Prezentacja multimedialna

Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną przedstawiającą zasadę rozwiązywania układu trzech równań równań liniowych z trzema niewiadomymi.

R1bLZsZpOO2cd
Slajd pierwszy przedstawia przykład pierwszy o treści: Rozwiążemy układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi: x+y+z=102x+y−3z=−7−3x−2y+3z=2. Rozwiązując układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi możemy wyznaczyć jedną z niewiadomych z dowolnego równania. W tym przykładzie wyznaczymy ją z pierwszego z równań. W pierwszym przypadku wyznaczymy niewiadomą x. Slajd drugi zawiera kontynuację przypadku pierwszego. Mając układ równań x+y+z=102x+y−3z=−7−3x−2y+3z=2.Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą x i podstawiamy otrzymane wyrażenia do obu pozostałych równań. Zatem otrzymujemy x=10−y−z210−y−z+y−3z=−7−310−y−z−2y+3z=2. Następnie wykonujemy mnożenie x=10−y−z20−2y−2z+y−3z=−7−30+3y+3z−2y+3z=2 i upraszczamy wyrażenia x=10−y−z−y−5z=−27y+6z=32. Slajd trzeci zawiera kontynuację przypadku pierwszego. Rozwiązujemy otrzymany układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Możemy zastosować metodę przeciwnych współczynników. Nasz układ równań jest następujący : -y-5z=27y+6z=32, dodajemy do siebie równania stronami i otrzymujemy z=5. Zatem z=5y+6z=32, podstawiając wartość 5 za z mamy z=5y+6⋅5=32 i ostatecznie z=5y=2. Slajd czwarty zawiera kontynuację przypadku pierwszego. Obliczone wartości dwóch niewiadomych podstawiamy do dowolnego równania początkowego układu i obliczamy wartość trzeciej niewiadomej. Nasz układ wygląda następująco x+y+z=10y=2z=5, zatem x=10−y−zy=2z=5, podstawiając wartości mamy x=10−2−5y=2z=5. Slajd piąty zawiera kontynuację przypadku pierwszego. Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb: x równe trzy, y równe dwa oraz z równe pięć. Slajd szósty zawiera drugi sposób rozwiązania układu równań: x+y+z=102x+y−3z=−7−3x−2y+3z=2W drugim przypadku wyznaczymy niewiadomą y. Slajd siódmy zawiera kontynuację przypadku drugiego. Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą y i podstawiamy otrzymane wyrażenia do obu pozostałych równań. Mamy zatem y=10−x−z2x+(10−x−z)−3z=−7−3x−2(10−x−z)+3z=2, następnie wykonujemy mnożenie y=10−x−z2x+10−x−z−3z=−7−3x−20+2x+2z+3z=2, ostatecznie nasz układ ma postać y=10−x−zx−4z=−17−x+5z=22. Slajd ósmy zawiera kontynuację przypadku drugiego. Rozwiązujemy otrzymany układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Możemy zastosować metodę przeciwnych współczynników. Nasz układ równań jest następujący : x−4z=−17−x+5z=22, dodając równania stronami otrzymujemy z=5. Teraz nasz układ równań jest następujący z=5−x+5z=22. Następnie mamy z=5−x+5⋅5=22. Ostatecznie mamy z=5x=3. Slajd dziewiąty zawiera kontynuację przypadku drugiego. Obliczone wartości dwóch niewiadomych podstawiamy do dowolnego równania początkowego układu i obliczamy wartość trzeciej niewiadomej. Nasz układ wygląda następująco x+y+z=10x=3z=5, następnie wyliczamy y y=10−x−zx=3z=5{x=3z=5 i podstawiamy wartości y=10−3−5x=3z=5{x=3z=5 i otrzymujemy y=2x=3z=5. Slajd dziesiąty zawiera kontynuację przypadku drugiego. Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb: x równe trzy, y równe dwa oraz z równe pięć. Slajd jedenasty przedstawia przypadek trzeci: x+y+z=102x+y−3z=−7−3x−2y+3z=2. W trzecim przypadku wyznaczymy niewiadomą z. Slajd dwunasty przedstawia kontynuację przypadku trzeciego. Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą z i podstawiamy otrzymane wyrażenia do obu pozostałych równań. Zatem otrzymujemy z=10−y−x2x+y−3(10−y−x)=−7−3x−2y+3(10−y−x)=2, następnie wykonujemy mnożenie z=10−y−x2x+y−30+3y+3x=−7−3x−2y+30−3y−3x=2 następnie upraszczamy wyrażenia z=10−y−x5x+4y=23−6x−5y=−28. Slajd trzynasty zawiera kontynuację przypadku trzeciego. Rozwiązujemy otrzymany układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Możemy zastosować metodę przeciwnych współczynników. Nasze równanie jest następujące 5x+4y=23−6x−5y=−28, wymnażamy pierwsze równanie stronami razy pięć, a drugie razy cztery. Następnie odejmujemy wyrażenia stronami i otrzymujemy wynik x=3. Nasz układ równań prezentuje się następująco: x=35x+4y=23, następnie podstawiamy wartości do wyrażenia x=35⋅3+4y=23 i otrzymujemy wynik x=3y=2. Slajd czternasty zawiera kontynuację przypadku trzeciego. Obliczone wartości dwóch niewiadomych podstawiamy do dowolnego równania początkowego układu i obliczamy wartość trzeciej niewiadomej. Nasz układ wygląda następująco x+y+z=10x=3y=2, następnie wyliczamy z: z=10−x−yx=3y=2, podstawiamy wartości z=10−3−2x=3y=2 i otrzymujemy z=5x=3y=2. Slajd piętnasty zawiera kontynuację przypadku trzeciego. Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb: x równe trzy, y równe dwa oraz z równe pięć.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DkOLZndhY

Polecenie 2

Rozwiąż układ równań

x+y+z=12x+y-z=6x-y+z=4

metodą przeciwnych współczynników:

  1. wyznaczając niewiadomą x z pierwszego równania;

  2. wyznaczając niewiadomą y z drugiego równania;

  3. wyznaczając niewiadomą z z trzeciego równania.

Przeczytaj
Sprawdź się