Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Mediana – co to takiego?

Mediana, zwana inaczej wartością środkową, zajmuje środkową pozycję w uporządkowanym szeregu statystycznym.

Będziemy ją oznaczać literą M.

Zatem, aby wyznaczyć medianę, należy najpierw uszeregować dane, zgodnie ze wzrostem ich wartości. Mediana dzieli ciąg tych danych na dwie równoliczne części w ten sposób, że elementy jednej z tych części są nie większe od mediany, a drugiej z tych części – nie mniejsze od mediany.

MedianamedianaMediana jest miarą mianowaną. Ma takie same miano jak badana cecha statystyczna.

Można ją wyznaczyć dla każdego szeregu statystycznego.

Sposób wyznaczania mediany zależy od typu szeregu statystycznego oraz liczby danych.

Mediana nieparzystej liczby danych

W przypadku uporządkowanego zestawu danych o nieparzystej liczebności, mediana jest środkowym elementem zestawu.

Na przykład mediana zestawu liczb: 1, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 10 jest równa 6.

Rw3ulXxNd1gNA
Przykład 1

Wyznaczymy medianę zestawu liczb: 1, 6, 2, 8, 5, 4, 3.

Porządkujemy zestaw danych: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8.

Jest 7 liczb. Środkowa to liczba 4 (z prawej i lewej strony liczby 4 znajdują się po 3 elementy).

RL69C6iw7ru5e
Przykład 2

Grupę dziewcząt zapytano: Ile uprawiasz dyscyplin sportowych?

Otrzymano następujące dane: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3.

Określimy medianę tego zestawu danych.

Uzyskany szereg statystyczny jest już uporządkowany. Liczba elementów jest nieparzysta, zatem medianą będzie wartość środkowa, równa 1.

R1Yr4jhYCOEFf

Interpretacja wyniku: połowa dziewcząt nie uprawia żadnej dyscypliny sportowej lub uprawia jedną, a druga połowa uprawia co najmniej jedną dyscyplinę sportową.

bg‑azure

Mediana nieparzystej liczby danych

Niech liczby x1x2...xn będą uporządkowanym niemalejąco zbiorem wszystkich danych. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to medianą liczb x1, x2, ..., xn jest liczba xk, gdzie k=n+12.

Zatem:

M=xn+12
Przykład 3

Wyznaczymy medianę danych, korzystając z uporządkowanego szeregu statystycznego.

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

1

2

3

10

20

40

50

Liczba elementów szeregu: n=7.

Medianą jest liczba xk, gdzie k=7+12=4.

Stąd M=x4=10.

Medianą zestawu danych jest liczba 10.

Mediana parzystej liczby danych

W przypadku, gdy liczba danych jest parzysta, to „w środku” szeregu uporządkowanego znajdują się dwie liczby. Medianą jest wtedy średnia arytmetyczna tych liczb.

RvQ6ScpVIqqLs
Przykład 4

Wyznaczymy medianę zestawu danych: 1, 4, 4, 6, 1, 1, 5,2.

Porządkujemy dane: 1, 1, 1, 2, 4, 4, 5,6.

Liczba danych jest parzysta. Gdybyśmy zaznaczyli  prostą, dzielącą zbiór danych na dwie równe części, to mediana byłaby  średnią arytmetyczną dwóch liczb, sąsiadujących z prawej i lewej strony z linią podziału. Czyli dwóch liczb „środkowych”.

RCCLqNkjpDB4V

Medianą danego zbioru danych jest liczba 3.

Przykład 5

Określimy medianę wieku grupy 6 osób, od których uzyskano następujące dane: 10 lat, 14 lat, 20 lat, 18 lat, 16 lat, 25 lat.

Tworzymy szereg uporządkowany: 10, 14, 16, 18, 20, 25.

Liczba danych jest parzysta. Obliczamy średnią arytmetyczną dwóch liczb „środkowych”.

16+182=17
M=17 lat

Mediana wieku badanej grupy osób jest równa 17 lat.   

Interpretacja mediany: 50% badanych osób ma wiek mniejszy bądź równy 17 lat, 50% badanych osób ma wiek większy bądź równy 17 lat.

bg‑azure

Mediana parzystej liczby danych

Niech liczby x1x2xn będą uporządkowanym niemalejąco zbiorem wszystkich danych. Jeśli n jest liczbą parzystą, to medianą liczb x1, x2, , xn jest liczba M=xk+xk+12, gdzie k=n2.

Przykład 6

Wyznaczymy medianę danych, korzystając z uporządkowanego szeregu statystycznego.

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

-1

-2

0

4

10

12

50

57

Liczba elementów szeregu: n=8.

Medianą jest liczba xk+xk+12, gdzie k=82=4.

Stąd:

M=x4+x52=4+102=7

Medianą zestawu danych jest liczba 7.

Słownik

mediana
mediana

mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu liczb x1, x2, , xn, to:

  • liczba xn+12, gdy n jest liczbą nieparzystą,

  • liczba xn2+xn2+12, gdy n jest liczbą parzystą.