Pojęcie ciągłości rozważaliśmy do tej pory w nieco ogólniejszej sytuacji, gdy funkcja była określona na dowolnym zbiorze . Ponieważ pojęcie różniczkowalności jest już nieco bardziej wymagające, przytoczymy znane definicje w formach odpowiednich do dalszych rozważań.
ciągłość
Definicja: ciągłość
Funkcję nazywamy ciągłą w punkcie
, gdy granica funkcji w punkcie istnieje i wynosi ,
, gdy granica prawostronna funkcji w punkcie istnieje i wynosi ,
, gdy granica lewostronna funkcji w punkcie istnieje i wynosi .
różniczkowalość
Definicja: różniczkowalość
Niech będzie funkcją. Wówczas
pochodną funkcji w punkcie nazywamy liczbę (o ile istnieje)
,
pochodną funkcji w punkcie nazywamy liczbę (o ile istnieje)
,
pochodną funkcji w punkcie nazywamy liczbę (o ile istnieje)
.
Mówimy, że funkcja jest różniczowalna w punkcie , gdy ma w tym punkcie pochodną
Przypominamy, że funkcję nazywamy ciągłą, gdy jest ciągła w każdym punkcie oraz różniczkowalną, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie.
Nietrudno dostrzec podobieństwo pomiędzy różniczkowalnością i ciągłością. Granice pojawiające się w obu przypadkach nasuwają słuszny wniosek, że pojęcia te są silnie powiązane. Kluczową zależność przedstawia twierdzenie poniżej.
warunek konieczny różniczkowalności
Twierdzenie: warunek konieczny różniczkowalności
Jeżeli funkcja jest różniczkowalnafunkcja różniczkowalnaróżniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągłafunkcja ciągłaciągła.
Dowód
Skupimy się na sytuacji, gdy . Załóżmy, że jest różniczkowalna w . Wtedy
.
Przekształcając dalej mamy , a więc granica funkcji w punkcie istnieje i wynosi . Dowody przypdków oraz są analogiczne.
Przykład 1
Korzystając z powyższego twierdzenia, możemy bardzo łatwo wykazać, że funkcja dana wzorem
nie jest różniczkowalna w punkcie , gdyż nie jest w tym punkcie ciągła. Brak ciągłości wynika z bezpośredniego rachunku wartości granicy lewostronnej w punkcie i wartości funkcji w tym punkcie, czyli
, choć można to zauważyć po prostu rysując wykres funkcji.
R1cAImYX7BIRT
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus siedmiu do czterech oraz z pionową osią od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z dwóch części. Na przedziale otwartym od minus nieskończoności do zera wykres jest kosinusoidą, natomiast na przedziale lewostronnie domkniętym od zera do plus nieskończoności wykres funkcji jest parabolą o wierzchołku w początku układu współrzędnych i o prawym ramieniu skierowanym do góry.
Należy pamiętać, że różniczkowalność jest jedynie warunkiem koniecznym ciągłości. Oznacza to, że aby funkcja była różniczkowalna w danym punkcie konieczne jest, by była w nim ciągła. Nie jest to jednak warunek wystarczający, a więc aby funkcja była w danym punkcie różniczkowalna nie wystarczy, by była w nim ciągła. Pokazuje to kolejny przykład.
Przykład 2
Niech będzie dana wzorem . Łatwo zauważyć, że funkcja jest ciągłafunkcja ciągłaciągła jako złożenie dwóch funkcji ciągłych. Pokażemy, że nie jest ona różniczkowalna w punkcie .
Spróbujmy policzyć pochodną prawostronną
Otrzymujemy, że pochodna w punkcie nie istnieje, gdyż nie istnieje pochodna prawostronna. Można to także wywnioskować z wykresu funkcji.
R1dVvhsPXatVX
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono krzywą będącą wykresem funkcji pierwiastkowej i odbito ją symetrycznie względem osi .
Jest jasne, że funkcja nie posiada pochodnej w punkcie .
Istnieją zatem funkcje ciągłe, które nie posiadają pochodnej w pewnym punkcie. Można skonstruować jednak nieco bardziej wyrafinowany przykład.
Przykład 3
Konstrukcję rozpoczniemy od znalezienia funkcji ciągłej , która ma nieskończenie wiele punktów, w których nie jest różniczkowalnafunkcja różniczkowalnaróżniczkowalna. Wystarczy przyjąć . Funkcja ta jest oczywiście ciągła jako złożenie funkcji ciągłych.
R1B5pLrf1vqpT
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus trzech drugich pi do dwóch pi oraz z pionową osią od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono sinusoidę odbitą względem osi , co oznacza, że funkcja przyjmuje wartości z zakresu od zera do jeden.
Z wykresu funkcji łatwo zauważyć, że pochodna funkcji nie istnieje dla żadnego punktu , . Funkcja jest zatem funkcją ciągłą, która nie posiada pochodnej w nieskończenie wielu punktach swojej dziedziny.
Spróbujmy teraz 'ścisnąć' ten wykres do zera. Posłuży nam do tego funkcja , . Aby uniknąć problemów w punkcie , zdefiniujemy funkcję następująco:
RXo078FOkT7cx
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus jeden do dwóch oraz z pionową osią od zera do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji w polu jeden na jeden. Przy zerze funkcja jest gęsto upakowanym zygzakiem oscylującym wokół wartości od zera do jeden. Mniej więcej dla argumentu jedna czwarta wykres przestaje się ściskać, dla argumentu około jedna trzecia ma ostatni "wyskok" od wartości zero do jeden, dalej krzywa zaokrągla się i dla argumentów większych, niż jedna druga, funkcja łagodnie maleje.
Wówczas jest funkcją ograniczoną i ciągłą. Nie posiada ona jednak pochodnej w nieskończenie wielu punktach przedziału . Zbiór punktów, w których nie posiada pochodnej jest bowiem postaci .
Zauważmy, że funkcja ma jeszcze jedną własność, którą warto by było poprawić. Granica prawostronna w punkcie nie istnieje. Problemy z różniczkowalnością tej funkcji są również związane z otoczeniem punktu . Przyjmijmy zatem, że funckja i dana jest wzorem
.
Sprawdzenie ciągłości funkcji w punktach i nie jest trudne. Nietrudno też wykazać, że funkcja nie posiada pochodnej w punkcie . Otrzymujemy
Granica powyższego wyrażenia, gdy nie istnieje. Nie istnieje więc także pochodna w punkcie . Analogicznie wykazujemy, że funkcja jest nieróżniczkowalna w . Wykres funkcji przedstawia się następująco
RUHPL84JT4HtB
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus jeden do dwóch oraz z pionową osią od zera do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji, który na przedziale od minus nieskończoności do zera pokrywa się z osią . Dalej od zera do około jednej trzeciej wykres przyjmuje postać zagęszczonego poziomego zygzaka o wartościach od zera do około jednej czwartej. Następnie dla argumentów większych od około jednej trzeciej funkcja przyjmuje postać zaokrąglonej krzywej, jest rosnąca. Na przedziale jeden plus nieskończoność funkcja jest stała i przyjmuje wartość około .
Ostatecznie udało się skonstruować funkcję ciągłą, która jest nieróżniczkowalna w nieskończenie wielu punktach przedziału . Z drugiej strony, funkcja jest także różniczkowalna w nieskończenie wielu punktach.
Nasunąć się może trudne pytanie: Czy istnieje funkcja ciągła, która nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie swojej dziedziny?
Ciekawostka
Odpowiedź na to pytanie jest o dziwo pozytywna. Jej uargumentowanie wykracza jednak w znacznym stopniu poza ramy matematyki licealnej. Postaramy się jednak w miarę przystępny sposób pokazać jak może być skonstruowana funkcja o wspomnianych własnościach.
Takimi są na przykład funkcje Weierstrassa.
Dla każdej liczby naturalnej określamy funkcję daną wzorem
Możemy teraz przyjąć następująco .
Okazuje się, że dla każdego , jest zbieżnym ciągiem liczbowym. Definiujemy dla każdego . Funkcja jest ciągła. Nie jest jednak różniczkowalna w żadnym punkcie. Widać, że narysowanie dokładnego wykresu funkcji nie jest możliwe. Możemy jednak narysować wykresy funkcji . Stanowią one niedokładne, ale oddające charakter, przybliżenie funkcji .
REn4IBeZgOPaY
Ilustracja interaktywna przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus jeden i dwie dziesiąte do jeden oraz z pionową osią od minus trzech do trzech. Pod ilustracją umieszczony jest suwak, którym można wybrać wartość dla . Wartości do wyboru wynoszą od jeden do pięć i są liczbami naturalnymi. 1. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy o okresie około . Wtedy funkcja przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus . 2. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka. Zygzak ten ma okres około . Wtedy funkcja przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus . 3. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka gęściej upakowanego, niż dla . Zygzak ten ma okres około . Funkcja ta przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus . 4. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka gęściej upakowanego, niż dla . Zygzak ten ma okres około . Funkcja ta przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus . 5. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka gęściej upakowanego, niż dla . Zygzak ten ma okres około . Funkcja ta przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus .
Ilustracja interaktywna przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus jeden i dwie dziesiąte do jeden oraz z pionową osią od minus trzech do trzech. Pod ilustracją umieszczony jest suwak, którym można wybrać wartość dla . Wartości do wyboru wynoszą od jeden do pięć i są liczbami naturalnymi. 1. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy o okresie około . Wtedy funkcja przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus . 2. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka. Zygzak ten ma okres około . Wtedy funkcja przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus . 3. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka gęściej upakowanego, niż dla . Zygzak ten ma okres około . Funkcja ta przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus . 4. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka gęściej upakowanego, niż dla . Zygzak ten ma okres około . Funkcja ta przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus . 5. Dla wartości wykres funkcji przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka gęściej upakowanego, niż dla . Zygzak ten ma okres około . Funkcja ta przyjmuje postać: . Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus .
Powyższy przykład jest jedną z funkcji Weierstrassa. Karl Weierstrass (1815‑1897) opublikował w roku 1886 pracę, w której wykazał, że jeżeli weźmiemy dowolne , oraz , to postępując jak wyżej otrzymamy zawsze funkcję ciągłą, która nie ma pochodnej w żadnym punkcie swojej dziedziny. Wykazanie tego faktu nie jest łatwe, zaś jeszcze na przełomie XVIII i XIX wieku część środowiska matematycznego była przekonana, że wszędzie nieróżniczkowalne funkcje ciągłe nie istnieją.
Słownik
funkcja ciągła
funkcja ciągła
funkcja, która jest ciągła w każdym punkcie dziedziny
funkcja różniczkowalna
funkcja różniczkowalna
funkcja, która jest różniczkowalna w każdym punkcie dziedziny