Przeczytaj

Układ równań

Definicja: Układ równań

Układem równańukład równańUkładem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.

Aby rozwiązać układ równań, należy znaleźć wszystkie układy liczb spełniające jednocześnie wszystkie równania składowe danego układu równań lub uzasadnić, że takie układy nie istnieją.

Układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi

Definicja: Układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi

Układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymiUkładem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi nazywamy koniunkcję trzech równań pierwszego stopnia z trzema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}

gdzie:
$x$ , $y$ oraz $z$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ , $c_{1}$ , $c_{2}$ oraz $c_{3}$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ , $y$ oraz $z$ , przy czym przynajmniej jedna z trójki liczb $a_{1}$ $a_{2}$ i $a_{3}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ i $b_{3}$ oraz $c_{1}$ , $c_{2}$ i $c_{3}$ jest różna od zera. Liczby $d_{1}$ , $d_{2}$ oraz $d_{3}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Rozwiązanie układu równań

Definicja: Rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem układurozwiązanie układu równańRozwiązaniem układu trzech równań równań liniowych z trzema niewiadomymi jest każda uporządkowana trójka liczb spełniających jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy trójki liczb $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \end{cases}$ oraz $\{\begin{cases} x = 5 \\ y = - 2 \\ z = - 7 \end{cases}$ są rozwiązaniami układu równań $\{\begin{cases} 2 x + 3 y - z = 11 \\ x - y + z = 0 \\ - x + 2 y - 3 z = 12 \end{cases}$ .

Podstawiamy podane wartości $x$ , $y$ i $z$ do wyrażeń znajdujących się po lewej stronie kolejnych równań składowych, obliczamy ich wartości liczbowe i porównujemy je z wartościami liczbowymi znajdującymi się po prawej stronie tych równań.

Rozpatrzmy trójkę liczb $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \end{cases}$ .

$L_{1} = 2 x + 3 y - z = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - (- 3) = 11 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = x - y + z = 1 - 2 + (- 3) = - 4 \neq 0 = P_{2} \Rightarrow L_{2} \neq P_{2}$

Ponieważ w drugim równaniu, po podstawieniu wartości $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \end{cases}$ w miejsce niewiadomych, lewa strona nie jest równa stronie prawej, więc ta trójka liczb nie spełnia tego równania.

Nie musimy już sprawdzać, czy spełnia trzecie równanie – aby była rozwiązaniem układu, musi spełniać każde z równań. Trójka liczb $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \end{cases}$ nie spełnia drugiego równania, a zatem nie jest rozwiązaniem tego układu równań.

Sprawdźmy trójkę liczb $\{\begin{cases} x = 5 \\ y = - 2 \\ z = - 7 \end{cases}$ .

Ponownie obliczmy i porównujemy wartości wyrażeń po lewej oraz prawej stronie każdego z równań.

$L_{1} = 2 x + 3 y - z = 2 \cdot 5 + 3 \cdot (- 2) - (- 7) = 11 = P_{1} \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = x - y + z = 5 - (- 2) + (- 7) = 0 = P_{2} \Rightarrow L_{2} = P_{2}$

$L_{3} = - x + 2 y - 3 z = - 5 + 2 \cdot (- 2) - 3 \cdot (- 7) = 12 = P_{3} \Rightarrow L_{3} = P_{3}$

Trójka liczb $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \end{cases}$ spełnia wszystkie równania tego układu, a zatem jest jego rozwiązaniem.

Przykład 2

Rozwiążemy układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi $\{\begin{cases} 2 x - 5 y - 3 z = 7 \\ 3 x - y + 2 z = 4 \\ x - 2 y + 2 z = 9 \end{cases}$ .

Rozwiązując układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi możemy wyznaczyć jedną z niewiadomych z dowolnego równania. W tym przykładzie wyznaczymy niewiadomą $x$ z trzeciego równania.

$\{\begin{cases} 2 x - 5 y - 3 z = 7 \\ 3 x - y + 2 z = 4 \\ x = 9 + 2 y - 2 z \end{cases}$

Wyznaczone wyrażenie podstawiamy do dwóch pierwszych równań w miejsce niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} 2 \cdot (9 + 2 y - 2 z) - 5 y - 3 z = 7 \\ 3 \cdot (9 + 2 y - 2 z) - y + 2 z = 4 \\ x = 9 + 2 y - 2 z \end{cases}$

Rozwiązujemy otrzymany układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

$\{\begin{cases} 18 + 4 y - 4 z - 5 y - 3 z = 7 \\ 27 + 6 y - 6 z - y + 2 z = 4 \end{cases}$

Doprowadzamy układ równań do najprostszej postaci.

$\{\begin{cases} - y - 7 z = - 11 \\ 5 y - 4 z = - 23 \end{cases}$

Aby rozwiązać ten układ, możemy zastosować metodę przeciwnych współczynników.

Mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę $5$ , otrzymujemy przeciwne wspołczynniki przy niewiadomej $y$ , co pozwala nam ją zredukować.

$\{\begin{cases} - y - 7 z = - 11 | \cdot 5 \\ 5 y - 4 z = - 23 \end{cases}$

$+ \{\begin{cases} - 5 y - 35 z = - 55 \\ 5 y - 4 z = - 23 \end{cases} - 39 z = - 78 : (- 39)$

$z = 2$

Po obliczeniu wartości zmiennej $z$ , podstawiamy ją do pierwszego z równań układu.

$\{\begin{cases} - y - 7 z = - 11 \\ z = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - y - 7 \cdot 2 = - 11 \\ z = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - y = - 11 + 14 \\ z = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - y = 3 \\ z = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = - 3 \\ z = 2 \end{cases}$

Otrzymujemy zatem układ równań

$\{\begin{cases} x = 9 + 2 y - 2 z \\ y = - 3 \\ z = 2 \end{cases}$

Możemy teraz obliczyć wartość $x$ , podstawiając do pierwszego równania obliczone wartości $y$ oraz $z$ .

$\{\begin{cases} x = 9 + 2 \cdot (- 3) - 2 \cdot 2 \\ y = - 3 \\ z = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 3 \\ z = 2 \end{cases}$

A zatem rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} 2 x - 5 y - 3 z = 7 \\ 3 x - y + 2 z = 4 \\ x - 2 y + 2 z = 9 \end{cases}$

jest trójka liczb

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 3 \\ z = 2 \end{cases}$

(Sprawdź!)

Przykład 3

Układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi

$\{\begin{cases} 2 x - 5 y - 3 z = 7 \\ 3 x - y + 2 z = 4 \\ x - 2 y + 2 z = 9 \end{cases}$

możemy również rozwiązać wyznaczając niewiadomą $y$ z drugiego równania.

$\{\begin{cases} 2 x - 5 y - 3 z = 7 \\ y = 3 x + 2 z - 4 \\ x - 2 y + 2 z = 9 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczoną wartość $y$ do pozostałych równań układu.

$\{\begin{cases} 2 x - 5 \cdot (3 x + 2 z - 4) - 3 z = 7 \\ y = 3 x + 2 z - 4 \\ x - 2 \cdot (3 x + 2 z - 4) + 2 z = 9 \end{cases}$

Rozwiązujemy otrzymany układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

$\{\begin{cases} 2 x - 5 \cdot (3 x + 2 z - 4) - 3 z = 7 \\ x - 2 \cdot (3 x + 2 z - 4) + 2 z = 9 \end{cases}$

Doprowadzamy układ równań do najprostszej postaci i korzystając z metody przeciwnych współczynników obliczamy wartości niewiadomych $x$ oraz $z$ .

$\{\begin{cases} 2 x - 15 x - 10 z + 20 - 3 z = 7 \\ x - 6 x - 4 z + 8 + 2 z = 9 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 13 x - 13 z = - 13 | : (- 13) \\ - 5 x - 2 z = 1 \end{cases}$

Mnożymy pierwsze równanie przez liczbę $2$ , aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej $z$ .

$\{\begin{cases} x + z = 1 | \cdot 2 \\ - 5 x - 2 z = 1 \end{cases}$

Dodajemy równania stronami.

$+ \{\begin{cases} 2 x + 2 z = 2 \\ - 5 x - 2 z = 1 \end{cases} - 3 x = 3 : (- 3)$

$x = - 1$

Obliczoną wartość $x$ podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ x + z = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ - 1 + z = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ z = 2 \end{cases}$

Możemy teraz obliczyć wartość $y$ , podstawiając do pierwszego równania obliczone wartości $x$ oraz $z$ .

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ z = 2 \\ y = 3 x + 2 z - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ z = 2 \\ y = 3 \cdot (- 1) + 2 \cdot 2 - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ z = 2 \\ y = - 3 \end{cases}$

Możemy więc zauważyć, że wybór równania oraz niewiadomej, którą wyznaczamy jako pierwszą nie ma wpływu na rozwiązanie układu.

Przykład 4

Rozwiążemy układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi

$\{\begin{cases} 5 x - 2 y - z = - 1 \\ 3 x - y + 2 z = 4 \\ - 2 x + y + 3 z = 5 \end{cases}$ .

