Symulacja interaktywna

Polecenie 1

Poniższa symulacja interaktywna pomoże Ci zrozumieć, jak obliczyć granicę niewłaściwą funkcji w punkcie. Pozwoli sprawdzić w praktyce, na przykładzie funkcji $y = \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}}$ granicę przy dowolnej wartości $a$ .

RsDkWX62aGf0u

Polecenie 2

Dla jakich rzeczywistych wartości parametru $a$ funkcja posiada punkt, w którym ma granicę niewłaściwą? Skorzystaj z powyższego wykresu ustawiając suwak wartości parametru $a$ na dowolnie wybrane wartości.

Zauważmy, że funkcja nie jest określona dla $\pm a$ , czyli wystarczy sprawdzić zachowanie funkcji w pobliżu tylko tych dwóch punktów.

Dla $a \neq 0$ mamy zatem:

$\lim_{x \to a^{+}} \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}} = \lim_{x \to - a^{-}} \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}} = [\frac{a^{2}}{a^{2} - a^{2}}] = [\frac{a^{2}}{0^{+}}] = + \infty$

oraz:

$\lim_{x \to a^{-}} \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}} = \lim_{x \to - a^{+}} \frac{x^{2}}{x^{2} - a^{2}} = [\frac{a^{2}}{a^{2} - a^{2}}] = [\frac{a^{2}}{0^{-}}] = - \infty$

Jeżeli wartość $a$ nie jest równa zero, to zarówno w punkcie $a$ , jak i $(- a)$ , funkcja $f$ ma jednostronne granice niewłaściwe.

Natomiast dla $a = 0$ mamy

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 0} = \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$

Zauważmy, że otrzymaliśmy funkcję stałą, równą $1$ , która jest niezależna od wartości $x$ . W tym wypadku nie ma żadnego punktu, w którym ma granicę niewłaściwą.

Przeczytaj

Sprawdź się