Przeczytaj

W przestrzeni rozważamy trzy podstawowe obiekty: punkt, prostą, płaszczyznę. Przez dowolne dwa punkty można poprowadzić dokładnie jedną prostą. Przez dowolne trzy niewspółliniowe punkty można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę. Problemy geometrii przestrzennej dają się często rozwiązać jako problemy planimetrii dzięki odpowiedniemu wyborowi płaszczyzny lub przekroju płaszczyznąprzekroju płaszczyzną.

Na płaszczyźnie możliwe są tylko dwa położenia dwóch prostych: proste przecinające się (w jednym punkcie) lub proste równoległe. W przestrzeni mówimy, że dwie proste przecinają się, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny. Jeśli dwie proste mają co najmniej dwa punkty wspólne, to są równe.

Płaszczyzna wyznaczona przez proste przecinające się

Własność: Płaszczyzna wyznaczona przez proste przecinające się

Dwie przecinające się proste wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę.

Dowód

Załóżmy, że proste $l$ , $k$ przecinają się w punkcie $P$ . Wtedy istnieje punkt $A$ różny od $P$ należący do prostej $l$ oraz punkt $B$ różny od $P$ należący do prostej $k$ . Nie istnieje prosta przechodząca przez wszystkie trzy punkty $A$ , $B$ , $P$ . Stąd wynika, że przez punkty $A$ , $B$ , $P$ można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę. Na tej płaszczyźnie leży prosta $l$ , bo jej dwa punkty $A$ , $P$ należą do tej płaszczyzny. Podobnie, prosta $k$ leży na tej płaszczyźnie.

Z powyższej własności wynika, że do wyznaczenia wspólnej płaszczyzny prostych przecinających się wystarczy znać punkt przecięcia prostych i po jednym punkcie z każdej prostej różnym od punktu przecięcia. Można również wyznaczyć płaszczyznę znając dwa różne punkty na jednej prostej i jeden punkt na drugiej prostej.

W przypadku prostych równoległych można było stosować aksjomat równoległości, który mówi, że dla prostej $l$ i punktu $B$ nienależącego do niej, istnieje w płaszczyźnie zawierającej prostą $l$ i punkt $B$ dokładnie jedna prosta zawierająca $B$ i niemająca punktów wspólnych z $l$ .

Zadajmy sobie pytanie, ile jest prostych przecinających prostą $l$ i zawierających punkt $B$ nienależący do niej.

Ponieważ, dla dwóch różnych punktów $A$ , $C$ na prostej $l$ można poprowadzić proste $A B$ i $C B$ i są to różne proste, to odpowiedź brzmi:

Przez prostą $l$ i punkt $B$ nienależący do niej można poprowadzić tyle prostych, ile jest punktów na prostej $l$ .

R1Y36p1IGGFaM

Znów odwołajmy się do własności prostych równoległych, która mówi, że jeśli dwie proste są równoległe do trzeciej, to są równoległe do siebie. Własność ta nie zachodzi dla prostych przecinających się. Na rysunku niebieskie proste przecinają się z różową prostą, ale nie mają punktów wspólnych, bo są równoległe.

R1NmSnUzzDAeu

Ilustracja przedstawia płaszczyznę, umieszczono na niej trzy proste. Dwie są do siebie równoległe, a trzecia przecina dwie pozostałe.

Ponieważ proste przecinające się wyznaczają jednoznacznie wspólną płaszczyznę, to możemy do nich stosować własności i pojęcia znane z planimetrii, na przykład, możemy mówić o kątach między prostymi. Między innymi możemy stosować twierdzenie Talesa i twierdzenie o prostych równoległych przeciętych trzecią prostą.

Trzy proste parami przecinające się

Własność: Trzy proste parami przecinające się

Trzy różne proste parami przecinające się w trzech parami różnych punktach leżą na jednej płaszczyźnie.

Dowód

Załóżmy, że dane są proste $k$ , $l$ , $m$ parami przecinające się. Niech $A$ będzie punktem wspólnym prostych $k$ , $l$ , $B$ punktem wspólnym prostych $k$ , $m$ , a $C$ – prostych $l$ , $m$ . Z założenia punkty $A$ , $B$ , $C$ są parami różne, więc prosta $A B = k$ , $A C = l$ , $B C = m$ .

Gdyby punkty $A$ , $B$ , $C$ leżały na jednej prostej, to mielibyśmy $k = l = m$ . Zatem punkty $A$ , $B$ , $C$ wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę i $k$ , $l$ , $m$ leżą na tej płaszczyźnie.

