Zamienimy iloczyny na sumy algebraiczne, stosując prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowania).

$5·\left(x+a\right)=5·x+5·a$

$\left(a+b\right)·4=a·4+b·4=4·a+4·b$

$3·\left(y-2\right)=3·y-3·2=3·y-6$

$5·\left(a-b+2\right)=5·a-5·b+10$

$\left(z-3\right)·4=z·4-3·4=4·z-12$

$\left(x+1\right)·\left(y+2\right)=\left(x+1\right)·y+\left(x+1\right)·2=x·y+y+2·x+2$

Przedstawimy sumy algebraiczne w postaci iloczynów:

$7·x-7·y=7·\left(x-y \right)$

$4·t-8=4·t-4·2=4·\left(t-2\right)$

$a·b+2·a=a·\left(b+2\right)$

$3·x^2-2·x=x·\left(3·x-2\right)$

$y^3-y^2=y^2·\left(y-1\right)$

$5·x^2+10·x+15=5·\left(x^2+2·x+3\right)$

$5·x+x^2+a·x=x·\left(5+x+a\right)$

Wyłączymy wspólny czynnik – będący sumą  algebraiczną - przed nawias:

$\left(x+1\right)·a+5·\left(x+1\right)=\left(x+1\right)·\left(a+5\right)$

$\left(2·x-3\right)·x+3·\left(2·x-3\right)=\left(2·x-3\right)·\left(x+3\right)$

$\left(2·x-y\right)·x-y·\left(2·x-y\right)=\left(2·x-y\right)·\left(x-y\right)$

$\left(3·x-2\right)·x^2+x·\left(3·x-2\right)-7·\left(3·x-2\right)=\left(3·x-2\right)·\left(x^2+x-7\right)$

Rozłożymy na czynniki podane niżej wyrażenie metodą grupowania wyrazów.

$2·x^3-4·x^2+7·x-14=$

Łączymy składniki w pary.

$=\left(2·x^3-4·x^2\right)+\left(7·x-14\right)=$

Wspólnym czynnikiem dwóch pierwszych składników jest $2·x^2$, zaś wspólnym czynnikiem dwóch następnych jest $7$.

$=2·x^2·\left(x-2\right)+7·\left(x-2\right)=$

Wspólnym czynnikiem  jest teraz $\left(x-2\right)$.

$=\left(x-2\right)·\left(2·x^2+7\right)$

Rozłożymy sumy algebraiczne na czynniki, stosując metodę grupowania wyrazów.

$x^3+x^2+2·x+2=\left(x^3+x^2\right)+\left(2·x+2\right)=x^2\left(x+1\right)+2·\left(x+1\right)=$

$=\left(x+1\right)·\left(x^2+2\right)$

$x^3+x^2+2·x+2=\left(x^3+2·x\right)+\left(x^2+2\right)=x·\left(x^2+2\right)+\left(x^2+2\right)=$

$=\left(x^2+2\right)·\left(x+1\right)$

$x·y+2·y+3·x+6=\left(x·y+2·y\right)+\left(3·x+6\right)=y·\left(x+2\right)+3·\left(x+2\right)=$

$=\left(y+3\right)·\left(x+2\right)$

$x·y+2·y+3·x+6=\left(x·y+3·x\right)+\left(2·y+6\right)=x·\left(y+3\right)+2·\left(y+3\right)=$

$=\left(y+3\right)·\left(x+2\right)$

Zamienimy wyrażenia na iloczyny, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

$x^4-1=\left(x^2-1\right)·\left(x^2+1\right)=\left(x-1\right)·\left(x+1\right)·\left(x^2+1\right)$

Dwukrotnie zastosowaliśmy wzór na różnicę kwadratów.

$x^4-2\cdot x^2+1={\left(x^2-1\right)}^2={\left[\left(x-1\right)\cdot \left(x+1\right)\right]}^2={\left(x-1\right)}^2\cdot {\left(x+1\right)}^2$

Najpierw zastosowaliśmy wzór na kwadrat różnicy, a następnie na różnicę kwadratów.

