowanie było trochę łatwiejsze przy użyciu na początek wzoru na różnicę kwadratów).

Przykład 3

Sprowadź do postaci iloczynowej wielomian
$W (x) = 27 x^{5} - 54 x^{4} + 36 x^{3} - 8 x^{2}$ .

Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias:
$W (x) = x^{2} (27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x - 8)$ .

Zauważmy, że w nawiasie możemy użyć wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy:
$W (x) = x^{2} {(3 x - 2)}^{3}$ .

Przykład 4

Sprowadź do postaci iloczynu wielomian
$W (x) = x^{4} - x^{2} + 2 x + 2$ .

Pogrupujmy odpowiednio wyrazy wielomianu dążąc do użycia wzorów skróconego mnożenia:
$W (x) = (x^{4} - 2 x^{2} + 1) + (x^{2} + 2 x + 1)$
$W (x) = {(x^{2} - 1)}^{2} + {(x + 1)}^{2}$
$W (x) = {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} + {(x + 1)}^{2}$

Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias:
$W (x) = {(x + 1)}^{2} ({(x - 1)}^{2} + 1)$
$W (x) = {(x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 2)$
(uzyskane czynniki są nierozkładalne)

Przypomnijmy, że zgodnie z zasadniczym twierdzeniem teorii wielomianówzasadniczym twierdzeniem teorii wielomianów każdy wielomian stopnia większego od $2$ można zapisać w postaci iloczynu wielomianów pierwszego stopnia i nierozkładalnych wielomianów drugiego stopnia. W ostatnim przykładzie pokażemy rozkłady kilku wielomianów stopnia $4$ , które nie mają pierwiastków rzeczywistych, czyli na mocy twierdzenia Bézoutatwierdzenie Bézoutatwierdzenia Bézouta w ich rozkładzie nie występują wielomiany pierwszego stopnia.

Przykład 5

Zapisz podany wielomian w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych zmiennej rzeczywistej:

RoV3VlC7ZTkyr

F (x) = x^{4} + x^{2} + 1

$F (x) = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2}$

F (x) = {(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2}

Skorzystajmy ze wzoru na różnicę kwadratów:
$F (x) = (x^{2} + 1 - x) (x^{2} + 1 + x)$
Uzyskane wielomiany drugiego stopnia są nierozkładalne. Po uporządkowaniu możemy zapisać
$F (x) = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + x + 1)$

G (x) = x^{4} + 1

Dążymy do zastosowania wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
$G (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - 2 x^{2}$
$G (x) = {(x^{2} + 1)}^{2} - {(\sqrt{2} x)}^{2}$
Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia i uporządkowaniu otrzymujemy iloczyn dwóch wielomianów nierozkładalnych drugiego stopnia:
$G (x) = (x - \sqrt{2} x + 1) (x + \sqrt{2} x + 1)$

H (x) = x^{4} - x^{2} + 1

Postąpimy podobnie jak poprzednio:
$H (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - 3 x^{2}$
$H (x) = {(x^{2} + 1)}^{2} - {(\sqrt{3} x)}^{2}$
$H (x) = (x^{2} - \sqrt{3} x + 1) (x^{2} + \sqrt{3} x + 1)$

$F (x) = x^{4} + x^{2} + 1$

$F (x) = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2}$

F (x) = {(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2}

Skorzystajmy ze wzoru na różnicę kwadratów:
$F (x) = (x^{2} + 1 - x) (x^{2} + 1 + x)$
Uzyskane wielomiany drugiego stopnia są nierozkładalne. Po uporządkowaniu możemy zapisać
$F (x) = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + x + 1)$

$G (x) = x^{4} + 1$

Dążymy do zastosowania wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
$G (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - 2 x^{2}$
$G (x) = {(x^{2} + 1)}^{2} - {(\sqrt{2} x)}^{2}$
Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia i uporządkowaniu otrzymujemy iloczyn dwóch wielomianów nierozkładalnych drugiego stopnia:
$G (x) = (x - \sqrt{2} x + 1) (x + \sqrt{2} x + 1)$

$H (x) = x^{4} - x^{2} + 1$

Postąpimy podobnie jak poprzednio:
$H (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - 3 x^{2}$
$H (x) = {(x^{2} + 1)}^{2} - {(\sqrt{3} x)}^{2}$
$H (x) = (x^{2} - \sqrt{3} x + 1) (x^{2} + \sqrt{3} x + 1)$

Słownik

twierdzenie Bézouta

liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W (x)$ dzieli się przez dwumian $x - a$ bez reszty

zasadnicze twierdzenie teorii wielomianów

jedyne wielomiany nierozkładalne stopnia dodatniego o współczynnikach rzeczywistych to wszystkie wielomiany pierwszego stopnia oraz wielomiany drugiego stopnia z ujemnym wyróżnikiem $Δ$
każdy wielomian stopnia większego od $2$ można zapisać w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych i niezerowej stałej
zapis w postaci iloczynu jest jednoznaczny z dokładnością do przemnożenia czynników przez stałą niezerową

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik