Przeczytaj

Układ współrzędnych na płaszczyźnieUkład współrzędnych na płaszczyźnie, który będziemy rozważać jest dwuwymiarowym obiektem opisującym (porządkującym) płaszczyznę, składającym się z dwóch prostopadłych osi liczbowych: poziomej $X$ oraz pionowej $Y$ .

Osie te reprezentują uporządkowane zbiory liczbowe (najczęściej każda z nich przedstawia zbiór liczb rzeczywistych).

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. Punkt ten ma współrzędne $(0, 0)$ .

Każdy dowolnie wybrany na płaszczyźnie punkt można jednoznacznie opisać za pomocą dwóch liczb nazywanych współrzędnymi. Weźmy na przykład punkt $P$ . Zapisujemy go następująco: $P = (x; y)$ . Pierwszą współrzędną punktu (zwaną odciętą) odczytujemy na osi $X$ , a drugą współrzędną (zwaną rzędną) odczytujemy na osi $Y$ .

Przykład 1

Na rysunku zaznaczono punkt $A$ , którego pierwsza współrzędna jest równa $2$ , a druga współrzędna jest równa $3$ , co zapisujemy następująco: $A = (2, 3)$ .

R5boNKUXUVm7e

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono punkt A o współrzędnych 2;3.

Ważne!

Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest równa
$a$ , jest prostą równoległą do osi $Y$ i mającą równanie: $x = a$ .

Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których druga współrzędna jest równa $b$ , jest prostą równoległą do osi $X$ i mającą równanie: $y = b$ .

Uwaga!

Każdą prostą równoległą do osi $Y$ będziemy nazywać prostą pionową, a każdą prostą równoległą do osi $X$ prostą poziomą.

Przykład 2

Proste o równaniach $y = 2$ oraz $y = - 4$ są równoległe do osi $X$ (czyli są poziome). Proste o równaniach $x = 1$ oraz $x = - 3$ są równoległe do osi $Y$ (czyli są pionowe).

R1JPOOnb4bRf4

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano granatowym kolorem, proste równoległe do osi Y, opisane x=-3, oraz x=1. Kolorem różowym zaznaczono proste równoległe do osi X, opisane y=-4, oraz y=2.

Obliczenie odległości punktówodległość dwóch punktówodległości punktów o współrzędnych całkowitych, które leżą na tej samej prostej poziomej lub pionowej, sprowadza się do obliczenia liczby odcinków jednostkowych zawartych w odcinku, którego końcami są podane punkty.

Przykład 3

Odległość między punktami $A = (2, 4)$ oraz $B = (2, - 3)$ można znaleźć, licząc odcinki jednostkowe zawarte w odcinku $A B$ . Przekonamy się wtedy, że $|A B| = 7$ . Odległość między punktami $C = (- 3, 1)$ oraz $D = (1, 1)$ również można znaleźć, zliczając odpowiednio odcinki jednostkowe. Zobaczymy wtedy, że $|C D| = 4$ .

R15TbuXhZzzfO

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa odcinki. Poziomy odcinek CD, ograniczony punktem C o współrzędnych -3;1, oraz punktem D1;1. Pionowy odcinek AB, ograniczony punktem A2;4, oraz B2;-3.

Przykład 4

Odległości między punktami $A = (- \sqrt{2}, 1)$ oraz $B = (\sqrt{3}, 1)$ nie można znaleźć w ten sposób. Można jednak zauważyć, że odległość ta jest równa odległości liczb $(- \sqrt{2})$ oraz $\sqrt{3}$ na osi liczbowej. Stąd:

$|A B| = |\sqrt{3} - (- \sqrt{2})| = |\sqrt{2} + \sqrt{3}| = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Rh52QiWCNrcry

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano poziomy odcinek, ograniczony z lewej strony zamalowanym punktem o współrzędnych -2;1, oraz z prawej strony 3;1. Punkty zrzutowano, prowadząc pionowe linie przerywane łączące punkty ograniczające odcinek, z osią X.

Ciekawsza sytuacja ma miejsce wtedy, gdy odcinek, którego końcami są dane punkty, nie jest równoległy do osi układu współrzędnych.

Problem 1

Spójrzmy na poniższy rysunek. Chcemy wyznaczyć odległość punktu $A$ od punktu $B$ .

R1CDsgtLPjrsD

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono punkt A o współrzędnych -1;1, oraz punkt B o współrzędnych 4;4.

Najpierw narysujmy odcinek reprezentujący odległość między punktami.

R16ATYB6Fh5gU

Teraz dorysujmy do tego odcinka dwa kolejne: poziomy i pionowy tak, aby wspólnie utworzyły trójkąt prostokątny. Wtedy długość odcinka $A B$ , będziemy mogli obliczyć z twierdzenia Pitagorasa.

REDhD5WsbHgSP

Oznaczmy na początku współrzędne: $A = (x_{1}, y_{1})$ , $B = (x_{2}, y_{2})$ oraz $C = (x_{2}, y_{1})$ .

Z rysunku łatwo odczytujemy, że długość odcinka $A C$ wynosi: $|x_{2} - x_{1}|$ .

A długość odcinka $B C$ wynosi: $|y_{2} - y_{1}|$ .

Mając długości obu tych odcinków, obliczmy długość odcinka $A B$ .

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|A B|}^{2} = {|A C|}^{2} + {|B C|}^{2}$ .

Podstawmy współrzędne.

${|A B|}^{2} = {|x_{2} - x_{1}|}^{2} + {|y_{2} - y_{1}|}^{2}$

Ostatecznie otrzymujemy wzór:

|A B| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Obliczenia przedstawione w powyższym problemie prowadzą nas do poniższego twierdzenia.

Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Twierdzenie: Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Odległość dwóch punktówOdległość dwóch punktówOdległość dwóch punktów $A = (x_{1}, y_{1})$ oraz $B = (x_{2}, y_{2})$ w układzie współrzędnych dana jest wzorem:

|A B| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Uwaga!

Wzór można stosować także w przypadku, gdy punkty $A$ i $B$ leżą na tej samej prostej pionowej lub poziomej.
Jeśli np. $x_{1} = x_{2}$ , to $|A B| = \sqrt{{(y_{2} - y_{1})}^{2}} = |y_{2} - y_{1}|$ .

Przykład 5

Obliczymy, ile jest równa odległość między punktami $A = (- 2, 1)$ oraz $B = (4, 4)$ .

RNcaJd0a5keDB

Podobnie jak wcześniej, dorysujemy punkt $C$ i poprowadzimy odcinki między punktami tak, aby powstał trójkąt prostokątny $A B C$ z przeciwprostokątną $A B$ i z przyprostokątnymi równoległymi do obu osi (rysunek poniżej).

R1BDf0YM9qjyE

Długości przyprostokątnych można odczytać z rysunku. Mamy zatem:

$|A C| = 6$

oraz

$|B C| = 3$ .

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

$|A B| = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ .

Przykład 6

Wyznaczymy długość odcinka $A B$ o końcach w punktach: $A = (- \sqrt{2}, \frac{2}{3})$ oraz $B = (3 \sqrt{2}, - \frac{4}{3})$ .

Bezpośrednio ze wzoru mamy:
$|A B| = \sqrt{{(3 \sqrt{2} - (- \sqrt{2}))}^{2} + {(- \frac{4}{3} - \frac{2}{3})}^{2}} =$
$= \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6$

Przykład 7

Znajdziemy środek odcinka o końcach $A = (- 2, 3)$ i $B = (4, 3)$ .

RPCkHAlUiCfYg

sposób $I$ :
Odcinek jest poziomy, zatem wiemy od razu, że druga współrzędna środka będzie taka sama jak drugie współrzędne końców odcinka. Możemy więc zapisać:
$y_{A} = y_{B} = y_{S} = 3$ .
Odczytujemy pierwsze współrzędne końców odcinka:
$x_{A} = - 2$ , $x_{B} = 4$ .
Obliczamy średnią arytmetyczną obu współrzędnych:
$\frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{- 2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ .
Średnia jest pierwszą współrzędną środka, czyli $x_{S} = 1$ .
Zatem ostatecznie współrzędne środka wynoszą $S = (1, 3)$ .

sposób $II$ :
Zauważmy, że odcinek jest poziomy, czyli równoległy do osi $X$ . Możemy zatem łatwo obliczyć długość odcinka $A B$ , odejmując pierwsze współrzędne od siebie.
$x_{B} = 4$ , $x_{A} = - 2$
$|A B| = 4 - (- 2) = 6$
Aby uzyskać pierwszą współrzędną środka, wystarczy podzielić długość odcinka na pół (otrzymujemy $3$ ) i znaleźć punkt na odcinku oddalony o $3$ jednostki jednocześnie od punktu $A$ i od punktu $B$ .
$- 2 + 3 = 1$ oraz $4 - 3 = 1$
Dlaczego raz dodajemy, a raz odejmujemy $3$ ? Otóż kierujemy się na prawo od punktu $A$ (w prawą stronę wartości na osi rosną, stąd plus) oraz kierujemy się na lewo od punktu $B$ (w lewą stronę wartości na osi maleją, stąd minus).
Czyli pierwsza współrzędna środka $S$ wynosi $x_{S} = 1$ .
Druga współrzędna jest oczywiście taka sama jak w przypadku punktów $A$ i $B$ , gdyż odcinek jest poziomy.
Zatem ostatecznie współrzędne środka wynoszą $S = (1, 3)$ .

R16rgtuXEZIos

Podobnie możemy szukać środka odcinka pionowego.

Przykład 8

Znajdziemy współrzędne środka odcinka o końcach $A = (1, - 3)$ oraz $B = (1, 5)$ .

RrPtBmzBh16n3

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano pionowy odcinek, ograniczony punktem A o współrzędnych 1;-3, oraz punktem B o współrzędnych 1;5.

Obliczymy współrzędne środka również dwoma sposobami, jak w poprzednim przykładzie.

sposób $I$ :
Odcinek jest pionowy, zatem wiemy od razu, że pierwsza współrzędna środka będzie taka sama jak pierwsze współrzędne końców odcinka. Możemy więc zapisać:
$x_{A} = x_{B} = x_{S} = 1$ .
Odczytujemy drugie współrzędne końców odcinka:
$y_{A} = - 3$ , $y_{B} = 5$ .
Obliczamy średnią arytmetyczną obu współrzędnych:
$\frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ .
Średnia jest drugą współrzędną środka, czyli $y_{S} = 1$ .
Zatem ostatecznie współrzędne środka wynoszą $S = (1, 1)$ .

sposób $II$ :
Zauważmy, że odcinek jest pionowy, czyli równoległy do osi $Y$ . Możemy zatem łatwo obliczyć długość odcinka $A B$ , odejmując drugie współrzędne od siebie.
$y_{B} = 5$ , $y_{A} = - 3$
$|A B| = 5 - (- 3) = 8$
Aby uzyskać drugą współrzędną środka, wystarczy podzielić długość odcinka na pół (otrzymujemy $4$ ) i znaleźć punkt na odcinku oddalony o $4$ jednostki jednocześnie od punktu $A$ i od punktu $B$ .
$- 3 + 4 = 1$ oraz $5 - 4 = 1$
Dlaczego raz dodajemy, a raz odejmujemy $4$ ? Podobnie jak poprzednio, ma to związek ze zwrotem osi. Otóż kierujemy się w górę od punktu $A$ (w górę wartości na osi rosną, stąd plus) oraz kierujemy się w dół od punktu $B$ (w dół wartości na osi maleją, stąd minus).
Czyli druga współrzędna środka $S$ wynosi $y_{S} = 1$ .
Pierwsza współrzędna jest oczywiście taka sama jak w przypadku punktów $A$ i $B$ , gdyż odcinek jest pionowy.
Zatem ostatecznie współrzędne środka wynoszą $S = (1, 1)$ .

R1AIra4Ktcnjm

Trochę trudniejsza sytuacja zachodzi wtedy, gdy odcinek $A B$ jest „ukośny”.

Przykład 9

Znajdziemy środek odcinka o końcach $A = (- 3, - 1)$ i $B = (5, 3)$ .

R101G8NtkpL9j

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano ukośny odcinek ograniczony z lewej strony punktem A, o współrzędnych -3;1, oraz z prawej strony punktem B o współrzędnych 5;1.

Poprowadźmy dwa dodatkowe odcinki tak, aby utworzyć trójkąt prostokątny $A B C$ .

R1YEzFOMUWWXM

Odczytajmy współrzędne punktu $C$ : $x_{C} = x_{B} = 5$ oraz $y_{C} = y_{A} = - 1$ . Zatem $C = (5, - 1)$ .

Następnie znajdziemy środki boków $A C$ oraz $B C$ . Wykorzystamy pierwszy sposób (obliczymy średnie wartości).

Środek odcinka $A C$ oznaczymy jako $S_{1}$ . Wiemy, że druga współrzędna środka jest taka sama jak drugie współrzędne końców odcinka. Pozostaje nam obliczyć pierwszą współrzędną. Mamy więc

$S_{1} = (\frac{- 3 + 5}{2}, - 1) = (1, - 1)$ .

Środek odcinka $B C$ oznaczymy jako $S_{2}$ . Wiemy, że pierwsza współrzędna środka jest taka sama jak pierwsze współrzędne końców odcinka. Pozostaje nam obliczyć drugą współrzędną. Mamy więc

$S_{2} = (5, \frac{- 1 + 3}{2}) = (5, 1)$ .

Teraz rysujemy rzuty wyznaczonych środków na odcinek $A B$ .

RSplt2JCj1bBG

Z rysunku łatwo zauważyć, że współrzędne środka $S$ odcinka $A B$ to średnie, które właśnie obliczyliśmy, zatem zapisujemy:

$S = (\frac{- 3 + 5}{2}, \frac{- 1 + 3}{2}) = (1, 1)$ .

Uogólniając rozumowanie z przykładu, otrzymujemy twierdzenie.

o współrzędnych środka odcinka

Twierdzenie: o współrzędnych środka odcinka

Punkt $S$ , który jest środkiem odcinka o końcach $A = (x_{1}, y_{1})$ i $B = (x_{2}, y_{2})$ , ma współrzędne:

S = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

Przykład 10

Środkiem odcinka o końcach $A = (1, - 9)$ oraz $B = (- 5, 3)$ jest punkt:

$S = (\frac{1 - 5}{2}, \frac{- 9 + 3}{2}) = (- 2, - 3)$ .

Przykład 11

Dane są punkty: $A = (- 2, 5)$ , $B = (2, 2)$ , $C = (4, 5)$ . Obliczmy obwód trójkąta $A B C$ .

Ze wzoru na odległość punktów mamy: $|A B| = \sqrt{{(2 - (- 2))}^{2} + {(2 - 5)}^{2}} = \sqrt{25} = 5$ ,
$|B C| = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(5 - 2)}^{2}} = \sqrt{13}$ ,
$|C A| = |4 - (- 2)| = 6$ ,
czyli
$|A B| + |B C| + |C A| = 5 + \sqrt{13} + 6$ .

Odpowiedź: Obwód trójkąta $A B C$ jest równy $11 + \sqrt{13}$ .

Przykład 12

Dany jest trójkąt $A B C$ o wierzchołkach: $A = (- 1, - 2)$ , $B = (2, 1)$ oraz $C = (1, 4)$ . Punkt $S$ to punkt przecięcia jego środkowych. Jaka jest długość odcinka $A S$ ?

R1bhz1BmKswj4

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus dwa do czterech. Na płaszczyźnie narysowano trójkąt o wierzchołkach A-1;-2, B2;1, oraz C1;4. Zaznaczono środkową każdego boku, które przecinają się w punkcie S.

Środkiem odcinka $B C$ jest punkt: $D = (\frac{2 + 1}{2}, \frac{4 + 1}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ .

Stąd: $|A D| = \sqrt{{(\frac{3}{2} + 1)}^{2} + {(\frac{5}{2} + 2)}^{2}} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{81}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{106}$ .

Ponieważ środkowe w trójkącie przecinają się w stosunku $2 : 1$ , więc: $|A S| = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{106} = \frac{1}{3} \sqrt{106}$ .

Odpowiedź: Długość odcinka $A S$ jest równa $\frac{1}{3} \sqrt{106}$ .

Przykład 13

Obliczymy wysokość poprowadzoną z punktu $B$ w trójkącie $A B C$ , w którym: $A = (- 1, - 1)$ , $B = (3, 4)$ oraz $C = (- 1, 2)$ . Następnie obliczymy pole trójkąta $A B C$ .

RrReQ58jx3dzh

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano trójkąt o wierzchołkach A-1;1, B3;4, oraz C-1;2.

Punkty $A$ i $C$ mają równe pierwsze współrzędne, więc leżą na tej samej prostej pionowej o równaniu $x = - 1$ . Prosta pozioma (czyli prostopadła do odcinka $A C$ ) przechodząca przez wierzchołek $B$ ma równanie $y = 4$ . Proste $x = - 1$ oraz $y = 4$ przecinają się w punkcie $D = (- 1, 4)$ .

RTCaLhnxaIM79

Odcinek $B D$ to wysokość w trójkącie $A B C$ opuszczona z wierzchołka $B$ na bok $A C$ . Ze wzoru na odległość punktów mamy:

$|A C| = |- 1 - 2| = 3$ oraz $|B D| = |3 - (- 1)| = 4$ .

Stąd pole trójkąta $A B C$ jest równe:

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ .

Odpowiedź: Wysokość trójkąta poprowadzona z punktu $B$ jest równa 4, a pole trójkąta $A B C$ jest równe $6$ .

Przykład 14

Wykażemy, że punkty: $A = (3, 4)$ , $B = (2, \sqrt{21})$ oraz $C = (- 1, 2 \sqrt{6})$ leżą na tym samym okręgu o środku w punkcie $O = (0, 0)$ .

R1KZZToEZRlU4

Zauważamy, że:
$|O A| = \sqrt{{(3 - 0)}^{2} + {(4 - 0)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ ,
$|O B| = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(\sqrt{21} - 0)}^{2}} = \sqrt{4 + 21} = \sqrt{25} = 5$ ,
$|O C| = \sqrt{{(- 1 - 0)}^{2} + {(2 \sqrt{6} - 0)}^{2}} = \sqrt{1 + 24} = \sqrt{25} = 5$ .

Odpowiedź: Wszystkie trzy punkty leżą w tej samej odległości od początku układu współrzędnych, zatem należą do tego samego okręgu o środku w punkcie $(0, 0)$ i promieniu $5$ .

Przykład 15

Obliczymy pole trójkąta $A B C$ o wierzchołkach: $A = (- 2, - 1)$ , $B = (5, 1)$ , $C = (3, 4)$ .

Dorysujemy punkty $K$ , $L$ oraz $M$ , tak by powstał prostokąt $A K L M$ tak, jak na rysunku poniżej.

Oczywiście: $K = (5, - 1)$ , $L = (5, 4)$ i $M = (- 2, 4)$ .

Pole trójkąta $A B C$ otrzymamy, odejmując pola trzech trójkątów: $A K B$ , $B L C$ i $C M A$ od pola prostokąta $A K L M$ :
$P_{A B C} = 7 \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 7 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 5) = 35 - \frac{45}{2} = \frac{25}{2}$ .

RCyRmEimsPXb8

Odpowiedź: Pole trójkąta $A B C$ jest równe $\frac{25}{2}$ .

Słownik

układ współrzędnych na płaszczyźnie

to dwie osie liczbowe (oznaczone zwykle $X$ i $Y$ ), przecinające się pod kątem prostym w punkcie, który na obu osiach reprezentuje zero

odległość dwóch punktów

Odległość dwóch punktów $A = (x_{1}, y_{1})$ oraz $B = (x_{2}, y_{2})$ jest dana wzorem: $|A B| = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik