Stożek to bryła obrotowa, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego dookoła osi, będącej przyprostokątną tego trójkąta.

Na poniższym rysunku przedstawiono elementy budowy stożka.

RxVp6CZ6gZ35I

Ilustracja przedstawia stożek oraz elementy jego budowy. Promień podstawy o długości r, tworzącą stożka o długości l, wysokość stożka o długości h. Zaznaczono także podstawę stożka oraz wierzchołek stożka.

Wyznaczymy kąt między tworzącą stożka a promieniem podstawy, jeżeli pole podstawy stożka wynosi $28\pi$, a objętość $56\pi$.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RqPqGXzXESYY8

Ilustracja przedstawia stożek oraz kąt alfa zaznaczony pomiędzy tworzącą o długości l, a promieniem stożka o długości r. Zaznaczono także wysokość o długości h.

Jeżeli pole podstawy stożka wynosi $28\pi$, to do wyznaczenia długości promienia podstawy $r$ rozwiązujemy równanie:

$\pi r^2=28\pi$

$r^2=28$

$r=2\sqrt{7}$.

Do wyznaczenia długości wysokości stożka rozwiązujemy równanie, korzystając ze wzoru na objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}\pi r^2·h$

$56\pi =\frac{1}{3}·28\pi ·h$

$h=6$.

Otrzymujemy trójkąt prostokątny o wymiarach, jak na rysunku:

R1Mvusi8FebJA

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Podstawą trójkąta jest przyprostokątna o długości $2\sqrt{7}$, druga przyprostokątna ma długość sześć. Na ilustracji został zaznaczony także kąt alfa znajdujący się pomiędzy podstawą trójkąta a przeciwprostokątna.

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens mamy, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{6}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

Zatem $\alpha \approx 53°$.

Promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $8$. Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy wysokością a tworzącą tego stożka.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R15YuqHZhEY7q

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt alfa zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy tworzącą o długości l a wysokością stożka o długości h.

Jeżeli promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $8$, to:

$h=r+8$,

$l=r+16$.

Zatem:

$r^2+{\left(r+8\right)}^2={\left(r+16\right)}^2$

$r^2+r^2+16r+64=r^2+32r+256$

$r^2-16r-192=0$

$r_1=\frac{16-32}{2}=-8<0$,

$r_2=\frac{16+32}{2}=24>0$.

Zatem $r=24$, $h=32$, $l=40$.

Jeżeli wykorzystamy funkcję trygonometryczną sinus, to $\sin \alpha =\frac{24}{40}=0,6$.

Wobec tego $\alpha \approx 37°$.

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy tworzącą stożka a promieniem podstawy, jeżeli objętość stożka jest równa $30\pi$ a pole podstawy stożka wynosi $25\pi$.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek, zaznaczmy kąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R6Ljab8P4t5gD

Ilustracja przedstawia stożek oraz kąt alfa zaznaczony pomiędzy tworzącą o długości l, a promieniem stożka o długości r. Zaznaczono także wysokość o długości h.

Jeżeli $V=8\pi$ oraz $P_p=25\pi$, to do wyznaczenia długości promienia podstawy oraz wysokości stożka rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\pi }{r}^2=25\mathrm{\pi }\\ \frac{1}{3}\mathrm{\pi }{r}^2·h=30\mathrm{\pi }\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}r=5\\ \frac{1}{3}·25·h=30\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}r=5\\ h=3,6\end{array}\right.$

Zatem tangens rozpatrywanego kąta wynosi:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3,6}{5}=0,72$.

Wobec tego $\alpha \approx 36°$.

Wiadomo, że pole powierzchni bocznej stożka jest czterokrotnie większe od pola jego podstawy. Wyznaczymy kąt rozwarcia stożka.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1BUgSQg0zSA8

Ilustracja Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt beta zaznaczony pomiędzy tworzącą o długości l, a wysokością stożka o długości h. Zaznaczono także kąt beta zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka.

Wiadomo, że $P_b=4·P_p$, zatem:

$\pi r·l=4·\pi ·r^2$.

Wobec tego $\sin \beta =\frac{r}{l}=\frac{r}{4r}=\frac{1}{4}=0,25$, zatem $\beta \approx 15°$.

Ponieważ $\alpha =2\beta$, zatem $\alpha \approx 30°$.

Obliczymy miarę kąta rozwarcia stożka, w którym promień podstawy ma długość $8$, a tworząca długość $10$.

Rozwiązanie:

Narysujmy stożek, zaznaczmy odpowiedni kąt oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1dLG5ydyve89

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt alfa będącym kątem rozwarcia stożka. Został zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy ramionami trójkąta o długości l, który jest przekrojem osiowym stożka.

Z zadania wiadomo, że $r=8$ oraz $l=10$. Do wyznaczenia miary kąta użyjemy twierdzenia cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenia cosinusów.

Zatem:

${\left(2r\right)}^2=l^2+l^2-2·l·l·\cos \alpha$

${16}^2={10}^2+{10}^2-2·10·10·\cos \alpha$

$256=100+100-200·\cos \alpha$

$56=-200·\cos \alpha$

$\cos \alpha =-\frac{56}{200}=-\frac{7}{25}=-0,28$.

Jeżeli skorzystamy z zależności $\cos \left(180°-\alpha \right)=-\cos \alpha$ dla $\alpha \in \left(0°,90°\right)$, to $\alpha \approx 106°$.

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej

w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku równa się sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwójny iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi