Przeczytaj
Na początek przypomnijmy, że nie obliczamy logarytmów z liczby i liczb ujemnych, gdyż potęga (dla , ) nie przyjmuje ani wartości równej , ani wartości ujemnych.
Kilka przydatnych wzorów, wynikających bezpośrednio z definicji logarytmu.
Jeśli , i to: | ||
---|---|---|
Zapisane powyżej wzory wykorzystamy obliczając wartość wyrażenia .
Zauważmy najpierw, że
Wynika stąd, że
Wykażemy, że wartość wyrażenia jest liczbą większą od .
Zapiszemy najpierw wyrażenie w prostszej postaci.
W tym celu skorzystamy z podanych wyżej wzorów, z twierdzenia o logarytmie potęgi i twierdzenia o logarytmie ilorazu.
Wracamy do obliczania wartości wyrażenia .
Wartość wyrażenia jest równa , zatem jest większa od , co należało wykazać.
W przykładzie 2 korzystaliśmy ze wzorów, wynikających z poznanych wcześniej twierdzeń. Zapiszemy je teraz w tabelce.
Jeśli , , , , to: | ||
---|---|---|
Pokażemy teraz przykład zastosowania logarytmów do znajdowania liczb spełniających określone własności.
Zauważmy najpierw, że:
Znajdziemy wszystkie liczby spełniające warunek .
Rozważaną równość zapisujemy w postaci równoważnej.
Dzielimy obie strony równości przez .
Korzystamy z definicji logarytmu.
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną.
lub
lub
Sprawdzamy jeszcze, czy dla którejś z wyznaczonych wartości liczba logarytmowana nie jest równa .
i
Zatem obie liczby i spełniają warunki zadania.
Znajdziemy takie liczy dodatnie , które spełniają warunek .
1. Zakładamy, że .
Zapisujemy rozważaną równość w takiej postaci, aby po prawej stronie znalazło się wyrażenie .
Ponieważ i , możemy zlogarytmować obie strony równości, korzystając z logarytmu o podstawie .
Z twierdzenia o logarytmie potęgi wynika, że
Ale i , zatem
Obie strony równości są dodatnie, zatem możemy podnieść je do kwadratu.
Stąd
Zatem (co jest niemożliwe, gdyż zakładaliśmy, że ) lub .
Liczba spełnia warunki zadania, bo jest dodatnia i różna od .
2. Zakładamy, że .
Obliczamy wartość rozważanego wyrażenia dla .
Liczba spełnia więc warunki zadania.
Odpowiedź:
Podany warunek spełniają dwie liczby: i .
Udowodnimy teraz twierdzenie, które jest bardzo przydatne we wszelkiego rodzaju przekształceniach logarytmicznych.
Jeżeli , i , to:
Oznaczmy:
Z definicji logarytmu wynika, że i .
Stąd
Z twierdzenia o równości potęg wynika, że . Zatem
, czyli .
Co należało wykazać.
Znajdziemy liczbę spełniającą warunek .
Z definicji logarytmu wynika, że szukana liczba musi być dodatnia i różna od .
Przekształcamy lewą stronę równości, korzystając z poznanych wzorów.
Stąd
Ponieważ i , zatem znaleziona liczba spełnia warunki zadania.
W ostatnim przykładzie pokażemy jak wykorzystać udowodnione powyżej twierdzenie, nie uciekając się do wzoru na zamianę podstawy logarytmu.
Udowodnimy, że .
Korzystamy ze wzoru na odwrotność logarytmuodwrotność logarytmu, przekształcając lewą stronę równości.
Ponieważ , zatem .
Wynika stąd, że , co należało udowodnić.
Słownik
jeżeli , i , to: