Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą równą $+\infty$, gdy poza samym punktem $x_0$ pewne jego otoczenie należy do dziedziny tej funkcji, oraz dla dowolnego ciągu argumentów $x_n$ z dziedziny, dążącego do $x_0$, wartości $f\left(x_n\right)$ dążą do $+\infty$.

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą równą $+\infty$, gdy poza samym punktem $x_0$ pewne jego otoczenie należy do dziedziny tej funkcji, oraz dla dowolnie dużej wartości dodatniej liczby $M$ istnieje taka liczba dodatnia $\delta$, że dla wszystkich argumentów $x$ z dziedziny pomiędzy $x_0-\delta$ i $x_0+\delta$ wartości $f\left(x\right)$ są większe od $M$.

Sprawdzimy, używając definicji Heinego, czy funkcja $f\left(x\right)=\frac{-1}{x^2}$, $x\ne 0$, ma w punkcie $x_0=0$ granicę niewłaściwągranica niewłaściwagranicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_n$, dążący do zera. Wówczas wiemy, że ciąg kwadratów tych argumentów, $x_n^2$, również dąży do zera, przyjmując tylko wartości dodatnie. Zatem ciąg przeciwieństw odwrotności kwadratów, $\frac{-1}{x_n^2}$, dąży do $\left(-\infty \right)$, czyli granicą funkcji $f$ w $x_0=0$ jest $\left(-\infty \right)$,

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-1}{x^2}=-\infty$.

Sprawdzimy, używając definicji Cauchy’ego, czy funkcja $f\left(x\right)=\frac{-1}{x^2}$, $x\ne 0$, ma w punkcie $x_0=0$ granicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie dużą liczbę dodatnią $M$. Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią $\delta$ równą odwrotności pierwiastka z $M$, czyli $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$, to wówczas dla wszystkich niezerowych wartości $x$ większych od $\left(-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)$ i mniejszych od $\frac{1}{\sqrt{M}}$ wartości funkcji $f$ są mniejsze od $\left(-M\right)$, i tym samym granicą funkcji $f$ w $x=0$ jest $\left(-\infty \right)$.

Sprawdzimy, czy funkcja $y=x^2-3$ może mieć w którymś punkcie granicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Nie może, bo jest funkcją ciągłą.

Sprawdzimy, czy funkcja

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2-3& \text{gdy }x\ne 1\\ 0& \text{gdy }x=1\end{array}\right.$

może mieć w którymś punkcie granicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Dla żadnego punktu poza $x\ne 1$ nie może, bo jest funkcją ciągłą. W punkcie $x=1$ nie jest ciągła, ale również nie posiada granicy niewłaściwej, bo posiada granicę skończoną, równą $-2$.

Zbadamy, czy funkcja

$f\left(x\right)=\frac{x^3+x+2}{x^2-1}$

ma w punktach $x_1=0$ i $x_2=1$ granice niewłaściwe.

Rozwiązanie

Zachowanie w punkcie $x_1=0$ sprawdzamy, podstawiając $x_1=0$ do wzoru funkcji, otrzymując

$f\left(x_1\right)=f\left(0\right)=\frac{0^3+0+2}{0^2-1}=\frac{2}{-1}=-2$,

czyli funkcja $f$ w punkcie $x_1=0$ posiada granicę skończoną równą $\left(-2\right)$.

Dla punktu $x_2=1$ mamy:

$\underset{x\to x_2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^3+x+2}{x^2-1}=\left[\frac{1^3+1+2}{1^2-1}\right]=\left[\frac{4}{0^{+}}\right]=+\infty$,

i

$\underset{x\to x_2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^3+x+2}{x^2-1}=\left[\frac{1^3+1+2}{1^2-1}\right]=\left[\frac{4}{0^{-}}\right]=-\infty$.

Zatem funkcja $f$ w punkcie $x_2=1$ posiada jednostronne granice niewłaściwe.

granica funkcji w punkcie, która jest liczbą rzeczywistą

granica funkcji w punkcie, która jest nieskończona ($-\infty$ lub $+\infty$)