Przeczytaj
W poniższych przykładach wykorzystywać będziemy definicję reguły mnożeniareguły mnożenia.
Na wstępie przypomnimy pojęcia:
dzielnika liczby naturalnej,
reszty z dzielenia liczb naturalnych
rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze.
Resztą z dzielenia dodatniej liczby całkowitej przez dodatnią liczbę całkowitą nazywamy taką nieujemną liczbę całkowitą mniejszą od , że
, dla pewnej liczby całkowitej .
Np. resztą z dzielenia liczby przez jest , ponieważ prawdziwa jest równość , gdzie .
Uwaga. Jako resztę z dzielenia przez dodatnia liczbę całkowitą można też rozważać liczby całkowite spełniające warunek .
Jeśli reszta z dzielenia liczby przez liczbę jest równa , to liczbę całkowitą nazywamy dzielnikiem liczby całkowitej .
Dzielnikiem dodatniej liczby całkowitej nazywamy taką dodatnią liczbę całkowitą , że , dla pewnej liczby całkowitej .
Np. liczba jest dzielnikiem liczby , ponieważ prawdziwa jest równość .
Rozkładem liczby naturalnej na czynniki pierwsze nazywamy przedstawienie liczby naturalnej w postaci iloczynu liczb pierwszych; zapis ten zawiera potęgi liczb pierwszych o wykładnikach, które są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Np. rozkładem na czynniki pierwsze liczby jest .
Wybieramy liczbę ze zbioru , następnie liczbę ze zbioru i na koniec liczbę ze zbioru .
Ile jest takich trójek , że iloczyn jest podzielny przez ?
Zauważmy, że iloczyn jest podzielny przez wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników dzieli się przez .
Dalszą część rozwiązania przeprowadzimy na dwa różne sposoby.
sposób:
Rozpatrzmy następujące trzy rozłączne przypadki:
każda z liczb , , dzieli się przez ,
dokładnie dwie spośród liczb , , dzielą się przez ,
tylko jedna spośród liczb , , dzieli się przez .
Ad 1. W przypadku pierwszym liczby , , spełniają warunki: ,.
Ad 2 W przypadku drugim spośród liczb , , wybieramy dwie podzielne przez rozpatrując następujące trzy rozłączne przypadki:
Ad 2.1 tylko liczby i są podzielne przez ; wtedy , , ,
Ad 2.2 tylko liczby i są podzielne przez ; wówczas , , ,
Ad 2.3 tylko liczby i są podzielne przez , wtedy , , .
Ad 3. Dokładnie jedną liczbę podzielną przez wybieramy spośród liczb , , rozpatrując kolejne trzy rozłączne przypadki:
Ad 3.1 tylko dzieli się przez ; wtedy , , ,
Ad 3.2 tylko dzieli się przez 5; wtedy , , ,
Ad 3.3 tylko dzieli się przez , co oznacza, że , , .
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia oraz z reguły dodawaniareguły dodawania, obliczamy liczbę trójek spełniających warunki zadania w każdym z powyższych przypadków:
trójka ,
trójka ,
trójka .
Stąd liczba wszystkich szukanych trójek jest równa
.
sposób:
Zauważmy, że wobec określenia liczb , , liczba wszystkich możliwych trójek jest równa .
W tak otrzymanym zbiorze są dwa rozłączne podzbiory:
zbiór tych trójek , dla których iloczyn dzieli się przez ,
zbiór tych trójek , dla których iloczyn nie dzieli się przez .
Ponieważ iloczyn nie dzieli się przez wtedy i tylko wtedy, gdy każda z liczb jest niepodzielna przez , więc jest to możliwe, gdy , i .
Na podstawie reguły mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że w tej sytuacji mamy możliwości.
Oznaczmy przez liczbę trójek , które spełniają warunki zadania. Z reguły dodawaniareguły dodawania wynika, że , skąd . Zatem dokładnie tyle jest szukanych trójek .
W pojemniku znajduje się siedem kul, ponumerowanych od do . Z tego pojemnika losujemy cztery razy jedną kulę, za każdym razem zwracając ją z powrotem do pojemnika. Ile jest wszystkich takich wyników tego doświadczenia, że dokładnie raz wylosujemy kulę z numerem parzystym?
Wynik doświadczenia zanotujemy jako czteroelementowy ciągciąg , gdzie:
to wynik pierwszego losowania,
to wynik drugiego losowania,
to wynik trzeciego losowania,
to wynik czwartego losowania,
Zauważmy, że możliwe są cztery rozłączne przypadki:
jest liczbą parzystą; wtedy , , , ,
jest liczbą parzystą; wtedy , , , ,
jest liczbą parzystą; wtedy , , , ,
jest liczbą parzystą; wtedy , , , .
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia, obliczamy liczbę wyników spełniających warunki zadania w każdym z powyższych przypadków:
,
,
,
.
Korzystając z reguły dodawaniareguły dodawania, obliczamy liczbę wszystkich wyników, które spełniają warunki zadania
.
Mamy do dyspozycji trzy pudełka: czerwone, zielone i niebieskie. W czerwonym pudełku jest kul, ponumerowanych od do , w zielonym jest kul, ponumerowanych liczbami od do , a w niebieskim jest kul, ponumerowanych od do . Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Ile jest wszystkich możliwości wylosowania w ten sposób takiej trójki liczb, których suma kwadratów jest podzielna przez ?
Wynik doświadczenia zanotujemy jako trzyelementowy ciągciąg , gdzie:
to wynik losowania z czerwonego pudełka,
to wynik losowania z zielonego pudełka,
to wynik losowania z niebieskiego pudełka.
Mamy więc obliczyć, ile jest możliwych trójek liczb jest liczbą podzielną przez .
Przypomnijmy, że reszta z dzielenia liczby całkowitej przez jest równa , lub . W każdym z tych przypadków liczbę naturalną można zapisać w postaci odpowiednio: , , .
Ponadto:
,
,
.
Zatem kwadrat każdej liczby podzielnej przez jest również liczbą podzielną przez , natomiast kwadrat każdej liczby niepodzielnej przez daje z dzielenia przez resztę .
Wynika stąd, że suma jest liczbą podzielną przez w jednym z dwóch rozłącznych przypadków:
kiedy każda z liczb dzieli się przez ,
kiedy każda z liczb jest liczbą niepodzielną przez .
Ad 1. W przypadku pierwszym: , , .
Ad 2. W przypadku drugim: , , .
Korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia, obliczamy liczbę wyników spełniających warunki zadania w każdym z powyższych przypadków:
,
.
Wobec tego trójkę liczb spełniającą warunki zadania wylosujemy na sposoby.
Wykażemy, że liczba ma dokładnie dodatnie dzielniki całkowite.
Zauważmy, że liczbę można rozłożyć na czynniki pierwsze np. w poniższy sposób
.
Wobec tego każdy dodatni dzielnik całkowity liczby jest liczbą postaci
,
gdzie , , , , są nieujemnymi liczbami całkowitymi, z których każda może przyjmować jedynie dwie wartości: , .
Dzielnikami liczby są np.
,
,
,
.
Oznacza to, że każdemu dodatniemu dzielnikowi całkowitemu liczby da się wzajemnie jednoznacznie przyporządkować pięcioelementowy ciągciąg wykładników, zgodnie z kolejnością zapisaną w rozkładzie
.
W ten sposób:
liczba jest reprezentowana przez ciągciąg oraz temu ciągowi odpowiada liczba ,
liczba jest reprezentowana przez ciągciąg oraz temu ciągowi odpowiada liczba ,
liczba jest reprezentowana przez ciągciąg oraz temu ciągowi odpowiada liczba ,
liczba jest reprezentowana przez ciągciąg oraz temu ciągowi odpowiada liczba .
Wynika stąd, że dodatnich dzielników całkowitych liczby jest dokładnie tyle, ile opisanych wyżej ciągów . Ponieważ każda z liczb , , , , może przyjmować dokładnie dwie wartości, więc korzystając z reguły mnożeniareguły mnożenia, stwierdzamy, że takich ciągów jest .
Zatem liczba ma dodatnie dzielniki całkowite.
Każdą dodatnią liczbę całkowitą można przedstawić w postaci rozkładu na czynniki pierwsze, to znaczy, że istnieją takie parami różne liczby pierwsze oraz nieujemne liczby całkowite , że
.
Rozumując analogicznie jak w powyższym przykładzie, stwierdzamy, że dodatnich dzielników całkowitych liczby jest dokładnie tyle, ile różnych ciągówciągów postaci w liczbach nieujemnych, ograniczonych wartościami odpowiednio .
Z reguły mnożeniareguły mnożenia wynika, że takich ciągów jest
.
Zatem liczba ma dokładnie dodatnich dzielników całkowitych.
Korzystając z tego spostrzeżenia ustalimy np., że:
liczba ma dodatnich dzielników całkowitych,
liczba ma dodatnich dzielników całkowitych,
liczba ma dodatnich dzielników całkowitych.
Słownik
jeżeli zbiory są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów :
Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z sposobów, druga – na jeden z sposobów, trzecia – na jeden z sposobów i tak dalej do -tej czynności, która może zakończyć się na jeden z sposobów, jest równa
funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste