Grupa sportowców biegnie na  długim dystansie ze średnią prędkością $15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Do mety pozostało im $30 \mathrm{km}$.

a) Wyznaczymy wzór  opisujący odległość $d$ tej grupy od mety, w zależności od czasu $t$.

b) Obliczymy, ile czasu potrzeba sportowcom, by dotrzeć do mety.

Rozwiązanie:

a) Wzór funkcji opisujący odległość $d$ $\left[\mathrm{km}\right]$ tej grupy od mety, w zależności od czasu $t$ $\left[h\right]$ przedstawia się następująco:

$d\left(t\right)=30-15·t$, gdzie $t\in ⟨0,2⟩$.

b) Do wyznaczenia czasu, jaki jest potrzebny sportowcom, by dotrzeć do mety, wystarczy obliczyć miejsce zerowe funkcji, opisującej zależność odległości grupy sportowców od mety, przy określonym upływie czasu.

Zatem:

$0=30-15·t$.

Wobec tego $t=2$.

Ponieważ $t=2\in ⟨0,2⟩$, to czas potrzebny do dotarcia do mety wynosi $2$ godziny.

Firma organizuje imprezy weekendowe w hotelu. Każdy uczestnik  płaci  $500 \mathrm{zł}$. Kwota ta ma  pokryć koszty pokoju, wyżywienia i oferowanych atrakcji. Hotel oczekuje zapłaty  $6000 \mathrm{zł}$ za korzystanie z atrakcji i $300 \mathrm{zł}$ za każdego uczestnika.

a) Obliczymy, ilu uczestników powinno przyjechać na imprezę, aby przyniosła ona firmie  zysk.

b) Naszkicujemy wykresy funkcji dochodu oraz funkcji kosztów, w zależności od liczby uczestników.

Rozwiązanie:

a) Niech $n$ oznacza liczbę uczestników ($n\ge 0$). Zapiszemy wzorami dwie funkcje: dochodu $d\left(n\right)$ i kosztu $k\left(n\right)$.

Wówczas:

$d\left(n\right)=500n$,

$k\left(n\right)=6000+300n$.

Dodatkowo możemy zapisać funkcję zysku, która wyraża się wzorem:

$z\left(n\right)=d\left(n\right)-k\left(n\right)$.

Wyznaczymy, przy jakiej liczbie uczestników koszty imprezy są równe dochodom.

Wobec tego $d\left(n\right)=k\left(n\right)$, gdy

$500n=6000+300n$.

Zatem $n=30$, czyli dla liczby uczestników większej od $30$ dochody firmy  będą większe od kosztów (czyli impreza przyniesie zysk).

b) Wykresy zależności funkcji dochodu oraz funkcji kosztu od liczby uczestników przedstawiają się następująco:

R1GDn22MRleuu

Ilustracja przedstawia poziomą oś Y od zera do czterdziestu, jednostką są uczestnicy, oraz pionową oś Y od zera do czternastu tysięcy, jednostka są złote. Na wykresie zaznaczono także dwie proste, prostką k przechodzącą przez punkty nawias zero średnik sześć tysięcy koniec nawiasu oraz punkt nawias dziesięć dziewięć tysięcy koniec nawiasu. Prosta d przechodzi przez punkt nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz punkt nawias dwadzieścia średnik osiem tysięcy koniec nawiasy. Obie proste przecinają się w punkcie nawias trzydzieści średnik piętnaście tysięcy koniec nawiasu.

Szkoła ma do wyboru dwie opcje korzystania z usług kserograficznych:

1. Wypożyczenie sprzętu za $1400 \mathrm{zł}$ rocznie i $0,20 \mathrm{zł}$ za kopię każdej strony.

2. Zakup sprzętu za $2200 \mathrm{zł}$ płatne jednorazowo i $0,18\mathrm{z}ł$ za kopię każdej strony.

a) Obliczymy, która z opcji jest bardziej opłacalna dla szkoły przy rocznym użytkowaniu na poziomie $10000$ stron.

b) Wyznaczymy, jaki będzie koszt przy każdej z opcji, jeżeli rocznie szkoła wykonuje $12000$ kopii.

c) Sprawdzimy, dla jakiej liczby stron koszty użytkowania w obu ofertach są równe.

Rozwiązanie:

Zapiszemy za pomocą wzorów funkcje $f_1$ i $f_2$, które przedstawiają całkowity koszt korzystania z usług kserograficznych odpowiednio w pierwszej i drugiej opcji.

Niech $x$ oznacza liczbę kopii ($x\ge 0$). Wówczas:

$f_1\left(x\right)=1400+0,20x$,

$f_2\left(x\right)=2200+0,18x$.

a) Jeżeli $x=10000$, to:

$f_1\left(10000\right)=1400+0,20·10000=3400$,

$f_2\left(10000\right)=2200+0,18·10000=4000$.

b) Jeżeli $x=12000$, to:

$f_1\left(12000\right)=1400+0,20·12000=3800$,

$f_2\left(12000\right)=2200+0,18·12000=4360$.

c) Do wyznaczenia liczby kopii, przy której koszty w obu ofertach są równe, rozwiązujemy równanie:

$f_1\left(x\right)=f_2\left(x\right)$

$1400+0,20x=2200+0,18x$.

Ponieważ $x\ge 0$, zatem $x=40000$.

Koszty przy obu ofertach są równe, gdy wykona się $40000$ kopii.

Koszt eksploatacji samochodu jest powiązany z liczbą przejechanych kilometrów:

• jeżeli samochód przejedzie $5000 \mathrm{km}$, to koszt wynosi $5150 \mathrm{zł}$,

• jeżeli samochód przejedzie $2000 \mathrm{km}$, to koszt wynosi $2060 \mathrm{zł}$.

a) Wyznaczymy wzór opisujący zależność kosztu rocznej eksploatacji samochodu od liczby przejechanych kilometrów.

b) Naszkicujemy wykres zależności kosztu eksploatacji samochodu od liczby przejechanych kilometrów.

c) Obliczymy koszt eksploatacji samochodu, który przejechał $20000 \mathrm{km}$.

Rozwiązanie:

a) Oznaczmy przez $x$ liczbę przejechanych kilometrów ($x\ge 0$).

Niech $f\left(x\right)=ax+b$ będzie funkcją opisującą omawianą zależność.

Do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}2060=2000·a+b\\ 5150=5000·a+b\end{array}\right.$

Zatem $a=1,03$ i $b=0$.

Funkcja wyraża się wzorem $f\left(x\right)=1,3·x$.

b) Wykres funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=1,3·x$ dla $x\ge 0$ przedstawia się następująco:

R1LBxWmL7rgqQ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od zera do ośmiu oraz pionową oś Y od zero do sześciu. Na wykresie zaznaczono również półprostą f przechodzącą przez punkty nawias zero średnik zero koniec nawiasu, nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu, nawias pięć średnik sześć koniec nawiasu.

c) Obliczamy:

$f\left(20000\right)=1,03·20000=20600$.

Temperaturę wyrażoną w stopniach Celsjusza $\left[°C\right]$ przelicza się na temperaturę wyrażoną w stopniach Fahrenheita $\left[°F\right]$ według wzoru $\left[°F\right]=\left[°C\right]·\frac{9}{5}+32$, a temperaturę wyrażoną w stopniach Celsjusza $\left[°C\right]$ przelicza się na temperaturę wyrażoną w Kelvinach $\left[°K\right]$ według wzoru $\left[°K\right]=\left[°C\right]+273,15$. Wyznaczymy wzór zależności pomiędzy temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita, a temepraturą wyrażoną w Kelvinach.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że:

$\left[°C\right]=\frac{5}{9}·\left(\left[°F\right]-32\right)$

oraz

$\left[°C\right]=\left[°K\right]-273,15$

Zatem prawdziwa jest równość:

$\left[°K\right]-273,15=\frac{5}{9}·\left(\left[°F\right]-32\right)$

Wobec tego:

$\left[{}^{\circ }K\right]=\frac{5}{9}\cdot \left(\left[{}^{\circ }F\right]-32\right)+273,15$

Otrzymany wzór przedstawia zależność pomiędzy temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita, a temepraturą wyrażoną w Kelvinach.

Funkcja $f$ określa miarę kąta (w stopniach) między wskazówką godzinową a wskazówką minutową zegara w zależności od czasu $t$ (w minutach), między północą a godziną pierwszą.

a) Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

b) Podamy miarę kąta między wskazówkami zegara o godzinie $0:20$.

Rozwiązanie:

a) Ponieważ $1 \mathrm{h} = 60 \min$, zatem po upływie $1 \min$ wskazówka minutowa zegara wyznaczy kąt o mierze $6°$.

Wskazówka godzinowa zegara po upływie $1 \min$ wyznaczy kąt o mierze $0,5°$.

Czyli po upływie $1 min$ kąt między wskazówką godzinową, a wskazówką minutową zegara będzie miał miarę $5,5°$.

Wobec tego wzór funkcji $f$ przedstawia się następująco:

$f\left(t\right)=5,5°·t$, gdzie $t\in ⟨0,60⟩$.

b) Obliczamy:

$f\left(20\right)=5,5°·20=110°$

Wobec tego miara kąta wyznaczonego przez wskazówki minutową i godzinową zegara o godz. $0:20$ wynosi $110°$.

funkcja określona na zbiorze $\mathrm{ℝ}$ wzorem

gdzie:
$a,b\in \mathrm{ℝ}$