$x^4+4\cdot x^2\cdot b^4+4\cdot b^8={\left(x^2+2\cdot b^4\right)}^2$

Zastosowaliśmy wzór na kwadrat sumy.

${\left(x+y\right)}^2-a^2=\left(x+y-a\right)·\left(x+y+a\right)$

Zastosowaliśmy wzór na różnicę kwadratów.

$8·x^3-1=\left(2·x-1\right)·\left(4·x^2+2·x+1\right)$

Zastosowaliśmy wzór na różnicę sześcianów.

$27·x^3+64=\left(3·x+4\right)·\left(9·x^2-12·x+16\right)$

Zastosowaliśmy wzór na sumę sześcianów.

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacji.

Zagadka Bhaskary:

Bawiły się raz małpy - wieść indyjska niesie -
Ósma ich część w kwadracie już skacze po lesie,
Pozostałych dwanaście w pląsach i z wrzaskami
Pomiędzy zielonymi hasa pagórkami.
Ileż ich wszystkich było? - Pyta się Bhaskara
Zagadka nie jest trudna, chociaż bardzo stara.

Aby rozwiązać tę łamigłówkę, oznaczmy przez $x$ liczbę wszystkich małp. Z treści rymowanki wynika, że ${\left(\frac{x}{8}\right)}^2+12=x$. Wystarczy zatem rozwiązać równanie $\left(\frac{x^2}{64}\right)-x+12=0$. Rozwiążemy je na dwa sposoby.

• $\text{I}$ sposób – z użyciem wzorów skróconego mnożenia:

  $\left(\frac{x^2}{64}\right)-x+12=0$

  Mnożymy obustronnie przez $64$.

  $x^2-64·x+768=0$

  Przygotowujemy się do zastosowania wzoru skróconego mnożenia.

  $x^2-2·32·x+{32}^2-{32}^2+768=0$

  Stosujemy wzór na kwadrat różnicy.

  ${\left(x-32\right)}^2-256=0$

  Stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

  $\left(x-32-16\right)·\left(x-32+16\right)=0$

  $\left(x-48\right)·\left(x-16\right)=0$

  Korzystamy z faktu, że iloczyn jest zerem, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem.

  $x-48=0$ lub $x-16=0$

  $x=48$ lub $x=16$

  Zatem małp było $48$ albo $16$.

• $\text{II}$ sposób – z użyciem metody grupowania wyrazów:

  $x^2-64·x+768=0$

  Zapisujemy $-64·x$ jako sumę $-48·x-16·x$

  $x^2-48·x-16·x+768=0$

  Z dwóch pierwszych składników wyłączamy przed nawias $x$, zaś z dwóch następnych wyłączamy $-16$.

  $x·\left(x-48\right)-16·\left(x-48\right)=0$

  Wyłączamy wspólny czynnik $\left(x-48\right)$ przed nawias.

  $\left(x-48\right)·\left(x-16\right)=0$

  Dalej postępujemy jak w poprzednim sposobie.

  $x=48$ lub $x=16$

Zauważ, że aby zastosować metodę grupowania wyrazów, najpierw rozłożyliśmy jeden ze składników na sumę tak, aby lewa strona równania zawierała cztery składniki. Dzięki temu, że liczba składników była parzysta, mogliśmy połączyć je w pary i wyłączyć wspólne czynniki w każdej z par. Takie rozwiązywanie równań wymaga pewnej wprawy, szczególnie, gdy pierwiastki równaniapierwiastek równaniapierwiastki równania nie są liczbami całkowitymi.

prawo matematyczne dotyczące liczb i wyrażeń algebraicznych, które pozwala zamienić iloczyn na sumę i odwrotnie: $a·\left(b+c\right)=a·b+a·c$

proces rozkładania liczby lub wyrażenia na czynniki

każda liczba, która spełnia dane równanie