Przeczytaj

Przypomnijmy definicję oraz wzory dotyczące graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Definicja: Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są prostokątami, nazywamy graniastosłupem prawidłowym czworokątnym.

RdNrgjJpjP1Cy

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. Krawędzie podstawy oznaczono literą a, natomiast krawędź boczną literą h.

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przy oznaczeniach z rysunku wyraża się wzorem:

P = 2 \cdot a^{2} + 4 \cdot a \cdot h

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wyraża się wzorem:

V = a^{2} \cdot h

Przekrojem bryły płaszczyznąprzekrój bryły płaszczyznąPrzekrojem bryły płaszczyzną nazywamy figurę, która jest częścią wspólną bryły i płaszczyzny przecinającej tą bryłę.

Przekroje, jakie możemy wyznaczyć w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym.

1. Trójkąt

Jeżeli przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkąt, to wśród wierzchołków trójkąta znajduje się jeden, dwa lub trzy wierzchołki graniastosłupa lub też nie znajduje się żaden wierzchołek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego – przy czym, jeśli są to dwa wierzchołki, to nie są one końcami tej samej krawędzi graniastosłupa.

R1CRsw6YN8Zo4

Ilustracja przedstawia cztery graniastosłupy prawidłowe czworokątne. W pierwszym z nich znajduje się przekrój o kształcie trójkąta, którego wierzchołkami są dwa wierzchołki dolnej podstawy i jeden wierzchołek górnej podstawy. Boki tego trójkąta to: przekątna dolnej podstawy i przekątne ścian bocznych. W drugim graniastosłupie również znajduje się przekrój w kształcie trójkąta, jego dwa wierzchołki znajdują się na krawędziach dolnej podstawy a jeden na krawędzi bocznej, jego dwa boki zawierają się w ścianach bocznych a jeden leży w płaszczyźnie dolnej podstawy. W trzecim graniastosłupie również znajduje się przekrój w kształcie trójkąta. Jego jeden wierzchołek pokrywa się z wierzchołkiem dolnej podstawy, a dwa wierzchołki leżą na sąsiadujących krawędziach górnej podstawy. Dwa boki trójkąta zawierają się w ścianach bocznych, a jeden leży w płaszczyźnie górnej podstawy. W ostatnim graniastosłupie też znajduje się trójkątny przekrój. Jego jeden wierzchołek pokrywa się z wierzchołkiem górnej podstawy, drugi pokrywa się z wierzchołkiem dolnej podstawy a trzeci leży na krawędzi dolnej podstawy. Jeden z boków trójkąta zawiera się w podstawie graniastosłupa, drugi w ścianie bocznej, a trzeci jest przekątną ściany bocznej.

2. Prostokąt

Przekrój w kształcie prostokąta otrzymamy przecinając graniastosłup prawidłowy czworokątny płaszczyzną prostopadłą do ściany graniastosłupa.

RT2r15Zqv3Mc9

Ilustracja przedstawia trzy graniastosłupy prawidłowe czworokątne. W pierwszym z nich znajduje się przekrój o kształcie prostokąta. Dwa wierzchołki tego przekroju leżą na sąsiadujących krawędziach dolnej podstawy, a dwa na sąsiadujących krawędziach górnej podstawy. Dwa boki prostokąta zawierzają się w płaszczyznach ścian bocznych, trzeci bok leży w płaszczyźnie dolnej podstawy, a czwarty w płaszczyźnie górnej podstawy. W drugim graniastosłupie znajduje się prostokątny przekrój, którego dwa wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami dolnej podstawy, a dwa leżą na naprzeciwległej ścianie bocznej. Jeden z boków pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy, a reszta boków leży w płaszczyźnie ścian bocznych. W trzecim graniastosłupie również zaznaczono prostokątny przekrój. Wierzchołki tego prostokąta leza na krawędziach górnej i dolnej podstawy. Dwa boki lezą w płaszczyźnie ścian bocznych, jeden bok w płaszczyźnie górnej podstawy i jeden bok w płaszczyźnie dolnej podstawy.

3. Równoległobok

Przekrój czworokątny graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego po dwa wierzchołki znajdują się na równoległych ścianach, jest równoległobokiem.

