RiRhWkSBcDZI51

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią reprezentującą czas z wartościami od zera do 700 z podziałką co 100 i pionową osią reprezentującą liczbę atomów z wartościami od zera do 1000 z podziałką co sto. W układzie zaznaczono wykres rozpoczynający się w punkcie nawias zero średnik tysiąc zamkniecie nawiasu i biegnący po łuku przez punkt nawias sto średnik sześćset zamknięcie nawiasu, biegnie przez punkt A, którego pierwsza współrzędna ma wartość 200 a druga ma wartość pomiędzy 300 i czterysta. Dalej wykres biegnie po łuku i wypłaszcza się przy osi poziomej w okolicach wartości czasu równej 700. Przez punkt A przechodzi pionowa i pozioma prosta namalowana linią przerywaną.

Na wykresie obok przedstawiono, jak w zależności od czasu (mierzonego w dniach) zmienia się w pewnej próbce liczba atomów polonu $210$. Początkowo jest ich około tysiąca. Następnie, co pewien czas, kolejne atomy polonu ulegają rozpadowi tak, że ich liczba maleje. Z wykresu możemy na przykład odczytać, ile jest atomów polonu po $200$ dniach. Wykreślamy pionową prostą, która przecina oś czasu w punkcie $200$ i wykres w dokładnie jednym punkcie $A$. Następnie przez punkt $A$ prowadzimy prostą poziomą, która przecina oś liczby atomów w punkcie około $370$. W ten sposób odczytujemy, że po upływie $200$ dni w próbce będzie około $370$ atomów polonu $210$.

W tabeli poniżej przedstawiono dane, opisujące, ile procent wśród ryb złowionych w pewnym włoskim porcie w latach 1914‑1918, stanowiły ryby drapieżne.

Rpq0UweTJILNS

Ilustracja przedstawia tabelę z dwoma wierszami i sześcioma kolumnami. W pierwszej kolumnie pierwszego wiersza znajduje się napis: Rok nawias A zamknięcie nawiasu, w drugiej kolumnie tego wiersza mamy zapis: 1914, w trzeciej: 1915, w czwartej: 1916, w piątej: 1917 i w szóstej tysiąc dziewięćset osiemnaście. W pierwszej kolumnie drugiego wiersza mamy zapis: Procent nawias B zamknięcie nawiasu, w drugiej kolumnie zapisano liczbę: 12, w trzeciej: 21, w czwartej: 22, w piątej: 21 i w szóstej: trzydzieści sześć.

Każdemu elementowi ze zbioru: $A=\left\{1914,1915,1916,1917,1918\right\}$ jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba ze zbioru: $B=\left\{12,21,22,36\right\}$.

Przyporządkowanie to jest zatem funkcją. Zbiorem argumentów tej funkcji jest zbiór $A$, natomiast zbiorem wartości - zbiór $B$. Określoną w powyższej tabeli funkcję możemy także przedstawić za pomocą diagramu lub grafu.

RMFP9sy77XvUN

Ilustracja przedstawia wykres słupkowy oraz jego interpretację przedstawioną w formie dwóch zbiorów. Pozioma oś wykresu przedstawia wartości: 1914, 1915, 1916, 1917, 1918, pionowa oś wykresu przedstawia wartości od 0 do 40 z podziałką co dziesięć. Słupek przy liczbie 1914 sięga powyżej liczby 10. Słupek przy liczbie 1915 sięga niewiele powyżej liczby 20. Słupek przy liczbie 1916 jest niewiele wyższy od poprzedniego. Słupek przy liczbie 1917 jest taki sam jak przy liczbie 1915. Słupek przy liczbie 1918 sięga powyżej trzydziestu. Obok wykresu znajdują się dwa zbiory, zbiór A oraz zbiór B, które mają kształt pionowych elips . W zbiorze A znajdują się liczby: 1914, 1915, 1916, 1917, 1918, w zbiorze B znajdują się liczby: 12, 21, 22, oraz trzydzieści sześć. Poszczególne elementy zbiorów są połączone ze sobą za pomocą strzałek. Liczba 1914 jest połączona z liczbą 12. Liczba 1915 jest połączona z liczbą 21. Liczba 1916 jest połączona z liczbą 22. Liczba 1917 jest połączona z liczbą 21. Liczba 1918 jest połączona z liczbą trzydzieści sześć.

R11m8cW6Kg75o1

Zdjęcie przedstawia kosmonautę w skafandrze, który chodzi po księżycu.

Kosmonauta podczas pobytu na Księżycu upuszcza kamień z wysokości $5 \mathrm{m}$ nad powierzchnią Księżyca. Możemy powiedzieć, że wysokość $h\left(t\right)$ (mierzona w metrach), na jakiej znajduje się kamień, po upływie czasu $t$ (mierzonego w sekundach) jest z dobrym przybliżeniem równa: $h\left(t\right)=5-0,8t^2$.

Wzór definiuje zatem funkcję $h$ o nieujemnych wartościach określoną na przedziale $⟨0;2,5⟩$. Każda liczba $t$ z przedziału $⟨0;2,5⟩$ jest argumentem funkcji $h$, a każda liczba z przedziału $⟨0;5⟩$ - wartością tej funkcji.

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność pomiędzy wysokością $h$ i czasem $t$. Z wykresu możemy odczytać, że po upływie półtorej sekundy od upuszczenia kamienia będzie się on znajdował nieco ponad trzy metry nad powierzchnią Księżyca. Wartość dokładną możemy znaleźć, korzystając ze wzoru: $h\left(1,5\right)=5-0,8·2,25=5-1,8=3,2$.

R7uOhAevAipcS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią t od zera do czterech i pionową osią h od zera do pięciu. W układzie zaznaczono wykres, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias zero średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie po łuku do punktu znajdującego się na osi t pomiędzy wartościami 2 i trzy. W układzie linią przerywaną zaznaczono poziomą półprostą, która rozpoczyna się na osi h pomiędzy wartością 4 i pięć. Pionowa półprosta rozpoczyna się na osi t pomiędzy wartościami 1 i dwa. Półproste przecinają się na linii wykresu i punkt ten podpisano $h\left(t\right)$.

Przedstaw w postaci tabeli i na wykresie funkcję $f$, która każdej liczbie ze zbioru $\left\{10,11,12,13,14\right\}$ przypisuje sumę jej cyfr. Jaki jest zbiór wartości tej funkcji?

Na początku stwórzmy tabelę.

RzRwCFRjZKvdt

Ilustracja przedstawia tabelę z dwoma wierszami i sześcioma kolumnami. W pierwszej kolumnie pierwszego wiersza znajduje się litera x, w drugiej kolumnie tego wiersza mamy liczbę: 10, w trzeciej: 11, w czwartej: 12, w piątej: 13i w szóstej czternaście. W pierwszej kolumnie drugiego wiersza mamy zapis: $f\left(x\right)$, w drugiej kolumnie zapisano liczbę: 1, w trzeciej: 2, w czwartej: 3, w piątej: 4i w szóstej: pięć.

Korzystając z tabeli, rysujemy wykres.

Rd2Yv8qzoxMJx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od 0 do 14 i pionową osią y od 0 do pięć. W układzie zaznaczono pięć punktów, ich współrzędne to: nawias dziesięć średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias jedenaście średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias dwanaście średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias trzynaście średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias czternaście średnik pięć zamknięcie nawiasu.

Odpowiedź: Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $\left\{1,2,3,4,5\right\}$.

Na zdjęciu poniżej przedstawiono ceny za nocleg w pewnym schronisku. Funkcja $f$ każdej liczbie naturalnej $n=1,2,3,\dots$ przypisuje cenę za $n$ noclegów w tym schronisku. Podaj wzór funkcji $f$.

R1d91LNivCBCd

Zdjęcie przedstawia drewniany dom w górach, przed którym znajduje się tabliczka z napisem: noclegi, pierwsza doba 30 PLN, druga doba i następne 25 PLN.

Obliczmy wartości funkcji $f$ dla kilku początkowych liczb naturalnych: $f\left(1\right)=30$, $f\left(2\right)=30+25$, $f\left(3\right)=30+2·25$, $f\left(4\right)=30+3·25$.

Zauważamy, że: $f\left(n\right)=30+\left(n-1\right)·25$, gdyż spośród $n$ noclegów za pierwszy płacimy $30$ zł, a za każdy spośród $n-1$ pozostałych noclegów po $25$ zł.

Odpowiedź: Szukany wzór to $f\left(n\right)=30+\left(n-1\right)·25$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną dodatnią.

Funkcja $f$ o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych jest dana za pomocą wzoru $f\left(x\right)=\sqrt{x}$. Jaki jest największy zbiór argumentów, dla których  funkcja $f$ jest określona?

Aby pierwiastek był poprawnie określony, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, zatem $x\ge 0$.

Odpowiedź: Szukanym zbiorem jest przedział $\left.⟨0;+\infty \right)$.

Funkcja $h$ każdej  liczbie naturalnej $n$ przyporządkowuje sumę wszystkich jej naturalnych dzielników. Oblicz $h\left(6\right)$ oraz $h\left(10\right)$.

Naturalnymi dzielnikami liczby $6$ są liczby $1$, $2$, $3$ oraz $6$. Otrzymujemy zatem: $h\left(6\right)=1+2+3+6=12$.

Naturalnymi dzielnikami liczby $10$ są liczby $1$, $2$, $5$ oraz $10$, a więc: $h\left(10\right)=1+2+5+10=18$.

Odpowiedź: Szukane wartości funkcji to $h\left(6\right)=12$ oraz $h\left(10\right)=18$.

R1SNROB1kF1jM1

Ilustracja przedstawia kwadrat A B C D, na boku AE zaznaczono kolorem odcinek AE, przy czym punkt E znajduje się pomiędzy punktem A i B, długość odcinka AE podpisano literą x. W kwadracie zaznaczono również odcinek EC.

W kwadracie $ABCD$ o boku długości $1$ wybieramy na boku $AB$ punkt $E$ różny od punktów $A$ oraz $B$. Funkcja $f$ przypisuje danej długości odcinka $AE$ długość odcinka $EC$. Podaj wzór funkcji $f$ i określ jej dziedzinę.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $EBC$: $\left|EC\right|=\sqrt{1+\left|EB\right|{}^2}$.

Oznaczmy przez $x$ długość odcinka $AE$. Wtedy $\left|EB\right|=1-x$, zatem: $f\left(x\right)=\sqrt{1+\left(1-x\right){}^2}=\sqrt{1+1-2x+x^2}=\sqrt{2-2x+x^2}$.

Dziedzina funkcji $f$ - według opisu sytuacji z zadania - to przedział $\left(0;1\right)$, gdyż punkt $E$ musi leżeć na odcinku $AB$ i być różny od jego końców.

Odpowiedź: Funkcję $f$ opisuje wzór $f\left(x\right)=\sqrt{2-2x+x^2}$. Jej dziedzina to przedział $\left(0;1\right)$.

Funkcją $f$ ze zbioru $A$ w zbiór $B$ nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru $A$ dokładnie jednego elementu zbioru $B$. Zbiór $A$ nazywamy dziedziną funkcji $f$, a elementy tego zbioru argumentami funkcji $f$.