Przeczytaj

płaszczyzny przecinające się

Definicja: płaszczyzny przecinające się

Dane są płaszczyzny $π_{1}$ i $π_{2}$ . Mówimy, że płaszczyzny $π_{1}$ i $π_{2}$ są przecinające się, gdy mają wspólną prostą, zwaną krawędzią.

R1HfhEajVrO27

Grafika przedstawia dwie płaszczyzny: poziomą π1 oraz pionową π2. Płaszczyzny przecinają się a miejsce ich przecięcia zostało zaznaczone i podpisane: krawędź.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ . Wskażemy płaszczyzny zawierające ściany sześcianu, które przecinają się z płaszczyzną $A D H E$ .

RYpyvM30lxUxH

Grafika przedstawia sześcian o wierzchołkach dolnej podstawy: A, B, C, D i górnej podstawy E, F, G oraz H.

Rozwiązanie:

Płaszczyzny zawierające ściany sześcianu, które przecinają się z płaszczyzną zawierającą ścianę $A D H E$ , to: $A B C D$ , $E F G H$ , $A B F E$ , $D C G H$ .

Przykład 2

Obliczymy miarę kąta $α$ pomiędzy płaszczyznami zawierającymi ściany $A D S$ i $A B C D$ w ostrosłupie prawidłowym czworokątnymostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wymiarach, jak na rysunku.

R13EZTv0aBVSS

Grafika przedstawia ostrosłup , w którego podstawie znajduje się kwadrat o boku a. Wierzchołki podstawy to A, B, C oraz D. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. W ścianie ADS zaznaczono wysokość, prostopadle do boku AD. Wysokość ta ma długość dwa a. Miejsce przecięcia się wysokości odcinkiem AD zaznaczono literą E. Z punktu E poprowadzono linię równoległą do krawędzi podstawy i w miejscu , gdzie linia ta przecina się z krawędzią podstawy podpisano F. Kąt SEF jest podpisany literą alfa.

Rozwiązanie:

Do wyznaczenia miary kąta $α$ wystarczy rozpatrzeć trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

RVGX7tO8FGPOq

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna ma długość 2a. Krótsza przyprostokątna ma długość 12a. Kąt pomiędzy krótszą przyprostokątną a przeciwprostokątną podpisano literą alfa

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej cosinus, mamy, że:

$\cos α = \frac{\frac{1}{2} a}{2 a} = \frac{1}{4}$

Jeżeli wykorzystamy tablice wartości funkcji trygonometrycznych, to odczytujemy, że $α \approx 75 °$ .

Wiadomości wykorzystane w kolejnych dwóch przykładach wykraczają poza podstawę programową matematyki, ale są ciekawym uzupełnieniem poruszanej tematyki.

twierdzenie Cevy

Twierdzenie: twierdzenie Cevy

Dany jest czworościan $A B C D$ i punkty $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , $D^{'}$ leżące odpowiednio na krawędziach $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ . Płaszczyzny $A B C^{'}$ , $B C A^{'}$ , $C D D^{'}$ , $D A B^{'}$ przecinają się w jednym punkcie wtedy, gdy zachodzi warunek:

\frac{A A^{'}}{A^{'} B} \cdot \frac{B B^{'}}{B^{'} C} \cdot \frac{C C^{'}}{C^{'} D} \cdot \frac{D D^{'}}{D^{'} A} = 1

RXOSdWzYAQOv2

Grafika przedstawia czworokąt, którego wierzchołki to A, B, C oraz D. Na krawędzi AB zaznaczono punkt A prim. Na krawędzi BC zaznaczono punkt B prim. Na krawędzi AD zaznaczono punkt d prim, a na krawędzi CD zaznaczono punkt C prim.

Przykład 3

Obliczymy długość odcinka $D D^{'}$ , jeżeli krawędź czworościanu foremnego z rysunku ma długość $3$ oraz $|A A^{'}| = |B^{'} C|$ , $|C C^{'}| = 2$ , $|C^{'} D| = 1$ oraz płaszczyzny $A B C^{'}$ , $B C D^{'}$ , $C D A^{'}$ , $D A B^{'}$ przecinają się w jednym punkcie.

R4ahQ8wCXXgk3

Rozwiązanie:

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku.

RGfelBfnzFCVd

Korzystając z twierdzenia Cevy, wykorzystujemy zależność:

$\frac{A A^{'}}{A^{'} B} \cdot \frac{B B^{'}}{B^{'} C} \cdot \frac{C C^{'}}{C^{'} D} \cdot \frac{D D^{'}}{D' A} = 1$

Zatem:

$\frac{y}{3 - y} \cdot \frac{3 - y}{y} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{x}{3 - x} = 1$

Wobec tego:

$\frac{2 x}{3 - x} = 1$

$2 x = 3 - x$

$x = 1$ .

Ciekawostka

Jeżeli płaszczyzny są opisane za pomocą równań w postaci ogólnej, określa się warunki, kiedy te płaszczyzny się przecinają.

Dwie płaszczyzny zadane równaniami w postaci ogólnej:równanie płaszczyznyrównaniami w postaci ogólnej:

$Q$ : $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ , gdzie $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1} \in ℝ$ oraz $A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2} > 0$

$T$ : $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ , gdzie $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2} \in ℝ$ oraz $A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2} > 0$

przecinają się wtedy, gdy:

|\begin{matrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{matrix}| \neq 0

lub

|\begin{matrix} B_{1} & C_{1} \\ B_{2} & C_{2} \end{matrix}| \neq 0

lub

|\begin{matrix} C_{1} & A_{1} \\ C_{2} & A_{2} \end{matrix}| \neq 0

Przykład 4

Określimy, czy istnieje wartość parametru $m$ taka, że płaszczyzny zadane równaniami ogólnymi $Q$ : $m x + 2 y + z + 1 = 0$ oraz $T$ : $- 6 x + 6 y + 3 z + 3 = 0$ przecinają się.

Rozwiązanie:

Odczytujemy wartości współczynników w równaniach płaszczyzn $Q$ i $T$ .

Zatem $A_{1} = m$ , $B_{1} = 2$ , $C_{1} = 1$ , $A_{2} = - 6$ , $B_{2} = 6$ , $C_{2} = 3$ .

Obliczamy wartości odpowiednich wyznaczników:

$|\begin{matrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{matrix}| = |\begin{matrix} m & 2 \\ - 6 & 6 \end{matrix}| = m \cdot 6 - 2 \cdot (- 6) = 6 m + 12$

$|\begin{matrix} B_{1} & C_{1} \\ B_{2} & C_{2} \end{matrix}| = |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 6 & 3 \end{matrix}| = 2 \cdot 3 - 6 \cdot 1 = 6 - 6 = 0$

$|\begin{matrix} C_{1} & A_{1} \\ C_{2} & A_{2} \end{matrix}| = |\begin{matrix} 1 & m \\ 3 & - 6 \end{matrix}| = 1 \cdot (- 6) - m \cdot 3 = - 6 - 3 m$

Płaszczyzny przecinają się, gdy co najmniej jeden z wyznaczników jest różny od $0$ .

Zatem:

$6 m + 12 \neq 0 \Rightarrow m \neq - 2$

$- 6 - 3 m \neq 0 \Rightarrow m \neq - 2$

Wobec tego dla $m \neq - 2$ podane płaszczyzny się przecinają.

Słownik

równanie płaszczyzny

równanie postaci $A x + B y + C z + D = 0$ , gdzie $A$ , $B$ , $C \in ℝ$ oraz $A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0$

ostrosłup prawidłowy czworokątny

ostrosłup, który ma w podstawie kwadrat

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Słownik