R1HY5HKd8UkHE

Ilustracja przedstawia dwa graniastosłupy prawidłowe czworokątne. W pierwszym z nich znajduje się przekrój o kształcie równoległoboku. Jeden z wierzchołków pokrywa się z wierzchołkiem dolnej podstawy, drugi wierzchołek pokrywa się z wierzchołkiem górnej podstawy leżącym po przekątnej. Trzeci wierzchołek leży na krawędzi dolnej podstawy, a czwarty na naprzeciwległej krawędzi górnej podstawy. Dwa boki leżą w płaszczyźnie naprzeciwległych ścian bocznych, jeden z nich leży w płaszczyźnie dolnej podstawy, a ostatni leży w płaszczyźnie górnej podstawy. W drugim graniastosłupie dwa wierzchołki równoległoboku lezą na naprzeciwległych krawędziach dolnej podstawy, a dwa na naprzeciwległych krawędziach górnej podstawy. Dwa boki prostokąta leżą w płaszczyznach ścian bocznych , jeden w płaszczyźnie dolnej podstawy, a drugi w płaszczyźnie górnej podstawy.

4. Trapez

Przekrój czworokątny graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego dokładnie jedna para boków leży na równoległych ścianach, jest trapezem, który nie jest równoległobokiem.

RiowMifP5bzfI

Ilustracja przedstawia dwa graniastosłupy prawidłowe czworokątne. W pierwszym z nich znajduje się przekrój o kształcie trapezu. Wierzchołki dłuższej podstawy trapezu pokrywają się z wierzchołkami dolnej podstawy, a wierzchołki krótszej podstawy leżą na sąsiadujących ścianach bocznych. Dolna podstawa trapezu jest przekątną dolnej podstawy graniastosłupa. Górna podstawa trapezu leży w płaszczyźnie górnej podstawy. Ramiona trapezu leżą w płaszczyźnie ścian bocznych. W drugim graniastosłupie również znajduje się przekrój w kształcie trapezu. Wierzchołki krótszej podstawy lezą na sąsiadujących krawędziach dolnej podstawy, jeden z wierzchołków dłuższej podstawy trapezu pokrywa się z jednym z wierzchołków górnej podstawy graniastosłupa, drugi wierzchołek leży na krawędzi górnej podstawy. Krótsza podstawa trapezu leży w płaszczyźnie dolnej podstawy graniastosłupa, dłuższa podstawa leży w płaszczyźnie górnej podstawy graniastosłupa, ramiona trapezu pokrywają się ze ścianami bocznymi graniastosłupa.

Aby przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego był czworokątem, co najmniej jedna para boków tego przekroju musi leżeć na płaszczyznach równoległych. Przecięcie dwóch ścian równoległych trzecią płaszczyzną daje dwa równoległe boki przekroju. Zatem każdy przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego w kształcie czworokąta jest trapezem.

Istnieją także przekroje graniastosłupa prawidłowego czworokątnego będące pięciokątami oraz sześciokątami.

W poniższych przykładach obliczymy lub wykorzystamy do obliczeń pola powierzchni figur, otrzymanych w wyniku przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

Przykład 1

Obliczymy pole przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątne przeciwległych ścian bocznych, jeżeli wiadomo, że pole podstawy graniastosłupa jest równe $18$ , a ściana boczna ma obwód równy $16 \sqrt{2}$ .

Rozwiązanie

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, jego przekrój oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RuxZz4c5mGHEG

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie prostokąta. Dwie krawędzie przekroju są przekątnymi ścian bocznych graniastosłupa i podpisano je literą x. Jeden bok pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy, a drugi pokrywa się z krawędzią górnej podstawy.

Narysowany przekrój graniastosłupa jest prostokątem.

Ponieważ pole podstawy graniastosłupa jest równe $18$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a^{2} = 18$

Zatem $a = 3 \sqrt{2}$ .

Jeżeli obwód ściany bocznej graniastosłupa jest równy $16 \sqrt{2}$ , to do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$16 \sqrt{2} = 2 \cdot 3 \sqrt{2} + 2 \cdot h$

$2 h = 10 \sqrt{2} \Rightarrow h = 5 \sqrt{2}$

Jeżeli $x$ jest długością przekątnej ściany bocznej graniastosłupa, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} = a^{2} + h^{2}$

$x^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}$

$x^{2} = 18 + 50 = 68 \Rightarrow x = \sqrt{68} = 2 \sqrt{17}$

Ponieważ przekrój graniastosłupa jest prostokątem o bokach długości $3 \sqrt{2}$ i $2 \sqrt{17}$ , zatem jego pole wynosi:

$P = 3 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{17} = 6 \sqrt{34}$ .

Przykład 2

Przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i przekątną ściany bocznej jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości $14$ i polu równym $84 \sqrt{3}$ . Obliczymy pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RoMXCqtg1yK9S

Jeżeli $h$ jest długością wysokości przekroju graniastosłupa, to do wyznaczenia wartości $h$ wykorzystamy wzór na pole trójkąta:

$84 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h$

Wobec tego $h = 12 \sqrt{3}$ .

Do wyznaczenia wartości $y$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$y^{2} = {(\frac{1}{2} \cdot 14)}^{2} + {(12 \sqrt{3})}^{2}$

$y^{2} = 49 + 432 = 481 \Rightarrow y = \sqrt{481}$

Ponieważ podstawa jest kwadratem, zatem $14 = a \sqrt{2}$ .

Wobec tego $a = 7 \sqrt{2}$ .

Długość krawędzi bocznej $b$ obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$y^{2} = a^{2} + b^{2}$

${(\sqrt{481})}^{2} = {(7 \sqrt{2})}^{2} + b^{2}$

$481 = 98 + b^{2}$

$b^{2} = 383 \Rightarrow b = \sqrt{383}$

Długość krawędzi bocznej $b$ można też obliczyć z trójkąta, utworzonego z wysokości przekroju, połowy przekątnej podstawy i krawędzi bocznej.

Zatem pole powierzchni bocznej rozpatrywanego graniastosłupa wynosi:

$P = 4 \cdot a \cdot b = 4 \cdot 7 \sqrt{2} \cdot \sqrt{383} = 28 \sqrt{766}$ .

Przykład 3

Obliczymy pole przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przecinającą przeciwległe krawędzie boczne, jeżeli wiadomo, że płaszczyzna ta jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem $60 °$ , krawędź boczna ma długość $8$ , a objętość graniastosłupa wynosi $224$ .

Rozwiązanie

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

RhTvUcbbaY8Ja

Przekrój jest prostokątem o bokach $a$ oraz $x$ .

Jeżeli $a$ jest długością krawędzi podstawy graniastosłupa, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa:

$V = a^{2} \cdot h$

$224 = a^{2} \cdot 8$

$a^{2} = 28 \Rightarrow a = 2 \sqrt{7}$

Do wyznaczenia wartości $x$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny:

R1DGFZSM0CmK8

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, jedna z jego przyprostokątnych jest podpisana literą a, jego przyprostokątna jest podpisana literą x. Kąt pomiędzy ramieniem a i ramieniem x ma miarę 60 stopni.

Zatem $x = 2 \cdot a = 2 \cdot 2 \sqrt{7} = 4 \sqrt{7}$ .

Wobec tego pole rozpatrywanego przekroju jest równe:

$P = 2 \sqrt{7} \cdot 4 \sqrt{7} = 8 \cdot 7 = 56$ .

Przykład 4

Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ są środkami krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, jak na poniższym rysunku. Krawędź boczna graniastosłupa jest $2$ razy dłuższa od krawędzi podstawy równej $a$ . Obliczymy pole otrzymanego przekroju graniastosłupa.

R1YipL99CqDCG

Rozwiązanie

Z zadania wynika, że $h = 2 a$ .

Wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

RfzwJmiSUUISp

Przekrojem jest sześciokąt $A B C D E F$ .

Zauważmy, że $|A B| = |E D| = y$ oraz $|A F| = |B C| = |C D| = |F E| = x$ .

Do wyznaczenia wartości $x$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny:

RRyNV0H6gDa7M

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna w tym trójkącie jest podpisana literą x, pionowa przyprostokątna jest podpisana literą a, a pozioma jest podpisana 12a.

Zatem:

$x^{2} = {(\frac{1}{2} a)}^{2} + a^{2} = \frac{1}{4} a^{2} + a^{2} = \frac{5}{4} a^{2}$

$x = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Do wyznaczenia wartości $y$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny:

RJPCDh7QW84v8

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna w tym trójkącie jest podpisana literą y, pionowa przyprostokątna jest podpisana 12a, pozioma jest podpisana 12a. Kąt pomiędzy przyprostokątną i przeciwprostokątną ma miarę 45 stopni.

Zatem:

$y^{2} = {(\frac{1}{2} a)}^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2} = \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a^{2} = \frac{1}{2} a^{2}$

$y = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Obliczamy pole powierzchni sześciokąta, będącego przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:

R1JEzBxLqSe8t

Ilustracja przedstawia sześciokąt, którego poziome boki podpisane są literą y, a ukośne boki podpisane są literą x. W sześciokącie zaznaczono poziomy odcinek dzielący figurę na dwa trapezy, ma on długość a2. W jednym z powstałych trapezów zaznaczono wysokości, jedną z wysokości podpisano literą h. Odcinek pomiędzy spodkiem wysokości a bliższym ramieniem trapezu podpisano literą c.

Zauważmy, że $c = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

Do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + c^{2} = x^{2}$

$h^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{4})}^{2} = {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2}$

$h^{2} + \frac{a^{2}}{8} = \frac{5 a^{2}}{4}$

$h^{2} = \frac{9}{8} a^{2} \Rightarrow h = \frac{3 \sqrt{2}}{4} a$

Wobec tego pole sześciokąta jest równe:

$P = 2 \cdot \frac{a \sqrt{2} + y}{2} \cdot h = (a \sqrt{2} + \frac{a \sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{4} a =$

$= \frac{3 \sqrt{2}}{2} a \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{4} a = \frac{9}{4} a^{2}$ .

Przykład 5

Przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyznąprzekrój bryły płaszczyznąpłaszczyzną przechodzącą przez przekątne jego podstaw jest prostokątem, w którym stosunek długości boku zawartego w podstawie graniastosłupa do drugiego boku wynosi $2 : 3$ , a jego pole jest równe $P$ . Wyznaczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RrNmumboTWjsX

Z treści zadania wynika, że:

$d = 2 x$ oraz $h = 3 x$

Korzystając z tego, że stosunek długości boków otrzymanego prostokąta wynosi $2 : 3$ , a jego pole jest równe $P$ , do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$2 x \cdot 3 x = P$

$6 x^{2} = P$

$x^{2} = \frac{P}{6} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{P}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6 P}}{6}$

Korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu, rozwiązujemy równanie:

$2 \cdot \frac{\sqrt{6 P}}{6} = a \sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{\sqrt{3 P}}{3}$

Wobec tego:

$h = 3 \cdot \frac{\sqrt{6 P}}{6} = \frac{\sqrt{6 P}}{2}$

Zatem pole powierzchni całkowitej rozpatrywanego graniastosłupa jest równe:

$P_{c} = 2 \cdot {(\frac{\sqrt{3 P}}{3})}^{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3 P}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6 P}}{2} = 2 \cdot \frac{3 P}{9} + 2 \sqrt{2} P = \frac{2}{3} P + 2 \sqrt{2} P$ .

Przykład 6

Graniastosłup prawidłowy czworokątny $A B C D E F G H$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną dolnej podstawy i odcinek $K L$ łączący środki krawędzi górnej podstawy. Obliczymy pole powierzchni tego przekroju, jeżeli krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $a$ , a wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.

RD3gZRIk5K5yH

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o wierzchołkach A B C D E F G H. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano 2a. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie trapezu. Dłuższa podstawa trapezu AC jest przekątną dolnej podstawy, krótsza podstawa trapezu KL leży w płaszczyźnie górnej podstawy, przy czym punkt K leży na krawędzi EH, a punkt L leży na krawędzi GH. Odcinki: EK, HK, HL i LG mają długość 12a.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku jest trapez równoramienny $A C L K$ .

Narysujmy ten trapez i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RGtB2e8C9PJVq

Ilustracja przedstawia trapez A C K L. Z wierzchołka K na podstawę AC opuszczono wysokość. Odcinek pomiędzy wysokością a punktem A podpisano literą t. Podstawę AC podpisano literą x. Odcinki AK i CL podpisano literą z. Podstawa Kl ma długość y.

Przyjmując oznaczenia z rysunku graniastosłupa prawidłowego czworokątnego mamy:

$x = a \sqrt{2}$

$y = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$t = \frac{a \sqrt{2}}{4}$

$z^{2} = {(2 a)}^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2} = 4 a^{2} + \frac{1}{4} a^{2} = \frac{17}{4} a^{2}$

Wobec tego, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość wysokości $h$ :

$h^{2} = z^{2} - t^{2}$

$h^{2} = \frac{17}{4} a^{2} - \frac{2}{16} a^{2} = \frac{33}{8} a^{2}$

Zatem $h = \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{8}} a = \frac{\sqrt{66}}{4} a$ .

Jeżeli $P$ jest polem powierzchni trapezu, będącego przekrojem rozpatrywanego graniastosłupa, to:

$P = \frac{a \sqrt{2} + \frac{a \sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{66}}{4} a = \frac{3 \sqrt{2}}{4} a \cdot \frac{\sqrt{66}}{4} a = \frac{3 \sqrt{33}}{8} a^{2}$

Słownik

przekrój bryły płaszczyzną

figura, będąca częścią wspólną bryły oraz płaszczyzny tnącej

Wprowadzenie

Animacja 3D

Słownik