Przykład 1

Wyznaczymy kąt jaki tworzy krawędź boczna ostrosłupa prawidłowegoostrosłup prawidłowyostrosłupa prawidłowego czworokątnego z przekątną podstawy, jeśli wiemy, że długość boku podstawy wynosi $3 \sqrt{2}$ , a długość wysokości tego ostrosłupa wynosi $3 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie $A B C D$ i wierzchołku w punkcie $F$ . Z własności takich ostrosłupów wynika, że wszystkie krawędzie boczne mają równe długości, a spodek wysokości jest punktem przecięcia przekątnych podstawy. Możemy więc wybrać dowolną krawędź, na przykład $C F$ , i wyznaczyć dla niej wymagany kąt.

R1FrCpcsHsl8v

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie A B C D i wierzchołku w punkcie F. Przez krawędzie C F i A F przeprowadzono płaszczyznę. Zaznaczono kąt nachylenia krawędzi CF do podstawy ostrosłupa. Zaznaczono również punkt E, który jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa.

Zauważmy, że trzy proste: $C F$ zawierająca krawędź $C F$ , $A C$ zawierająca przekątną $A C$ oraz $E F$ zawierająca wysokość ostrosłupa, są parami przecinającymi się prostymi i punkty przecięcia $C$ , $E$ , $F$ są parami różne. Stąd proste te wyznaczają płaszczyznę, której przekrój z ostrosłupem tworzy trójkąt $A C F$ . Do dalszej analizy rozwiązania wystarczy rozważyć tylko trójkąt $A C F$ i jego własności znane z planimetrii.

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $A C F$ . Z własności ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynika, że $F E$ jest wysokością trójkąta równoramiennego $A C F$ , więc kąt $C E F$ jest kątem prostym, a odcinek $C E$ ma długość równą połowie długości przekątnej kwadratu $A B C D$ .

R1Fy8bOhI3rmq

Ilustracja przedstawia płaszczyznę wyciętą z wcześniej omawianego ostrosłupa. Na trójkącie A C F upuszczono wysokość z punktu F do podstawy tworząc punkt E. Kąt przy wierzchołku c ma miarę alfa.

Stąd $|F E| = 3 \sqrt{3}$ , $|C E| = \frac{3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 3$ .

Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie dostajemy $tg α = \frac{3 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ . Stąd $α = 60 °$ .

Pęk prostych

Zbiór prostych przecinających się w jednym punkcie $S$ nazywamy pękiem prostych przechodzących przez $S$ . Punkt $S$ nazywamy wierzchołkiem pęku.

Rozważmy dowolny punkt $S$ przestrzeni. Wtedy przez każdy punkt $A$ można poprowadzić prostą $A S$ . Stąd punkt $A$ należy do pęku prostych przechodzących przez $S$ i stąd cała przestrzeń jest pękiem wszystkich prostych przechodzących przez $S$ .

Przykład 2

Pokażemy, że dowolną sferę i kulę możemy wyznaczyć z pęku prostych.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że mamy sferę o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ . Wtedy każdy punkt tej sfery należy do prostej z pęku prostych o wierzchołku $O$ i jest odległy od środka o $r$ . Z drugiej strony, zbiór wszystkich punktów należących do pęku prostych o środku $O$ i odległych od środka o $r$ jest sferą o środku w $O$ i promieniu $r$ .

Analogicznie, kula o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ jest zbiorem punktów należących do pęku prostych o środku $O$ , których odległość od środka jest nie większa niż $r$ .

Rozważmy płaszczyznę $π$ i punkt $S$ leżący na tej płaszczyźnie. Wtedy dla dowolnego punktu $A$ na tej płaszczyźnie można poprowadzić $A S$ . Stąd wynika, że każdy punkt płaszczyzny należy do pęku prostych przechodzących przez $S$ . Zatem płaszczyzna $π$ jest pękiem prostych leżących na tej płaszczyźnie i przechodzących przez $S$ .

Przykład 3

Mamy na płaszczyźnie $π$ prostą $l$ i punkt $S$ nieleżący na tej prostej. Wyznaczymy na tej płaszczyźnie pęk prostych przechodzących $S$ i przecinających prostą $l$ .

Rozwiązanie:

Popatrzmy na rysunek:

R17hwzTbJkpxz

Ilustracja przedstawia płaszczyznę. Zaznaczono na niej niebieską prostą oraz punkt nienależący do prostej. Przez punkt przebiega pęk prostych: dwóch zielonych zaznaczonych linią ciągłą, zieloną zaznaczoną linią przerywaną oraz czerwoną zaznaczoną linią przerywaną, która jest równoległa do wyjściowej prostej. Zaznaczono następujące punkty: punkt przecięcia prostych, czyli pęk, punkty przecięcia dwóch zielonych prostych narysowanych linią ciągłą z niebieską prostą oraz punkt przecięcia zielonej prostej zaznaczonej linią przerywaną z niebieską prostą.

Weźmy dowolny punkt $A$ leżący na płaszczyźnie. Jeśli prosta $A S$ przecina prostą $l$ , to należy do pęku prostych przechodzących $S$ i przecinających prostą $l$ .

Jeśli prosta $A S$ nie przecina prostej $l$ , to nie należy do tego pęku.

Stąd wynika, że do pęku nie należy prosta równoległa do $l$ poprowadzona przez punkt $S$ , przy czym punkt $S$ należy do tego pęku.

Zatem pęk prostych przechodzących przez $S$ i przecinających prostą $l$ jest płaszczyzną z usuniętą prostą równoległą do $l$ poprowadzoną przez punkt $S$ oraz punkt $S$ .

Przykład 4

Mamy w przestrzeni prostą $l$ i punkt $S$ nieleżący na tej prostej. Wyznaczymy w przestrzeni pęk prostych przechodzących przez $S$ i przecinających prostą $l$ .

Rozwiązanie:

Punkt $S$ i prosta $l$ wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę i każda prosta z pęku prostych przechodzących $S$ i przecinających prostą $l$ też leży na tej płaszczyźnie.

Zatem pęk prostych przechodzących przez $S$ i przecinających prostą $l$ jest płaszczyzną wyznaczoną przez $S$ i $l$ z usuniętą prostą równoległą do $l$ poprowadzoną przez punkt $S$ oraz punkt $S$ .

Przykład 5

Przez wierzchołki $B$ i $D$ kwadratu $A B C D$ o boku $1$ poprowadzono proste przecinające się w punkcie $S$ w taki sposób, że prosta $S E$ jest prostopadła do przekątnej $A C$ kwadratu i punkt $E$ dzieli tę przekątną w stosunku $2 : 1$ . Ponadto, odcinki $B S$ i $S D$ mają długość $1$ .

Pokażemy pod jakim kątem do przekątnej $A C$ należy poprowadzić proste z wierzchołków $A$ i $C$ , żeby należały one do pęku prostych przechodzących przez $S$ (równoważnie, żeby $A B C D S$ był ostrosłupem o podstawie $A B C D$ oraz wierzchołku $S$ ). Wyznaczymy również objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

RzEtbvO8J4WsM

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie ABCD oraz wierzchołku w punkcie S. Zaznaczono przekątną A C. Wysokość upuszczono z punktu S na przekątną tworząc punkt E. Kąt przy krawędzi A S ma miarę alfa, a kąt krawędzi CS ma miarę beta.

Popatrzmy na rysunek. Jeśli wyznaczymy wymagane proste, to powstanie ostrosłup o podstawie $A B C D$ i wierzchołku $S$ , w którym $S E$ jest wysokością.

Należy więc wyznaczyć kąty $α$ i $β$ . W tym celu skorzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkątach prostokątnych $A E S$ i $C E S$ , bo odcinek $S E$ leży na prostej prostopadłej do przekątnej $A C$ . Wiemy, że $|A C| = \sqrt{2}$ , bo $A C$ jest przekątną kwadratu o boku $1$ . Ponadto, z warunków zadania wynika, że $|A E| = \frac{2}{3} |A C| = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ oraz $|C E| = \frac{1}{3} |A C| = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Chcemy teraz wyznaczyć długość odcinka $S E$ . Zauważamy, że trójkąt $S E B$ jest trójkątem prostokątnym, bo $S E$ jest wysokością ostrosłupa. Twierdzenie Pitagorasa zastosowane do tego trójkąta pozwoli wyznaczyć $|S E|$ pod warunkiem, że znamy długość $|E B|$ .

Wyznaczymy $|E B|$ korzystając z twierdzenia cosinusów zastosowanego w trójkącie $C E B$ , w którym $|C E| = \frac{\sqrt{2}}{3}$ , $|C B| = 1$ oraz $∢ B C E = 45 °$ , bo jest to kąt, jaki tworzy przekątna z bokiem kwadratu.

Zatem ${|E B|}^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{2} + 1^{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{9} + 1 - \frac{2}{3} = \frac{5}{9}$ i stąd $|E B| = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że ${|S E|}^{2} = {|S B|}^{2} - {|E B|}^{2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ , więc $|S E| = \frac{2}{3}$ .

Stąd $tg α = \frac{|S E|}{|A E|} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0, 71$ , więc po odczytaniu z tablic tangensa dostajemy $α \approx 35 °$ .

$tg β = \frac{|S E|}{|C E|} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = \sqrt{2} \approx 1, 41$ , więc po odczytaniu z tablic tangensa dostajemy $β \approx 55 °$ .

Objętość tego ostrosłupa wynosi $V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ .

Ważnym zastosowaniem pęku prostych przechodzących przez $S$ jest tworzenie figur (brył) przestrzennych.

Na płaszczyźnie mamy pewną figurę płaską, na przykład trójkąt. Ustalamy punkt $S$ , który nie leży na tej płaszczyźnie. W kolejnym kroku prowadzimy przez każdy punkt trójkąta prostą przez punkt $S$ . Uzyskany w ten sposób pęk prostych przechodzących przez $S$ tworzy nieskończoną figurę jak na rysunku.

R11VqOLB9od9L

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie trójkąta położony na płaszczyźnie. Przez wierzchołek ostrosłupa przebiega pęk prostych. Proste rozchodzą się w różne miejsca na podstawie ostrosłupa lub w przestrzeni ostrosłupa.

Na rysunku zaznaczono kilka punktów trójkąta i poprowadzono proste przez punkt $S$ .

Czerwone punkty są wierzchołkami tego trójkąta. Pęk prostych poprowadzonych przez wierzchołki (czerwone proste) i punkt $S$ utworzy krawędzie powstałej bryły.

Punkty niebieskie i czerwone leżą na bokach trójkąta, więc pęk prostych poprowadzonych przez wszystkie punkty na bokach trójkąta i punkt $S$ utworzy ściany powstałej bryły, czyli powierzchnię tej bryły.

Zielone punkty leżą we wnętrzu trójkąta. Wszystkie punkty trójkąta wyznaczają pęk prostych przechodzących przez $S$ , który stanowi całą bryłę. Zaznaczona na niebiesko część powstałej bryły jest ostrosłupem trójkątnym.

RoixFXkR4jcxP

Ilustracja przedstawia płaszczyznę, umieszczono na niej okrąg. Przez okrąg przebiega pęk prostych spotykających się w jednym punkcie. Tworzą one stożek. Niektóre punkty prostych zlokalizowane są na krawędzi okręgu, niektóre nad nim.

Na rysunku zaznaczono kilka punktów koła i poprowadzono przez te punkty i punkt $S$ leżący poza płaszczyzną, na której leży to koło.

Pęk prostych poprowadzonych przez wszystkie punkty koła i punkt $S$ utworzy uogólniony stożek, która jest sumą dwóch nieskończonych pochylonych stożków o wspólnym wierzchołku.

Można uzyskać również bryły i powierzchnie ograniczone, biorąc fragment między dwiema płaszczyznami jak na rysunku. Przedstawiony fragment jest pochylonym stożkiem ściętym.

R3U3ecZPrleQw

Ilustracja przedstawia fragment pochylonego stożka ściętego. Zaznaczono dwie płaszczyzny pierwszą w podstawie stożka, drugą w miejscu jego ścięcia. Przez krawędzie przebiegają proste przecinające się w jednym punkcie.

Ograniczając figury uzyskane wyżej w ten sposób, że punkt $S$ jest wierzchołkiem, a podstawą dana figura na płaszczyźnie dostajemy znane bryły, między innymi takie jak, stożki i ostrosłupy.

Wybierając różne płaszczyzny przekroju uogólnionego stożka wyznaczonego przez punkt i okrąg możemy w przekroju uzyskać różne krzywe, które nazywane są krzywymi stożkowymi: okrąg, elipsa, parabola, hiperbola, obszar ograniczony prostymi przecinającymi się, prosta (zobacz rysunek).

R1725pajRVcNP

Ilustracja przedstawia stożek. Umieszczono w nim różne figury. Tuż przy jego wierzchołku zaznaczono figurę. Oznaczoną jako okrąg. Poniżej, pod skosem zaznaczono elipsę. Na środku stożka zaznaczono pod skosem parabolę. W prawej dolnej krawędzi stożka zaznaczono hiperbolę.

Przy pomocy lampy możemy wykonać doświadczenie, w którym zmieniając położenie lampy spróbujemy na ścianie lub na podłodze uzyskać różne przekroje stożka.

R1ewvCcfx6eFE

Ilustracja przedstawia ciemne pomieszczenia. Na pierwszym znajduję się dywan oraz łózko, na które pada światło z lampy w kształcie walca. Druga ilustracja ukazuje lampę oświetlającą czarną ścianę. Strumień światła rozszerza się, im dalej od lampy, co przypomina stożek. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Dla zainteresowanych

Popatrzmy na kilka rysunków przedstawiających różne przekroje uogólnionego stożka płaszczyzną.

RmYw295cPswNH

Słownik

przekrój bryły płaszczyzną (przekrój płaszczyznowy)

część wspólna bryły i płaszczyzny

ostrosłup prawidłowy

ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny

Wprowadzenie

Animacja 3D

Pęk prostych

Słownik