Dwumetrowy drut wyginamy tak, by otrzymać prostokątną ramkę. W jaki sposób powinniśmy to zrobić, jeżeli chcemy, aby otrzymany prostokąt miał jak największe pole, a w jaki, jeżeli chcemy, by pole było możliwie najmniejsze?

Jeżeli jeden z boków otrzymanych po wygięciu oznaczymy przez $x$, to otrzymamy sytuację jak na rysunku poniżej.

RYRN5M3m0kxES

Ilustracja przedstawia prostokąt o bokach x oraz 1 odjąć x.

Oczywiście, długości $x$ warte rozważania to te z przedziału $\left(0,1\right)$. Każdej długości $x$ przyporządkujmy więc pole prostokąta o boku $x$. Otrzymamy wówczas funkcję $f\left(x\right)=x\left(1-x\right)$, $x\in \left(0,1\right)$, której wykres ma postać:

RGxVxPy8xZXwg

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 0,1 do 1 oraz z pionową osią od minus 0,1 do 0,3, przy czym na obu osiach podziałka jest co jedną dziesiątą. W pierwszej ćwiartce narysowano łuk ograniczony dwoma niezamalowanymi punktami: $\left(0;0\right)$ oraz $\left(1;0\right)$. Najwyższej położony punkt łuku to punkt $\left(0,5;0,2\right)$.

Nietrudno zauważyć, że funkcja $f$ osiąga największą wartość dla $x=\frac{1}{2}$, wówczas $1-x=\frac{1}{2}$. Zatem, aby zapewnić największe pole rozważanej konstrukcji, należy zbudować kwadrat o boku $0,5$ metra.

$x=\frac{1}{2}$ jest bokiem zapewniającym największe pole rozważanej konstrukcji. Można to też wyznaczyć algebraicznie licząc odciętą wierzchołka paraboli: $p=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}$.

Nie istnieje jednak długość boku, dla której otrzymany prostokąt miałby możliwie najmniejsze pole. Tym samym drugi z problemów nie posiada rozwiązania.

Niech funkcja $f:⟨-1,1⟩⟶\mathrm{ℝ}$ będzie dana wzorem

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+1,& \mathrm{gdy} x\in \left.⟨-1,0\right)\\ 0,& \mathrm{gdy} x=0\\ x-1,& \mathrm{gdy} x\in \left(0,1\right.⟩\end{array}\right.$.

Wówczas wykres funkcji przedstawia się następująco:

RDBUF7yFyJWGQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z dwóch ukośnych odcinków i punktu. Pierwszy z odcinków ma lewy koniec w niezamalowanym punkcie $\left(-1;0\right)$ i z prawej strony ograniczony jest niezamalowanym punktem $\left(0;1\right)$. Druga składowa wykresu to zamalowany punkt o współrzędnych $\left(0;1\right)$. Trzecia składowa wykresu funkcji to ukośny odcinek od lewej strony ograniczony niezamalowanym punktem $\left(0;-1\right)$, a jego prawy koniec znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(1;0\right)$.

W konsekwencji $f$ nie ma tak największej jak i najmniejszej wartości.

Niech funkcja $f:⟨0,\infty )⟶\mathrm{ℝ}$ będzie dana wzorem $f\left(x\right)=\frac{x\sin x}{x+1}$.

Biorąc ciągi $\left(a_n\right)$ i $\left(b_n\right)$ określone wzorami

$a_n=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ oraz $b_n=\frac{3\pi }{2}+2\pi n$

otrzymamy

$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(a_n\right)=1$ oraz $\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(b_n\right)=-1$.

Z drugiej strony, dla każdego $x\in \left.⟨0,\infty \right)$ mamy

$\left|f\left(x\right)\right|=\left|\frac{x\sin x}{x+1}\right|\le \left|\frac{x}{x+1}\right|<1$,

a więc wartości $-1$ i $1$ nie mogą być przyjmowane w żadnym punkcie dziedziny. Można to także zauważyć na podstawie wykresu.

R1TjTWmtHaGGr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do 4 pi oraz z pionową osią od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano część sinusoidy w dziedzinie $⟨0;+\infty )$, przy czym linią przerywaną narysowano dwie poziome proste wskazujące na zakres wartości funkcji. Są to proste określone równaniami $y=-1$ oraz $y=1$.

Powyższe przykłady mogą stanowić pomoc w zapamiętaniu wszystkich założeń twierdzenia Weierstrassa.

Mówimy, że funkcja $f:X⟶\mathrm{ℝ}$ osiąga wartość $c$ gdy istnieje takie $x\in X$, że $f\left(x\right)=c$.

Każda funkcja ciągłafunkcja ciągłafunkcja ciągła określona na domkniętym i ograniczonym odcinku osiąga wartość najmniejszą i największą.

RK1nZMw7HFGs9

Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano kawałek nieregularnie pofalowanej krzywej, biegnącej od punktu a do punktu b. Punkty krańcowe zrzutowano na oś X. Dodatkowo na płaszczyźnie narysowano linią przerywaną dwie poziome proste wyznaczające zakres wartości funkcji. Wyróżniono kolorem punkt położony najniżej i zrzutowano go na oś X, oznaczając go jako $x_{\min }$. Zaznaczono również punkt położony najwyżej, który również zrzutowano na oś X i oznaczono go jako $x_{\max }$.

Niech $f:⟨a,b⟩⟶\mathrm{ℝ}$ będzie funkcją ciągłą. Wówczas istnieją takie $x_{\min },x_{\max }\in ⟨a,b⟩$, że dla każdego $x\in ⟨a,b⟩$ zachodzi $f\left(x_{\min }\right)\le f\left(x\right)$ oraz $f\left(x_{\max }\right)\ge f\left(x\right)$.

Niech funkcja $f:⟨0,6\pi ⟩⟶\mathrm{ℝ}$ będzie dana wzorem $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$.

RHZVf80U5eEle

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do 7 pi oraz z pionową osią od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano część sinusoidy w dziedzinie $⟨0;6\pi ⟩$.

Z wykresu bez trudu otrzymujemy, że argumentami minimum są $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{2}$ i $\frac{11\pi }{2}$. Z kolei $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$ i $\frac{9\pi }{2}$ są argumentami maksimum funkcji $f$.

taki argument funkcji $f$, dla którego funkcja ta osiąga najmniejszą wartość ze zbioru wartości

taki argument funkcji $f$, dla którego funkcja ta osiąga największą wartość ze zbioru wartości

funkcja spełniająca jeden z równoważnych warunków ciągłości (Cauchy'ego lub Heinego)