Zależność przytoczoną we wprowadzeniu można wyrazić za pomocą wzoru: , gdzie czas jest mierzony w sekundach, a wysokość w metrach (przyjęliśmy tutaj, że przyśpieszenie ziemskie wynosi , w rzeczywistości wielkość ta jest minimalnie mniejsza).
Z powyższego wzoru możemy się dowiedzieć, że na przykład po upływie dwóch sekund od upuszczenia kamienia jego wysokość nad ziemią (wyrażona w metrach) będzie równa: .
Przykład 1
RiRhWkSBcDZI51
Na wykresie obok przedstawiono, jak w zależności od czasu (mierzonego w dniach) zmienia się w pewnej próbce liczba atomów polonu . Początkowo jest ich około tysiąca. Następnie, co pewien czas, kolejne atomy polonu ulegają rozpadowi tak, że ich liczba maleje. Z wykresu możemy na przykład odczytać, ile jest atomów polonu po dniach. Wykreślamy pionową prostą, która przecina oś czasu w punkcie i wykres w dokładnie jednym punkcie . Następnie przez punkt prowadzimy prostą poziomą, która przecina oś liczby atomów w punkcie około . W ten sposób odczytujemy, że po upływie dni w próbce będzie około atomów polonu .
We wprowadzeniu oraz w powyższym przykładzie każdej liczbie (czasowi) z pewnego przedziału została przypisana dokładnie jedna liczba (wysokość kamienia nad powierzchnią ziemi we wprowadzeniu, liczba atomów polonu w przykładzie wyżej). Możemy zatem powiedzieć, że w tych przykładach określono pewne funkcje.
Funkcja ze zbioru w zbiór
FunkcjąFunkcja ze zbioru w zbiór Funkcją ze zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie jednego elementu zbioru . Zbiór nazywamy dziedziną funkcji , a elementy tego zbioru argumentami funkcji .
Uwaga! Jeśli pewnemu argumentowi ze zbioru została przyporządkowana wartość ze zbioru , to mówimy, że funkcja przyjmuje wartość dla argumentu i zapisujemy ten fakt wzorem .
Funkcje można określać w różny sposób. Czasem łatwiej jest to zrobić za pomocą opisu słownego, grafu, diagramu czy tabeli, a czasami bardziej użyteczne jest podanie wzoru funkcji lub narysowanie jej wykresu.
Przykład 2
W tabeli poniżej przedstawiono dane, opisujące, ile procent wśród ryb złowionych w pewnym włoskim porcie w latach 1914‑1918, stanowiły ryby drapieżne.
Rpq0UweTJILNS
Każdemu elementowi ze zbioru: jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba ze zbioru: .
Przyporządkowanie to jest zatem funkcją. Zbiorem argumentów tej funkcji jest zbiór , natomiast zbiorem wartości - zbiór . Określoną w powyższej tabeli funkcję możemy także przedstawić za pomocą diagramu lub grafu.
RMFP9sy77XvUN
Przykład 3
R11m8cW6Kg75o1
Kosmonauta podczas pobytu na Księżycu upuszcza kamień z wysokości nad powierzchnią Księżyca. Możemy powiedzieć, że wysokość (mierzona w metrach), na jakiej znajduje się kamień, po upływie czasu (mierzonego w sekundach) jest z dobrym przybliżeniem równa: .
Wzór definiuje zatem funkcję o nieujemnych wartościach określoną na przedziale . Każda liczba z przedziału jest argumentem funkcji , a każda liczba z przedziału - wartością tej funkcji.
Na poniższym wykresie przedstawiono zależność pomiędzy wysokością i czasem . Z wykresu możemy odczytać, że po upływie półtorej sekundy od upuszczenia kamienia będzie się on znajdował nieco ponad trzy metry nad powierzchnią Księżyca. Wartość dokładną możemy znaleźć, korzystając ze wzoru: .
R7uOhAevAipcS
Ciekawostka
Wykres funkcji, której argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste, to zbiór tych punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest argumentem funkcji, a druga współrzędna - wartością funkcji dla tego argumentu.
Pokazaliśmy dotąd kilka przykładów przyporządkowań, które są funkcjami. Jednak nie każde przyporządkowanie, nie każdy graf i nie każdy wykres określają funkcję.
Ciekawostka
Graf na rysunku poniżej nie określa żadnej funkcji, ponieważ liczbie został przyporządkowany więcej niż jeden element.
RNgVdgJfQf5C7
Ciekawostka
Przedstawiona na rysunku poniżej krzywa (okrąg) nie jest wykresem funkcji, ponieważ każdej liczbie z przedziału został przyporządkowany więcej niż jeden element.
RmG7HO76xcNB9
Ciekawostka
Przyporządkowanie angielskim królom ich żon nie jest funkcją, gdyż na przykład Henrykowi VIII musielibyśmy przyporządkować aż elementów ze zbioru żon.
RmLKIWpDbSW6t
Przykład 4
Przedstaw w postaci tabeli i na wykresie funkcję , która każdej liczbie ze zbioru przypisuje sumę jej cyfr. Jaki jest zbiór wartości tej funkcji?
Na początku stwórzmy tabelę.
RzRwCFRjZKvdt
Korzystając z tabeli, rysujemy wykres.
Rd2Yv8qzoxMJx
Odpowiedź: Zbiorem wartości funkcji jest zbiór .
Przykład 5
Na zdjęciu poniżej przedstawiono ceny za nocleg w pewnym schronisku. Funkcja każdej liczbie naturalnej przypisuje cenę za noclegów w tym schronisku. Podaj wzór funkcji .
R1d91LNivCBCd
Obliczmy wartości funkcji dla kilku początkowych liczb naturalnych: , , , .
Zauważamy, że: , gdyż spośród noclegów za pierwszy płacimy zł, a za każdy spośród pozostałych noclegów po zł.
Odpowiedź: Szukany wzór to , gdzie jest liczbą naturalną dodatnią.
Przykład 6
Funkcja o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych jest dana za pomocą wzoru . Jaki jest największy zbiór argumentów, dla których funkcja jest określona?
Aby pierwiastek był poprawnie określony, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, zatem .
Odpowiedź: Szukanym zbiorem jest przedział .
Przykład 7
Funkcja każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje sumę wszystkich jej naturalnych dzielników. Oblicz oraz .
Naturalnymi dzielnikami liczby są liczby , , oraz . Otrzymujemy zatem: .
Naturalnymi dzielnikami liczby są liczby , , oraz , a więc: .
Odpowiedź: Szukane wartości funkcji to oraz .
Przykład 8
R1SNROB1kF1jM1
W kwadracie o boku długości wybieramy na boku punkt różny od punktów oraz . Funkcja przypisuje danej długości odcinka długość odcinka . Podaj wzór funkcji i określ jej dziedzinę.
Na mocy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie : .
Oznaczmy przez długość odcinka . Wtedy , zatem: .
Dziedzina funkcji - według opisu sytuacji z zadania - to przedział , gdyż punkt musi leżeć na odcinku i być różny od jego końców.
Odpowiedź: Funkcję opisuje wzór . Jej dziedzina to przedział .
Słownik
Funkcja ze zbioru w zbiór
Funkcja ze zbioru w zbiór
Funkcją ze zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie jednego elementu zbioru . Zbiór nazywamy dziedziną funkcji , a elementy tego zbioru argumentami funkcji .