Możemy wyznaczyć niewiadomą $z$ z pierwszego równania, podstawić otrzymane wyrażenie do pozostałych równań układu i uprościć otrzymany układ.

$\{\begin{cases} z = 5 x - 2 y + 1 \\ 3 x - y + 2 z = 4 \\ - 2 x + y + 3 z = 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} z = 5 x - 2 y + 1 \\ 3 x - y + 2 \cdot (5 x - 2 y + 1) = 4 \\ - 2 x + y + 3 \cdot (5 x - 2 y + 1) = 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} z = 5 x - 2 y + 1 \\ 3 x - y + 10 x - 4 y + 2 = 4 \\ - 2 x + y + 15 x - 6 y + 3 = 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} z = 5 x - 2 y + 1 \\ 13 x - 5 y = 2 \\ 13 x - 5 y = 2 \end{cases}$

Otrzymane po uproszczeniu równania, tworzą nieoznaczony układ równań liniowych.

$\{\begin{cases} 13 x - 5 y = 2 \\ 13 x - 5 y = 2 \end{cases}$

Rozwiązaniem takiego układu jest nieskończenie wiele par liczb postaci

$\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{13}{5} x - \frac{2}{5} \end{cases}$

Podstawiając te dane do początkowego układu trzech równań z trzema niewiadomymi, otrzymujemy

$\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{13}{5} x - \frac{2}{5} \\ z = 5 x - 2 y + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{13}{5} x - \frac{2}{5} \\ z = 5 x - 2 (\frac{13}{5} x - \frac{2}{5}) + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{13}{5} x - \frac{2}{5} \\ z = 5 x - \frac{26}{5} x + \frac{4}{5} + 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{13}{5} x - \frac{2}{5} \\ z = - \frac{1}{5} x + \frac{9}{5} \end{cases}$

A zatem układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi $\{\begin{cases} 5 x - 2 y - z = - 1 \\ 3 x - y + 2 z = 4 \\ - 2 x + y + 3 z = 5 \end{cases}$ jest spełniony przez nieskończenie wiele trójek liczb postaci

$\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = 2, 6 x - 0, 4 \\ z = - 0, 2 x + 1, 8 \end{cases}$ .

Przykład 5

Układy równań bardzo często wykorzystujemy do rozwiazywania zadań tekstowych.

Oblicz, ile lat ma Tosia, ile Zosia, a ile Marysia, jeśli wiadomo, że połowa wieku Zosi równa się $\frac{3}{4}$ sumy lat Tosi i Marysi oraz, że trzy lata temu suma lat Zosi i Marysi była dwukrotnie większa od wieku Tosi, a za cztery lata Zosia będzie miała dwa razy tyle lat, co Tosia ma teraz.

Rozwiążemy powyższe zadanie układając i rozwiązując odpowiedni układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

$t$ – wiek Tosi,
$z$ – wiek Zosi,
$m$ – wiek Marysi.

Jeśli połowa wieku Zosi równa się $\frac{3}{4}$ sumy lat Tosi i Marysi, to

$\frac{1}{2} z = \frac{3}{4} (t + m)$ .

Jeśli trzy lata temu suma lat Zosi i Marysi była dwukrotnie większa od wieku Tosi, to

$(z - 3) + (m - 3) = 2 (t - 3)$ .

Jeśli za cztery lata Zosia będzie miała dwa razy tyle lat, co Tosia ma teraz, to

$z + 4 = 2 t$ .

Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} z = \frac{3}{4} (t + m) \\ (z - 3) + (m - 3) = 2 (t - 3) \\ z + 4 = 2 t \end{cases}$

Wyznaczamy wartość niewiadomej $z$ z trzeciego równania i podstawiamy otrzymane wyrażenia do pozostałych równań – zapisujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} z = \frac{3}{4} (t + m) \\ (z - 3) + (m - 3) = 2 (t - 3) \\ z = 2 t - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} (2 t - 4) = \frac{3}{4} (t + m) \\ 2 t - 4 - 3 + m - 3 = 2 t - 6 \end{cases}$

Obliczamy wartości niewiadomych $t$ oraz $m$ .

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} (2 t - 4) = \frac{3}{4} (t + m) | \cdot 4 \\ - 4 + m = 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 t - 8 = 3 t + 3 m \\ - 4 + m = 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} m = 4 \\ t = 3 m + 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} m = 4 \\ t = 20 \end{cases}$

Wracamy do układu trzech równań z trzema niewiadomymi i podstawiamy otrzymane wartości.

$\{\begin{cases} m = 4 \\ t = 20 \\ z = 2 t - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} m = 4 \\ t = 20 \\ z = 36 \end{cases}$

A zatem obecnie Tosia ma $20$ lat, Zosia $36$ lat, a Marysia $4$ lata.

Przykład 6

Układy równań liniowych możemy rozwiązywać wykorzystując metodę eliminacji Gaussa.

R14qMjpV0AkLZ1

Ilustracja przedstawia obraz na którym znajduje portret elegancko ubranego mężczyzny w średnim wieku o jasnych włosach. Ma on na głowie czapkę. — Portret Carla Friedricha Gaussa
pędzla Gottlieba Biermanna, $1887$
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Carl Friedrich Gauss

$(30.04.1777 - 23.02.1855)$

– niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta.

Uznawany jest za jednego z twórców geometrii nieeuklidesowej.

Uważany jest za jednego z największych matematyków, określany mianem Księcia matematyków.

W metodzie eliminacji Gaussa dodajemy jedno z równań (pomnożone przez odpowiednią liczbę różną od zera) do każdego z pozostałych równań układu, tak, aby zredukować w tym układzie jedną z niewiadomych. Eliminujemy w ten sposób jedno z równań.
Stosujemy taki algorytm konsekwentnie, aż do obliczenia pierwszej z niewiadomych.
Następnie podstawiając otrzymane wartości, obliczamy pozostałe niewiadome.
Możemy w ten sposób rozwiązać dowolny układ równań liniowych.

Rozwiążemy układ równań

$\{\begin{cases} x + 3 y - 5 z = 22 \\ 3 x + 5 y + 3 z = - 16 \\ - 2 x - 4 y - z = 7 \end{cases}$

Dodajemy pierwsze równanie pomnożone przez liczbę $(- 3)$ do drugiego równania oraz pierwsze równanie pomnożone przez liczbę $2$ do trzeciego równania.

R18OEKkFKnwiw

Ilustracja przedstawia sposób przekształcania równań. Z lewej strony znajduje się równanie x+3y−5z=22 z tego równania prowadzi strzałka w dół, obok strzałki znajduje się zapis ⋅(−3). Pod spodem znajduje się równanie −3x−9y+15z=−66, pod nim zapisano znak plus, pod którym zapisano równanie 3x+5y+3z=−16. Pod tymi wyrażeniami znajduje się strzałka, która prowadzi do równania −4y+18z=−82. Z prawej strony ilustracji znajduje się równanie x+3y−5z=22, z tego wyrażenia prowadzi strzałka w dół, obok niej znajduje się zapis ·2. Pod strzałką znajduje się wyrażenie 2x+6y−10z=44 pod nim znajduje się znak plus oraz równanie −2x−4y−z=7. Z tych wyrażeń prowadzi strzałka do równania 2y−11z=51.

Otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

$\{\begin{cases} - 4 y + 18 z = - 82 \\ 2 y - 11 z = 51 \end{cases}$

Ponownie stosujemy schemat. Teraz dodajemy do pierwszego drugie równanie pomnożone przez liczbę $2$ .

RgSrGe9fLy8Zb

Ilustracja przedstawia sposób przekształcania następującego równania 2y−11z=51, z tego wyrażenia prowadzi strzałka w dół, obok strzałki zapisano ⋅2. Pod strzałką znajduje się równanie 4y−22z=102 do tego równania dodano równanie −4y+18z=−82, wynikiem tego dodawania jest równanie −4z=20.

Otrzymaliśmy jedno równanie z jedną niewiadomą.

Rozwiązujemy równanie.

$- 4 z = 20 | : (- 4)$

$z = - 5$

Podstawiając otrzymaną wartość do dowolnego równania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi $y$ i $z$ , obliczamy wartość niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} z = - 5 \\ 2 y - 11 z = 51 \end{cases} \Rightarrow y = - 2$

Podstawiając otrzymane wartości do dowolnego równania układu trzech równań z trzema niewiadomymi $x$ , $y$ i $z$ , obliczamy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} z = - 5 \\ y = - 2 \\ x + 3 y - 5 z = 22 \end{cases} \Rightarrow x = 3$

Rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} x + 3 y - 5 z = 22 \\ 3 x + 5 y + 3 z = - 16 \\ - 2 x - 4 y - z = 7 \end{cases}$

jest trójka liczb

$\{\begin{cases} z = - 5 \\ y = - 2 \\ x = 3 \end{cases}$ .

Słownik

układ równań

koniunkcja co najmniej dwóch równań

rozwiązanie układu równań

każdy układ liczb spełniających jednocześnie każde z równań składowych w tym układzie

układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi

układ równań postaci

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik