W stożek o kącie rozwarcia $60°$ i tworzącej długości $12\mathrm{cm}$ wpisano kulę. Oblicz objętość kuli.

Rozwiązanie

Rysunek ilustrujący zadanie:

RBZ7j03zWQ4Ql

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na okręgu o środku O będący przekrojem stożka opisanego na kuli. Punkt K leży w połowie podstawy AB i dochodzi do niego promień o długości R ze środka O. Odcinek SB ma długość 12 a odcinek KB ma wartość r. Kąt ASB ma wartość $60°$. Odcinek OS oznaczono przerywaną szarą linią.

$R=\left|OK\right|$ - długość promienia kuli

$r=\left|KB\right|$ - długość promienia podstawy stożka

Następnie zapisujemy wzór na objętość kuli: $V_K=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Zauważmy, że przekrojem osiowym stożka o kącie rozwarcia $60°$ jest trójkąt równoboczny.

Wynika stąd, że długość promienia kuli opisana jest zależnością $R=\frac{1}{3}H$, gdzie $H$ to długość wysokości stożka.

Wykorzystujemy wzór na długość wysokości w trójkącie równobocznym do obliczenia długości promienia kuli:

$R=\frac{1}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}$, zatem

$R=\frac{1}{3}·\frac{12\sqrt{3}}{2}$, stąd

$R=2\sqrt{3}$.

Ostatecznie objętość kuli wpisanej w ten stożek ma wartość

$V_K=\frac{4}{3}\pi {\left(2\sqrt{3}\right)}^3$

$V_K=\frac{4}{3}\pi ·8·3\sqrt{3}$

$V_K=32\sqrt{3}\pi \left[{\mathrm{cm}}^3\right]$.

W stożek o kącie rozwarcia $120°$ wpisano kulę. Odległość środka kuli od wierzchołka stożka jest równa $10\mathrm{cm}$. Oblicz pole powierzchni kuli.

Rozwiązanie

Wystarczy narysować przekrój osiowy kuli wpisanej w stożek.

R11SAMbgvhh2q

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na okręgu o środku O będący przekrojem stożka opisanego na kuli. Punkt C leży na boku AS i dochodzi do niego promień R oznaczony szarą przerywaną linią. Ponadto od środka O do wierzchołka S odchodzi odcinek oznaczony niebieską linią. Kąt ASB ma wartość $120°$.

Przyjmujemy oznaczenia na rysunku:

$R=\left|CO\right|$ - promień wpisanej kuli;

$\left|OS\right|=10$ - odległość środka kuli od wierzchołka stożka;

$\left|\sphericalangle ASB\right|=120°$ - miara kąta rozwarcia stożka.

Zauważmy, że trójkąt $SCO$ jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych: $\left|\sphericalangle CSO\right|=60°$ i $\left|\sphericalangle COS\right|=30°$.

Wykorzystując zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego o kątach ostrych $30°$ i $60°$ otrzymujemy, że długość promienia kuli jest równa $R=5\sqrt{3}\mathrm{cm}$.

Obliczamy pole powierzchni kuli $P_K=4\pi R^2$.

Stąd ostatecznie otrzymujemy:

$P_K=4\pi {\left(5\sqrt{3}\right)}^2=300\pi \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$.

Na kuli o promieniu długości $7\mathrm{cm}$ opisano stożek o wysokości długości $32\mathrm{cm}$. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

Rozwiązanie

Wykonujemy rysunek przedstawiający tę sytuację.

RfIVXUnuLnIgE

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na okręgu o środku O będący przekrojem stożka opisanego na kuli. Na boku BS leży punkt K do którego dochodzi prostopadle promień o długości 7 ze środka O. Kolejny promień dochodzi do punktu D w połowie podstawy AB. Promienie oznaczono szarą przerywaną linią. Z punktu S do punku O opuszczono odcinek oznaczony niebieską przerywaną linią. Odcinek SO ma długość 25.

Do rozwiązania zadania potrzebujemy długości następujących odcinków:

$H=\left|DS\right|$ - długość wysokości stożka;

$r=\left|DB\right|$ - długość promienia podstawy stożka;

$l=\left|BS\right|$ - długość tworzącej stożka.

Na rysunku od razu dokonano podziału wysokości stożka na dwie części. Pierwszy odcinek $\left|DO\right|$, który odpowiada długości promienia kuli ma długość $7 cm$ a odcinek $\left|OS\right|$, który stanowi różnicę wysokości i promienia kuli ma długość $25 cm$.

Zapisujemy wzór na pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$.

Długości potrzebnych odcinków wyznaczymy, pracując na trójkątach podobnych $∆DBS$ i $∆KOS$.

Uzupełniamy rysunek.

R16uYE0m4eESB

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na okręgu o środku O będący przekrojem stożka opisanego na kuli. Na boku BS leży punkt K do którego dochodzi prostopadle promień o długości 7 ze środka O. Kolejny promień dochodzi do punktu D w połowie podstawy AB. Promienie oznaczono szarą przerywaną linią. Z punktu S do punku O opuszczono odcinek oznaczony niebieską przerywaną linią. Odcinek SO ma długość 25, Bok BS ma długość l a odcinek DB ma długość r. Trójkąt SOK oznaczono kolorem niebieskim.

Możemy wykreślić te dwa trójkąty obok rysunku głównego.

RlqBM5kx3pUzz

Ilustracja przedstawia trójkąt A B S, w który wpisano okręgu o środku O. Bok SB ma długość L. Z wierzchołka S opuszczono wysokość na bok AB, jej spodek podpisano literą D i ma ona długość trzydzieści dwa. Na wysokości SD leży środek okręgu O. Na boku BS zaznaczono punkt K. Odcinek OK jest pod kątem prostym do boku BS i ma długość siedem. Odcinek OD również ma długość siedem. Odcinek BD podpisano literą r. Z trójkąta A B S wyróżniono jego następujące części, pierwsza to trójkąt prostokątny D B S, którego jedna przyprostokątna DB ma długość r, a druga przyprostokątna ma długość trzydzieści dwa. Przeciwprostokątną BS ma długość l. Druga cześć to trójkąt S O K, która również jest trójkątem prostokątnym, jej prostokątna OK ma długość 7, a przeciwprostokątna ma długość 25, dłuższą przyprostokątną podpisano literą x.

Ilustracja przedstawia trójkąt A B S, w który wpisano okręgu o środku O. Bok SB ma długość L. Z wierzchołka S opuszczono wysokość na bok AB, jej spodek podpisano literą D i ma ona długość trzydzieści dwa. Na wysokości SD leży środek okręgu O. Na boku BS zaznaczono punkt K. Odcinek OK jest pod kątem prostym do boku BS i ma długość siedem. Odcinek OD również ma długość siedem. Odcinek BD podpisano literą r. Z trójkąta A B S wyróżniono jego następujące części, pierwsza to trójkąt prostokątny D B S, którego jedna przyprostokątna DB ma długość r, a druga przyprostokątna ma długość trzydzieści dwa. Przeciwprostokątną BS ma długość l. Druga cześć to trójkąt S O K, która również jest trójkątem prostokątnym, jej prostokątna OK ma długość 7, a przeciwprostokątna ma długość 25, dłuższą przyprostokątną podpisano literą x.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D15oD6j58

Wyznaczamy długość odcinka $x=\left|KS\right|$, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2+7^2={25}^2$

$x=24$.

Wyznaczamy długości odcinków $l$ i $r$, układając odpowiednie proporcje:

$\frac{32}{24}=\frac{l}{25}$, zatem

$l=\frac{100}{3}$ oraz

$\frac{32}{24}=\frac{r}{7}$, zatem

$r=\frac{28}{3}$.

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi ·\frac{28}{3}·\frac{100}{3}=\frac{2800\pi }{9} \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$.

W stożek wpisano kulę. Stosunek objętości stożka do objętości kuli jest równy $16$. Kąt między tworzącą stożka a płaszczyzną podstawy ma miarę $\alpha$. Wyznacz stosunek długości promienia podstawy stożka do długości promienia kuli.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania zaczynamy od wykonania czytelnego rysunku i przyjęcia oznaczeń. Wystarczy naszkicować odpowiedni przekrój osiowy.

R13uh8OXJRrjl

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na okręgu o środku O będący przekrojem stożka opisanego na kuli. Na boku BS leży punkt D do którego dochodzi promień ze środka O oznaczony zieloną przerywaną linią . Z punktu S do punku C  w połowie podstawy AB opuszczono wysokość oznaczoną niebieską przerywaną linią. Kąt ABS ma wartość $\alpha$.

Zapisujemy warunek podany w zadaniu:

$\frac{V_S}{V_K}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}H}{{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3}$,

gdzie odpowiednio:

$H=\left|CS\right|$ - długość wysokości stożka;

$r=\left|CB\right|$- długość promienia podstawy stożka;

$R=\left|OC\right|=\left|OD\right|$ - długość promienia kuli.

Przyjmujemy odpowiednie oznaczenia na rysunku.

R1I8KbwUvCQG1

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na okręgu o środku O będący przekrojem stożka opisanego na kuli. Na boku BS leży punkt D do którego dochodzi promień ze środka O oznaczony zieloną przerywaną linią . Z punktu S do punku C  w połowie podstawy AB opuszczono wysokość H oznaczoną niebieską przerywaną linią. Kąt ABS ma wartość $\alpha$, Odcinek CB ma długość r.

Po przekształceniu wyrażenia opisującego stosunek, otrzymujemy

$\frac{V_S}{V_K}=\frac{r^{2}H}{4R^3}$, stąd

$\frac{r^{2}H}{4R^3}=16$

$r^{2}H=64R^3$.

Zauważmy, że w trójkącie $CBS$ prawdziwa jest zależność

$\frac{H}{r}=\mathrm{tg}\alpha$.

Wynika stąd, że

$H=r\mathrm{tg}\alpha$.

Podstawiając wyznaczone $H$ do równania $r^{2}H=64R^3$, otrzymujemy

$r^2·r\mathrm{tg}\alpha =64R^3$, stąd

$r^3\mathrm{tg}\alpha =64R^3$.

Zatem stosunek długości promienia podstawy stożka do długości promienia kuli wynosi

$\frac{r}{R}=\frac{4}{\sqrt[3]{\mathrm{tg}\alpha }}$.

Na dwóch kulach o promieniach $4\mathrm{cm}$ i $2\mathrm{cm}$ zewnętrznie stycznych opisano stożek. Oblicz wartość $\cos 2\alpha$, gdzie $2\alpha$ oznacza kąt rozwarcia stożka.

Rozwiązanie

Wykreślamy przekrój osiowy tych brył.

RciLbJeyI4SQh

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na dwóch leżących na sobie okręgach o środkach odpowiednio F większego okręgi i G mniejszego, będący przekrojem stożka opisanego na dwóch kulach. Większy okrąg styka się w punkcie D na środku podstawy AB.

Wykreślamy potrzebne odcinki i zaznaczamy wielkości podane w zadaniu. Pamiętamy o poprowadzeniu na rysunku w odpowiedni sposób promieni obu kul. Przyjmujemy oznaczenia, które pomogą rozwiązać zadanie.

R1SGXDVPVVPwn

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na dwóch leżących na sobie okręgach o środkach odpowiednio F większego okręgi i G mniejszego, będący przekrojem stożka opisanego na dwóch kulach. Większy okrąg styka się w punkcie D na środku podstawy AB. Do punktu D opuszczono wysokość z wierzchołka S oznaczoną niebieską przerywaną linią. Promień większego okręgu dochodzi prostopadle do boku SB w punkcie K a mniejszego w punkcie L. Odcinki GL i FK będące promieniami okręgu mają odpowiednio długości 2 oraz 4. Kąt DSB ma wartość $\alpha$.

Miara kąta rozwarcia stożka to $\left|\sphericalangle ASB\right|=2\alpha$.

Zauważmy, że

$\left|\sphericalangle FKS\right|=\left|\sphericalangle GLS\right|=90°$ oraz

$\sphericalangle ASB=2\sphericalangle DSB$, zatem

$\left|\sphericalangle DSB\right|=\alpha$.

Zauważmy, że długość odcinka $FG$ wynosi

$\left|FG\right|=6$,

ponieważ ona jest sumą długości promieni kul.

Do wyznaczenia funkcji trygonometrycznej kąta $\alpha$ potrzebujemy długości odcinków $GS$ albo $SL$ albo $KS$. Do wyznaczenia długości tych odcinków wykorzystamy podobieństwo trójkątów $FKS$ oraz $GLS$.

Wykreślamy trójkąty podobne $FKS$ oraz $GLS$.

R4bsvCey9pe83

Grafika przedstawia trójkąt FKS . Na boku FS leży punkt G a na boku KS leży punkt L tak że odcinek GL jest równoległy do podstawy FK. Odcinek FG ma długość 6 , odcinek GL ma długość 2 , odcinek FK ma długość 4 a odcinek GS ma długość y. Kąt FSK ma wartość $\alpha$.

Wyznaczmy cosinusa kąta $ASB$.

Zauważmy, że

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$.

Zatem najwygodniej będzie wyznaczyć funkcję sinusa kąta $GSL$. Układamy proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów $FKS$ i $GSL$:

$\frac{y}{2}=\frac{y+6}{4}$

$4y=2y+12$

$y=6$.

Wynika stąd, że

$\sin \alpha =\frac{2}{6}$, zatem

$\sin \alpha =\frac{1}{3}$.

Stąd mamy, że

$\cos 2\alpha =1-2·{\left(\frac{1}{3}\right)}^2$

$\cos 2\alpha =\frac{7}{9}$.

przekrój płaszczyzną zawierającą oś obrotu stożka, przekrój ten jest trójkątem równoramiennym

przekrój płaszczyzną przechodzącą przez środek kuli, przekrój ten nazywamy kołem wielkim