Przeczytaj

PRZYPOMNIJ SOBIE

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja: Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Równanie, w którym występują dwie niewiadome i obie występują w pierwszej potędze, nazywamy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Równanie takie przyjmuje postać:

a x + b y + c = 0

gdzie:
$a, b, c \in ℝ$ i $a^{2} + b^{2} \neq 0$ .

Para liczb

(x, y)

spełniająca równanie

a x + b y + c = 0

Definicja: Para liczb

(x, y)

spełniająca równanie

a x + b y + c = 0

Para liczb $(x, y)$ spełnia równanie $a x + b y + c = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu tych liczb w miejsca niewiadomych, otrzymamy zdanie prawdziwe.

Rozwiązanie równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja: Rozwiązanie równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Każdą parę liczb, która spełnia równanie $a x + b y + c = 0$ nazywamy rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymiRównanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 1

Znajdziemy trzy pary liczb spełniających równaniepary liczb spełniających równanie $3 x + y = 5$ .

Łatwo jest odgadnąć, że jedną z takich par, jest para $(1, 2)$ .

Żeby wyznaczyć inne pary, możemy przekształcić równanie, tak aby wyznaczyć z niego niewiadomą $y$ .

$y = - 3 x + 5$

Wtedy przyjmując za $x$ dowolną liczbę rzeczywistą, podstawiamy ją do wyznaczonego wzoru i obliczamy $y$ .

Dowolnie wybrany $x$	$y = - 3 x + 5$	Para liczb spełniająca równanie $3 x + y = 5$
$x = - 3$	$y = - 3 \cdot (- 3) + 5 = 9 + 5 = 14$	$(x, y) = (- 3, 14)$
$x = 3$	$y = - 3 \cdot 3 + 5 = = - 9 + 5 = - 4$	$(x, y) = (3, - 4)$

Przykład 2

Znajdziemy cztery pary liczb, które są rozwiązaniem równaniarozwiązaniem równania $5 \cdot (x + y) = 4 + \sqrt{3} x + 2 y$ .

Przekształcamy równanie, tak aby wyznaczyć z równania $y$ .

$5 \cdot (x + y) = 4 + \sqrt{3} x + 2 y$

$5 x + 5 y = 4 + \sqrt{3} x + 2 y$

$5 y - 2 y = 4 + \sqrt{3} x - 5 x$

$3 y = 4 + (\sqrt{3} - 5) x$

$y = \frac{4 + (\sqrt{3} - 5) x}{3}$

$x \in ℝ$	$y = \frac{4 + (\sqrt{3} - 5) x}{3}$	Para liczb $(x, y)$ spełniająca równanie $5 \cdot (x + y) = 4 + \sqrt{3} x + 2 y$
$x = - 2$	$y = \frac{4 + (\sqrt{3} - 5) \cdot (- 2)}{3} = \frac{4 - 2 \sqrt{3} + 10}{3} = \frac{14 - 2 \sqrt{3}}{3}$	$(x, y) = (- 2, \frac{14 - 2 \sqrt{3}}{3})$
$x = 1$	$y = \frac{4 + (\sqrt{3} - 5) \cdot 1}{3} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3}$	$(x, y) = (1, \frac{\sqrt{3} - 1}{3})$
$x = \sqrt{3}$	$y = \frac{4 + (\sqrt{3} - 5) \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{4 + 3 - 5 \sqrt{3}}{3} = \frac{7 - 5 \sqrt{3}}{3}$	$(x, y) = (\sqrt{3}, \frac{7 - 5 \sqrt{3}}{3})$
$x = 2 + 3 \sqrt{3}$	$y = \frac{4 + (\sqrt{3} - 5) (2 + 3 \sqrt{3})}{3} = \frac{4 + 2 \sqrt{3} + 9 - 10 - 15 \sqrt{3}}{3} = \frac{3 - 13 \sqrt{3}}{3}$	$(x, y) = (2 + 3 \sqrt{3}, \frac{3 - 13 \sqrt{3}}{3})$

Przykład 3

Tomek ma w portfelu $37 zł$ drobnych w monetach $2 zł$ i $5 zł$ . Ile ma monet każdego rodzaju?

Istnieje oczywiście kilka rozwiązań tego zadania. Jest ich jednak skończona liczba, ponieważ uwzględniając warunki zadania, $x$ oraz $y$ muszą być liczbami naturalnymi różnymi od zera.

Zapiszemy równanie, które przedstawia problem zapisany w zadaniu.

$2 x + 5 y = 37$

gdzie:
$x$ – oznacza liczbę monet dwuzłotowych,
$y$ – liczbę monet pięciozłotowych.

Wyznaczamy z równania jedną z niewiadomych, np. $x$ .

$2 x = 37 - 5 y |: 2$

$x = 18, 5 - 2, 5 y$

Widzimy, że aby zmienna $x$ była liczbą naturalną, zmienna $y$ musi być liczbą nieparzystą (dlaczego?).

Wybieramy więc nieparzyste liczby $y$ i obliczamy zmienną $x$ spełniającą zapisany warunek.

Liczba monet pięciozłotowych – $y$	Liczba monet dwuzłotowych – $x$ $x = 18, 5 - 2, 5 y$	Rozwiązanie
$y = 1$	$x = 18, 5 - 2, 5 = 16$	$\{\begin{cases} x = 16 \\ y = 1 \end{cases}$
$y = 3$	$x = 18, 5 - 2, 5 \cdot 3 = 11$	$\{\begin{cases} x = 11 \\ y = 3 \end{cases}$
$y = 5$	$x = 18, 5 - 2, 5 \cdot 5 = 6$	$\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 5 \end{cases}$
$y = 7$	$x = 18, 5 - 2, 5 \cdot 7 = 1$	$\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 7 \end{cases}$

A zatem istnieją cztery możliwe rozwiązania problemu przedstawionego w zadaniu.

Tomasz może mieć:

$16$ monet dwuzłotowych i $1$ monetę pięciozłotową
lub
$11$ monet dwuzłotowych i $3$ monety pięciozłotowe
lub
$6$ monet dwuzłotowych i $5$ monet pięciozłotowych
lub
$1$ monetę dwuzłotową i $7$ monet pięciozłotowych.

Przykład 4

Wyznaczmy regułę, która określa wszystkie rozwiązania równania $2 \cdot (x + 2 y) + 1 = 4 x - 5$ .

Wyznaczamy z równania zmienną $y$ .

$2 x + 4 y + 1 = 4 x - 5$

$4 y = 2 x - 6 |: 4$

$y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} (＊)$

Zmienna $x$ może być dowolną liczbą rzeczywistą, zmienna $y$ – liczbą rzeczywistą spełniającą warunek $(＊)$ .

A zatem rozwiązaniami równania

$2 \cdot (x + 2 y) + 1 = 4 x - 5$

są pary liczb postaci $(x, \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$ , gdzie $x \in ℝ$ .

Słownik

równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

równanie, w którym występują dwie niewiadome i obie występują w pierwszej potędze

para liczb spełniająca równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

para liczb, po podstawieniu której do równania w miejsce niewiadomych, otrzymamy równość prawdziwą

rozwiązanie równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

każda para liczb $(x, y)$ , spełniająca to równanie

Wprowadzenie

Animacja

PRZYPOMNIJ SOBIE

Słownik