Przeczytaj
Na początek przypomnienie najważniejszych pojęć i wzorów, związanych z ciągiem geometrycznym.
Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg , jest określony dla i .
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę , zwaną ilorazem ciągu.
Ciąg geometryczny | ||
---|---|---|
Wyraz ogólny ciągu | Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu | Suma początkowych wyrazów ciągu |
W pierwszym przykładzie pokażemy, że znając sumę kilku wyrazów ciągu geometrycznego, pierwszy wyraz i iloraz ciągu, można określić ile wyrazów dodano.
Dany jest ciąg geometrycznyciąg geometryczny taki, że . Iloraz ciągu jest równy . Dodano kilka początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu i otrzymano . Ile wyrazów dodano?
Oznaczmy:
– liczba wyrazów, które dodano (, ),
– iloraz ciągu.
Podstawiamy dane wynikające z treści zadania do wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Dzielimy obie strony równania przez i wyznaczamy .
Odpowiedź:
Dodano pięć wyrazów ciągu.
Zauważ, że w rozpatrywanym wyżej przykładzie, można było znaleźć kolejne wyrazy ciągu i dodawać je tak długo, aż otrzymamy . Jednak w przypadku dużej liczby wyrazów sumy, taka procedura jest pracochłonna i znacznie prościej jest korzystać z odpowiednich wzorów.
Teraz podobny, ale trudniejszy przykład, w którym teoretycznie też, moglibyśmy ograniczyć się do znalezienia kolejnych wyrazów ciągu („od tyłu”). Ale nie wiemy ile operacji dzielenia i dodawania musielibyśmy wykonać, więc ponownie skorzystamy z przydatnych wzorów.
Obliczymy pierwszy wyraz i liczbę wyrazów ciągu geometrycznego , w którym , i iloraz ciągu .
Korzystamy ze wzoru na –ty wyraz ciągu geometrycznego i ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego – otrzymujemy układ równań.
Obie strony pierwszego równania mnożymy przez , a obie strony drugiego równania przez .
Z pierwszego równania wyznaczamy i wstawiamy do drugiego równania.
Przekształcamy drugie równanie i wyznaczamy .
Znamy już liczbę wyrazów, które dodawaliśmy – liczba jest liczbą naturalną dodatnią, więc spełnia warunki zadania. Wyznaczymy pierwszy wyraz ciągu.
Odpowiedź:
Pierwszy wyraz ciągu jest równy . Dodawano wyrazów tego ciągu.
W kolejnym przykładzie na podstawie znanych wyrazów ciągu, znajdziemy sumę ciągu.
Piąty wyraz rosnącego ciągu geometrycznego jest równy , a siódmy jest równy . Wyznaczymy sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Oznaczmy:
– piąty wyraz rozważanego ciągu,
– siódmy wyraz ciągu,
– suma pierwszych pięciu wyrazów ciągu.
Zauważmy, że . Zatem:
lub
Ponieważ ciąg ma być rosnący, zatem .
Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.
Obliczamy sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu.
Odpowiedź:
Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu jest równa .
Pokażemy, jak znając dwie sumy kilku wyrazów ciągu geometrycznego, można znaleźć wzór ogólny tego ciągu i jego wyrazy.
Dany jest malejący ciąg geometrycznyciąg geometryczny sześciowyrazowy. Suma trzech pierwszych wyrazów jest równa , a suma trzech końcowych wyrazów jest ośmiokrotnie mniejsza. Znajdziemy wyraz ogólny ciągu i obliczymy wszystkie wyrazy tego ciągu.
Oznaczmy:
, , , – kolejne wyrazy ciągu.
Na podstawie treści zadnia możemy zapiać, że
i
Wynika stąd, że .
Teraz możemy zapisać odpowiedni układ równań, korzystając ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Ponieważ ciąg jest malejący, zatem .
i
Dzielimy stronami drugie z otrzymanych równań przez pierwsze.
Skracamy ułamki i korzystamy z tego, że .
Znajdujemy teraz pierwszy wyraz ciągu.
Zapisujemy wzór ogólny ciągu: , gdy .
Kolejne wyrazy ciągu to: , , , , , .
Równanie, które teraz rozwiążemy, może wydawać się dość trudne. Jednak rozumowanie, które przeprowadzimy, będzie podobne do tych, stosowanych w poprzednich przykładach.
Rozwiążemy równanie wiedząc, że lewa strona równania jest sumą kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Na podstawie treści zadania wnioskujemy, że liczby
są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy , a iloraz
Liczba jest sumą kolejnych wyrazów tego ciągu. Ustalimy ilu.
Zapisujemy lewą stronę równania, korzystając ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Obliczyliśmy, że lewa strona równania jest sumą dziesięciu wyrazów ciągu. Zatem to dziesiąty wyraz tego ciągu. Czyli
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest liczba .
Słownik
ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę , zwaną ilorazem ciągu