Podzielimy kąty w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym na dwie grupy: pierwsza z nich, to kąty pomiędzy odcinkami i płaszczyznami – znajdą się tu kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawykąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegokąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy oraz kąt nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznejkąt nachylenia wysokości do ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegokąt nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznej, druga to kąty pomiędzy płaszczyznami, do których zaliczymy kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy oraz kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi.

Kąty pomiędzy odcinkami a płaszczyznami w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym

Pierwszym kątem tego typu jest kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy. Jego miara jest równa mierze kąta pomiędzy krawędzią boczną, a dłuższą przekątną podstawy.

Rm2ZmcxGeb9xO

Grafika przedstawia ostrosłup w kolorze niebieskim. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Środek sześciokąta jest oznaczony literą A. Przez środek podstawy biegnie pozioma linia w kolorze fioletowym. Linia ta łączy przeciwległe wierzchołki podstawy i przebiega przez punkt A. Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa jest zaznaczona kolorem fioletowym. Fioletowe linie łączą się w wierzchołku podstawy. Kąt pomiędzy tymi liniami jest oznaczony jako alfa.

Do obliczenia miary tego kąta możemy wykorzystać trójkąt prostokątny, którego bokami są: wysokość ostrosłupa, połowa dłuższej przekątnej i krawędź boczna lub trójkąt równoramienny, którego ramionami są krawędzie boczne, a podstawą - dłuższa przekątna podstawy.

RyPOK8fLLoPT8

Grafika przedstawia dwa ostrosłupy. Podstawą każdego z ostrosłupów jest sześciokąt. Środek każdego z sześciokątów został zaznaczony punktem w kolorze niebieskim. W pierwszy ostrosłup został wpisany trójkąt. Boki trójkąta są wyznaczone poprzez jedną z krawędzi bocznych ostrosłupa, jego wysokość oraz linię łączącą wierzchołek podstawy z jej środkiem. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a linią leżącą w płaszczyźnie podstawy jest kątem prostym. Kąt pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa a linią leżącą w płaszczyźnie podstawy zaznaczono literą alfa. W drugi ostrosłup również został wpisany trójkąt. Jego boki to: dwie naprzeciwległe krawędzie boczne ostrosłupa oraz linia łącząca naprzeciwległe wierzchołki podstawy. Kąt pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa a linią leżącą w płaszczyźnie podstawy zaznaczono literą alfa.

Przykład 1

Krótsza przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego i wysokość ostrosłupa mają tę samą długość równą $12$. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Sprawdzimy, jakim trójkątem jest trójkąt, którego bokami są krawędzie boczne i dłuższa przekątna podstawy?

Rozwiązanie

Krótszą przekątną podstawy obliczamy ze wzoru $d_2=a\sqrt{3}$.

Czyli $12=a\sqrt{3}$, a stąd otrzymujemy, że $a=4\sqrt{3}$.

A zatem połowa dłuższej przekątnej również ma długość $4\sqrt{3}$.

Rrt05ef5b1xVM

Grafika przedstawia ostrosłup w kolorze niebieskim. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. W ostrosłup został wpisany trójkąt. Boki trójkąta są wyznaczone poprzez jedną z krawędzi bocznych ostrosłupa, jego wysokość oraz linię łączącą wierzchołek podstawy z jej środkiem. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a linią leżącą w płaszczyźnie podstawy jest kątem prostym. Wysokość ostrosłupa ma długość 12, a linia łącząca środek podstawy z jej wierzchołkiem ma długość 4 pierwiastek z 3. Kąt pomiędzy krawędzią boczną ostrosłupa a linią leżącą w płaszczyźnie podstawy zaznaczono literą alfa.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy $tg\alpha =\frac{12}{4\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

Czyli $\alpha =60°$.

Oznacza to, że trójkąt, którego bokami są krawędzi boczne i dłuższa przekątna podstawy jest trójkątem równobocznym.

Kolejnym kątem tego typu jest kąt nachylenia wysokości ostrosłupa do płaszczyzny ściany bocznej. Jego miara jest równa mierze kąta pomiędzy wysokością ostrosłupa, a wysokością ściany bocznej.

R1QtVZdGuTheG

Grafika przedstawia ostrosłup w kolorze niebieskim. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Środek sześciokąta jest zaznaczony niebieskim punktem. W ostrosłupie zostały zaznaczone dwie fioletowe linie. Jedna z nich to linia będąca wysokością ostrosłupa. Druga to linia leżąca w płaszczyźnie boku ostrosłupa. Linia ta jest wysokością trójkąta, który stanowi ścianę boczną ostrosłupa. Kąt pomiędzy linią leżącą w płaszczyźnie trójkąta, będącego ścianą boczną ostrosłupa, a podstawą trójkąta to kąt prosty. Pomiędzy wysokością ostrosłupa a jego podstawą również został zaznaczony kąt prosty. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej ostrosłupa oznaczono literą alfa.

Aby obliczyć miarę kąta nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznej, wykorzystujemy trójkąt prostokątny, którego bokami są wysokość ostrosłupa, odcinek, łączący spodek wysokości ze środkiem krawędzi podstawy (jego długość jest równa połowie długości krótszej przekątnej podstawy) oraz wysokość ściany bocznej.  Możemy też skorzystać z trójkąta, którego podstawą jest odcinek łączący środki równoległych krawędzi podstawy, a ramionami - wysokości ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa do tych środków.

R1TDG9KVIpeJY

Grafika przedstawia dwa ostrosłupy. Podstawą każdego z ostrosłupów jest sześciokąt. Środek każdego z sześciokątów został zaznaczony punktem w kolorze niebieskim. W pierwszy ostrosłup został wpisany trójkąt. Boki trójkąta są wyznaczone poprzez wysokość ostrosłupa, linię leżącą w płaszczyźnie podstawy, która łączy środek podstawy z środkiem krawędzi podstawy oraz linię będącą wysokością ściany bocznej ostrosłupa. Pomiędzy wysokością ostrosłupa a linią, która łączy środek podstawy z środkiem krawędzi podstawy zaznaczono kąt prosty. Pomiędzy wysokością ściany bocznej ostrosłupa, a podstawą tej ściany również zaznaczono kąt prosty. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej ostrosłupa oznaczono literą alfa. W drugi ostrosłup również został wpisany trójkąt. Podstawą tego trójkąta jest linia leżąca w płaszczyźnie podstawy ostrosłupa. Linia ta przebiega przez środek podstawy i łączy środki naprzeciwległych krawędzi podstawy. Pozostałe dwa boki trójkąta to wysokości boków trójkątów, które są ścianami bocznymi ostrosłupa. Kąty pomiędzy wysokościami ścian bocznych ostrosłupa a postawami trójkątów, które są ścianami bocznymi ostrosłupa to kąty proste. Kąt pomiędzy dwoma liniami znajdującymi się w płaszczyznach ścian bocznych ostrosłupa zaznaczono jako 2 alfa.

Przykład 2

Stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $2\sqrt{3}$. Obliczymy miarę kąta nachylenia wysokości ostrosłupa do płaszczyzny ściany bocznej.

Rozwiązanie

Z treści zadania mamy, że $\frac{h}{a}=2\sqrt{3}$.

Czyli $h=2a\sqrt{3}$.

Otrzymaliśmy więc, że wysokość ściany bocznej jest dwukrotnie dłuższa od krótszej przekątnej podstawy.

Spójrzmy na rysunek.

RsHyXHtTjAc7z

Grafika przedstawia ostrosłup w kolorze niebieskim. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Środek sześciokąta jest zaznaczony niebieskim punktem. W ostrosłup został wpisany trójkąt. Podstawą tego trójkąta jest linia leżąca w płaszczyźnie podstawy ostrosłupa. Linia ta przebiega przez środek podstawy i łączy środki naprzeciwległych krawędzi podstawy ostrosłupa. Pozostałe dwa boki trójkąta to linie będące wysokościami trójkątów, które stanowią ściany boczne ostrosłupa. Linie te mają długość 2 x. Długość linii znajdującej się w płaszczyźnie podstawy to x. Kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej ostrosłupa a podstawą tego boku to kąt prosty. Kąt pomiędzy dwoma liniami znajdującymi się w płaszczyznach boków ostrosłupa zaznaczono jako 2 alfa.

Z twierdzenia cosinusów mamy

$x^2={\left(2x\right)}^2+{\left(2x\right)}^2-2·2x·2x·\cos \left(2\alpha \right)$

A stąd $8x^2\cos \left(2\alpha \right)=7x^2$.

Czyli $\cos \left(2\alpha \right)=\frac{7}{8}=0,875$.

Odczytując z tablic trygonometrycznych otrzymujemy, że $2\alpha \approx 29°$.

Czyli $\alpha \approx 14°30\text{'}$.

Kąty pomiędzy płaszczyznami w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym

Pierwszym kątem pomiędzy płaszczyznami w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym jaki omówimy, będzie kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawykąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegokąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Jego miara jest równa mierze kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka ostrosłupa, a odcinkiem łączącym środki równoległych krawędzi podstawy.

Rt73UkxHLq7iV

Grafika przedstawia ostrosłup w kolorze niebieskim. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Środek sześciokąta jest zaznaczony niebieskim punktem. Na rysunku zostały zaznaczone dwie fioletowe linie. Jedna znajduje się w płaszczyźnie podstawy ostrosłupa. Linia ta przechodzi przez środek podstawy i łączy środki dwóch naprzeciwległych krawędzi podstawy. Druga linia jest wysokością ściany bocznej ostrosłupa, łączy ona wierzchołek ostrosłupa z środkiem podstawy trójkąta, którym jest ściana boczna ostrosłupa. Linia łącząca środki krawędzi podstawy jest poprowadzona pod kątem prostym do tych krawędzi. Kąt między wysokością trójkąta, będącego ścianą boczną ostrosłupa , a podstawą tego trójkąta to również kąt prosty. Kąt pomiędzy linią znajdującą się w płaszczyźnie podstawy a linią znajdującą się w płaszczyźnie ściany bocznej oznaczono literą alfa.

Do obliczania miary kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawykąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegokąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wykorzystujemy te same trójkąty, co w przypadku kąta nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznej.

Zauważmy, że kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy i kąt nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznej w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym są kątami tego samego trójkąta prostokątnego. A zatem suma tych dwóch kątów wynosi $90°$.

Przykład 3

Obliczymy miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy oraz kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym, w którym krawędź podstawy ma długość $4$, a krawędź boczna $6$.

Rozwiązanie

Jeżeli krawędź podstawy ma $4$, to połowa krótszej przekątnej podstawy ma długość $2\sqrt{3}$.

Obliczymy wysokość ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa.

Mamy $2^2+h^2=6^2$, a stąd $h=4\sqrt{2}$.

RRnsMK8asa53e

Grafika przedstawia ostrosłup w kolorze niebieskim. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Środek sześciokąta jest zaznaczony niebieskim punktem. W ostrosłup został wpisany trójkąt. Boki trójkąta są wyznaczone poprzez wysokość ostrosłupa, linię łączącą środek podstawy ze środkiem krawędzi podstawy oraz linia będąca wysokością trójkąta, stanowiącego ścianę boczną ostrosłupa. Długość linii łączącej środek podstawy ze środkiem krawędzi podstawy to 2 pierwiastek 3, natomiast długość linii leżącej w płaszczyźnie ściany bocznej ostrosłupa to 4 pierwiastek 2. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej ostrosłupa oznaczono literą beta. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a linią łączącą środek podstawy ze środkiem krawędzi podstawy to kąt prosty. Kąt pomiędzy wysokością trójkąta, stanowiącego ścianę boczną ostrosłupa a podstawą tego trójkąta to również kąt prosty.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych otrzymujemy $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}\approx 0,6124$.

Czyli kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy wynosi $\alpha \approx 52°$, a kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej $\beta \approx 90°-52°=38°$.

Kolejnym kątem pomiędzy płaszczyznami w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym jest kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi. Miara tego kąta jest równa mierze kąta pomiędzy wysokościami sąsiednich ścian bocznychkąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegokąta pomiędzy wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonymi z różnych wierzchołków podstawy na wspólną krawędź boczną.

RQXJ6bymn9Jax

Grafika przedstawia ostrosłup w kolorze niebieskim. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Środek sześciokąta jest zaznaczony niebieskim punktem. W dwóch ścianach bocznych zaznaczone zostały wysokości trójkątów, w taki sposób, że podstawą tych trójkątów jest ich wspólna krawędź, będąca krawędzią boczną ostrosłupa, a wierzchołek z którego wychodzą jest przyległy do wierzchołka podstawy ostrosłupa. Wysokości są poprowadzone pod kątem prostym do podstawy trójkąta, czyli krawędzi bocznej ostrosłupa. Łączą się one w jednym punkcie. Kąt między tymi wysokościami został oznaczony literą alfa.

Przykład 4

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $2$, a wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka podstawy ma długość $1,9$. Obliczymy miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.

Rozwiązanie

Rn6LltCSCReyE

Grafika przedstawia ostrosłup w kolorze niebieskim. Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Środek sześciokąta jest zaznaczony niebieskim punktem. W dwóch ścianach bocznych za pomocą linii przerywanej zaznaczone zostały wysokości trójkątów, w taki sposób, że podstawą tych trójkątów jest ich wspólna krawędź, będąca krawędzią boczną ostrosłupa, a wierzchołek z którego wychodzą jest przyległy do wierzchołka podstawy ostrosłupa. Wysokości są poprowadzone pod kątem prostym do podstawy trójkąta, czyli krawędzi bocznej ostrosłupa. W podstawie ostrosłupa poprowadzono również linię przerywaną, która łączy dwa wierzchołki podstawy, z których wychodzą wysokości ścian bocznych ostrosłupa. Kolorem fioletowym zaznaczony został trójkąt, którego boki to: wysokości jednej ze ścian bocznych, połowa linii łączącej dwa wierzchołki podstawy, z których wychodzą wysokości ścian bocznych ostrosłupa oraz linia łącząca punkt przecięcia się wysokości ściany bocznej ostrosłupa z podstawą z końcem linii, która stanowi połowę linii łączącej wierzchołki podstawy. Długość krawędzi podstawy jest równa 2, długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa jest równa 1.9. Kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej a linią łącząca punkt przecięcia się wysokości ściany bocznej ostrosłupa i podstawy z końcem linii, która stanowi połowę linii łączącej wierzchołki podstawy jest równy pół alfa.

Rozważmy trójkąt równoramienny, którego podstawą jest krótsza przekątna podstawy a ramionami - wysokości ścian bocznych ostrosłupa. Następnie zaznaczmy na rysunku jego wysokość. Będziemy rozważać powstały trójkąt prostokątny.

Jedna z jego przyprostokątnych ma długość taką, jak połowa krótszej przekątnej, czyli $\sqrt{3}$, a przeciwprostokątna jest wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka podstawy.

Narysowany kąt (oznaczmy go przez $\frac{\alpha }{2}$) stanowi połowę kąta pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych otrzymujemy $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{3}}{1,9}\approx 0,9116$, a stąd $\frac{\alpha }{2}\approx 66°$.

Czyli kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę około $132°$.

Słownik