Przeczytaj

Potęgowanie to uogólnienie mnożenia.

Potęgą o podstawie $a$ i wykładniku naturalnym dodatnim $n$ nazywamy iloczyn zbudowany z $n$ czynników, z których każdy ma wartość równą $a$ :

RiTvZkQae6qWj

Na ilustracji znajduje się równanie A do potęgi N równa się A razy A razy A razy trzy kropki razy A. A oznaczone jest jako podstawa potęgi A należy do zbioru liczb rzeczywistych. Potęga N oznaczona jest jako wykładnik potęgi N należy do zbioru liczb naturalnych bez zera. A mnożone przez siebie oznaczone są jako N czynników.

Ponadto jeśli $a$ nie jest zerem definiujemy zerową potęgę liczby $a$ i przyjmujemy, że $a^{0} = 1$ .

Ważne!

Nie definiujemy wartości wyrażenia $0^{0}$ .

W niektórych działach matematyki wygodnie jest się umówić, że wartość wyrażenia $0^{0}$ jest równa $1$ , w innych – że ta wartość to $0$ . W szkole przyjmujemy umowę, że jest to tzw. symbol nieoznaczonysymbol nieoznaczony lub wyrażenie nieoznaczonewyrażenie nieoznaczone, czyli takie którego wartości nie definiujemy.

Przykład 1

Obliczmy:

$0^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

$3^{0} = 1$

$2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

${(\sqrt{2})}^{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$

${(\sqrt[3]{5})}^{3} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{125} = 5$

Pole kwadratu o boku długości $x$ jest równe $x \cdot x = x^{2}$ , zaś objętość sześcianu o krawędzi długości $x$ to $x \cdot x \cdot x = x^{3}$ . W związku z tym wyrażenie “ $x^{2}$ ” czytamy najczęściej jako “ $x$ kwadrat”, zaś wyrażenie “ $x^{3}$ ” jako “ $x$ sześcian”.

Poniewaz rozwiązując zadania często potrzebujemy kwadratów i sześcianów liczb, warto znać na pamięć niektóre z nich lub przynajmniej je kojarzyć.

Przykład 2

Podamy kwadraty wybranych liczb naturalnych, których wartości wykraczają poza tradycyjną tabliczkę mnożenia w zakresie do stu.

Liczba naturalna $n$	Kwadrat liczby $n$
$11$	$11^{2} = 11 \cdot 11 = 121$
$12$	$12^{2} = 12 \cdot 12 = 144$
$13$	$13^{2} = 13 \cdot 13 = 169$
$14$	$14^{2} = 14 \cdot 14 = 196$
$15$	$15^{2} = 15 \cdot 15 = 225$
$16$	$16^{2} = 16 \cdot 16 = 256$
$17$	$17^{2} = 17 \cdot 17 = 289$
$18$	$18^{2} = 18 \cdot 18 = 324$
$19$	$19^{2} = 19 \cdot 19 = 361$
$21$	$21^{2} = 21 \cdot 21 = 441$
$22$	$22^{2} = 22 \cdot 22 = 484$
$23$	$23^{2} = 23 \cdot 23 = 529$
$24$	$24^{2} = 24 \cdot 24 = 576$
$25$	$25^{2} = 25 \cdot 25 = 625$
$26$	$26^{2} = 26 \cdot 26 = 676$
$27$	$27^{2} = 27 \cdot 27 = 729$
$28$	$28^{2} = 28 \cdot 28 = 784$
$29$	$29^{2} = 29 \cdot 29 = 841$
$31$	$31^{2} = 31 \cdot 31 = 961$

Przykład 3

Podamy sześciany wybranych liczb naturalnych.

Liczba naturalna $n$	Sześcian liczby naturalnej $n$
$0$	$0^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
$1$	$1^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
$2$	$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$3$	$3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
$4$	$4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
$5$	$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$6$	$6^{3} = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
$7$	$7^{3} = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$
$8$	$8^{3} = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$
$9$	$9^{3} = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$

Przykład 4

W zadaniach związanych z informatyką przydają się również potęgi liczby $2$ .

Potęga liczby $2$	Wartość potęgi
$2^{0}$	$1$
$2^{1}$	$2$
$2^{2}$	$4$
$2^{3}$	$8$
$2^{4}$	$16$
$2^{5}$	$32$
$2^{6}$	$64$
$2^{7}$	$128$
$2^{8}$	$256$
$2^{9}$	$512$
$2^{10}$	$1024$

Przykład 5

Wykonamy mnożenie potęg o tych samych podstawach:

$5^{3} \cdot 5^{4} = (5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{7}$

${(\frac{2}{3})}^{2} \cdot {(\frac{2}{3})}^{5} = [(\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3})] \cdot [(\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3})] =$

$= (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{7}$

Jeśli $a$ nie jest równe zeru, możemy zauważyć, że dla dowolnych liczb naturalnych $k$ i $m$ zachodzi:

a^{k} \cdot a^{m} = \underset{k c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot . . . \cdot a)} \cdot} \underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{(a \cdot a \cdot . . . \cdot a)}} = \underset{k + m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a}} = a^{k + m}

Zatem iloczyn potęg o tej samej podstawie $a$ jest równy potędze o podstawie $a$ i wykładniku równym sumie wykładników mnożonych czynników.

Przykład 6

Wykonamy dzielenie potęg o tych samych podstawach:

$\frac{6^{7}}{6^{3}} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{1} = 6^{4}$

$\frac{{0,2}^{6}}{0, 2^{4}} = \frac{0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2}{0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2} = \frac{0,2 \cdot 0,2}{1} = 0, 2^{2}$

Jeśli $a$ nie jest równe zeru, możemy zauważyć, że dla dowolnych liczb naturalnych $k$ i $m$ zachodzi:

\frac{a^{k}}{a^{m}} = \frac{\overset{k c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a \cdot a}}}{\underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}} = \frac{\overset{k - m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{a \cdot . . . \cdot a}}}{1} = a^{k - m}

Powyższe rozumowanie przeprowadziliśmy przy założeniu, że $k \geq m$ , ale po omówieniu potęg o wykładniku ujemnym przekonamy się, że reguła jest prawdziwa również w przypadku, gdy $k < m$ .

Zatem iloraz potęg o tej samej podstawie $a$ jest równy potędze o podstawie $a$ i wykładniku równym różnicy wykładników mnożonych czynników.

Przykład 7

Wykonamy mnożenie potęg o takich samych wykładnikach:

$2^{4} \cdot 3^{4} = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) = {(2 \cdot 3)}^{4} = 6^{4}$

${(\frac{3}{4})}^{5} \cdot {(\frac{4}{5})}^{5} = (\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}) =$

$= (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) = {(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5})}^{5} = {(\frac{3}{5})}^{5}$

Jeśli $a$ i $b$ nie są równe zeru, możemy zauważyć, że dla dowolnej liczby naturalnej $m$ zachodzi:

a^{m} \cdot b^{m} = \underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{(a \cdot . . . \cdot a)} \cdot} \underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{(b \cdot . . . \cdot b)}} = \underset{m n a w i a s ó w}{\underset{⏟}{(a \cdot b) \cdot . . . \cdot (a \cdot b)}} = {(a \cdot b)}^{m}

Zatem iloczyn potęg o tym samym wykładniku i podstawach różnych od zera jest równy potędze o podstawie będącej iloczynem podstaw czynników oraz wykładniku równym wykładnikowi czynników.

Przykład 8

Wykonamy dzielenie potęg o takich samych wykładnikach:

$\frac{2^{4}}{3^{4}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = {(\frac{2}{3})}^{4}$

$\frac{{0,1}^{3}}{{0,4}^{3}} = \frac{0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1}{0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4} = \frac{0,1}{0,4} \cdot \frac{0,1}{0,4} \cdot \frac{0,1}{0,4} = {(\frac{0,1}{0,4})}^{3}$

Jeśli $a$ i $b$ nie są równe zeru, możemy zauważyć, że dla dowolnej liczby naturalnej $m$ zachodzi:

\frac{a^{m}}{b^{m}} = \frac{\overset{m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}}{\underset{m c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}}} = \overset{m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot . . . \cdot \frac{a}{b}}} = {(\frac{a}{b})}^{m}

Zatem iloraz potęg o tym samym wykładniku i podstawach różnych od zera jest równy potędze o podstawie będącej ilorazem podstaw czynników oraz wykładniku równym wykładnikowi czynników.

Przykład 9

Rozważymy potęgę o podstawie również będącej potęgą:

${(3^{2})}^{5} = 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) =$

$= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{10}$

${(7^{3})}^{4} = 7^{3} \cdot 7^{3} \cdot 7^{3} \cdot 7^{3} = (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) =$

$= 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{12}$

Jeśli $a$ jest liczbą różną od zera, możemy zauważyć, że dla dowolnych liczb naturalnych $k$ i $m$ zachodzi:

{(a^{m})}^{k} = \underset{k c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a^{m} \cdot . . . \cdot a^{m}}} = \underset{k n a w i a s ó w}{\underset{⏟}{\overset{m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{(a \cdot . . . \cdot a)}} \cdot . . . \cdot \overset{m c z y n n i k ó w}{\overset{⏞}{(a \cdot . . . \cdot a)}}}} = \underset{m \cdot k c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a \cdot . . . \cdot a \cdot . . . \cdot a \cdot . . . \cdot a}} = a^{m \cdot k}

Zatem potęga o wykładniku naturalnympotęga o wykładniku naturalnympotęga o wykładniku naturalnym $k$ potęgi o wykładniku $m$ niezerowej liczby $a$ jest równa potędze liczby $a$ o wykładniku równym iloczynowi wykładników $k$ i $m$ .

Przykład 10

Rozważmy jeszcze kilka przykładów:

$2^{3} + 2^{3} = 2 \cdot 2^{3} = 2^{4}$

$3^{4} + 3^{4} + 3^{4} = 3 \cdot 3^{4} = 3^{5}$

$5^{6} + 2 \cdot 5^{6} + 2 \cdot 5^{6} = 5^{6} \cdot (1 + 2 + 2) = 5^{6} \cdot 5 = 5^{7}$

$6^{5} - 6^{4} = 6 \cdot 6^{4} - 6^{4} = 6^{4} \cdot (6 - 1) = 5 \cdot 6^{4}$

Słownik

potęga o wykładniku naturalnym

potęgą o podstawie $a$ i wykładniku będącym liczbą naturalną $n$ nazywamy wyrażenie $a^{n} = \underset{n c z y n n i k ó w}{\underset{⏟}{a \cdot . . . \cdot a}}$ dla $n > 1$ ; jeśli $n = 1$ , przyjmujemy $a^{1} = a$ ; jeśli $a \neq 0$ , przyjmujemy $a^{0} = 0$ ; nie definiujemy wartości wyrażenia $0^{0}$

symbol nieoznaczony / wyrażenie nieoznaczone

wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego; próby przypisania wartości takiemu wyrażeniu kończą się uzyskaniem sprzeczności

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik