Oblicz:

a) $\sin 120°$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $120°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Promień wodzący punktupromień wodzący punktuPromień wodzący punktu $M$ jest równy $1$ (nie zastanawiaj się za długo, dlaczego akurat $1$ – równie dobrze mógłby to być dowolny inny punkt). Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\frac{1}{2}, \left|OP\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}\right)$. Zatem $\sin 120°=\frac{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

RviQj9N09Qrrs

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na pierwszej i drugiej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem stu dwudziestu stopni (kąt między dodatnią półosią OX a półprostą). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z dodatnią półosią O Y – jest to kąt o mierze trzydziestu stopni. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych minus jedna druga, pierwiastek z trzech drugich. Z punktu M poprowadzony jest poziomy odcinek M P prostopadły do osi Y, przy czym punkt P ma współrzędne zero, pierwiastek z trzech przez dwa, co oznacza, że leży na osi Y. W ten sposób powstaje trójkąt, którego podstawa leży na dodatniej półosi O Y i ma długość pierwiastek z trzech na dwa, czyli taką, jak druga współrzędna punktu M. Jest to bok trójkąta prostokątnego o długości jedna druga, czyli równej pierwszej współrzędnej punktu M. Odcinek O M ma więc długość 1. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 60 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na dodatniej półosi O Y oraz wcześniej wspomniany kąt 30 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus ze stu dwudziestu stopni wynosi pierwiastek z trzech przez dwa podzielić na jeden, czyli pierwiastek z dwóch przez dwa.

b) $\sin 225°$

Spójrzmy na rysunek poniżej. W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $225°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową kwadratu, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{2}$, $\left|OP\right|=\sqrt{2}$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$. Zatem $\sin 225°=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

RxKjX0BbAzzp6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem dwustu dwudziestu pięciu stopni (kąt między dodatnią półosią OX a półprostą, przechodzący przez pierwszą, drugą i trzecią ćwiartkę). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z ujemną półosią O X – jest to kąt o mierze czterdziestu pięciu stopni. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych minus pierwiastek z dwóch, minus pierwiastek z dwóch. Z punktu M poprowadzony jest pionowy odcinek M P prostopadły do osi X, przy czym punkt P ma współrzędne minus pierwiastek z dwóch, zero, co oznacza, że punkt ten leży na osi X. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa leży na ujemnej półosi O X i ma ona długość pierwiastek z dwóch, czyli taką, jak moduł z pierwszej współrzędnej punktu M, ponieważ odległości z założenia są nieujemne. Odcinek M P to bok trójkąta prostokątnego o długości pierwiastek z dwóch, czyli równej modułowi drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek O M ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 45 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na ujemnej półosi O X oraz wcześniej wspomniany kąt 45 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z dwustu dwudziestu pięciu stopni wynosi minus pierwiastek z dwóch podzielić na dwa.

c) $\sin 330°$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $330°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{3}, \left|OP\right|=1$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(\sqrt{3},-1\right)$. Zatem $\sin 330°=-\frac{1}{2}$.

R11Z2ovuMofeO

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem trzystu trzydziestu stopni (kąt między dodatnią półosią OX a półprostą, przechodzący przez pierwszą, drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z ujemną półosią O Y – jest to kąt o mierze sześćdziesięciu stopni. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych pierwiastek z trzech, minus 1. Z punktu M poprowadzony jest poziomy odcinek M P prostopadły do Y, przy czym punkt P ma współrzędne zero, minus 1. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa to odcinek M P od długości pierwiastek z trzech, czyli takiej, jak pierwsza współrzędna punktu M. Odcinek O P jest lewym pionowym bokiem trójkąta prostokątnego o długości 1, czyli równej modułowi drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek O M ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 30 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na ujemnej półosi O X oraz wcześniej wspomniany kąt 60 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z trzystu trzydziestu stopni wynosi minus jedna druga.

Oblicz:

a) $\sin \left(-60°\right)$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-60°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=\sqrt{3}, \left|OP\right|=1$.

Wobec tego współrzędne punktu M to $\left(1,-\sqrt{3}\right)$. Zatem $\sin \left(-60°\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

R1QSskKmiQv7H

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem minus sześćdziesięciu stopni (kąt między dodatnią półosią OX a półprostą, przechodzący przez czwartą ćwiartkę). Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych 1, minus pierwiastek z trzech. Z punktu M poprowadzony jest pionowy odcinek M P prostopadły do osi X, przy czym punkt P ma współrzędne 1, zero. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa to leżący na osi X odcinek O P od długości 1, czyli takiej, jak pierwsza współrzędna punktu M. Odcinek M P jest prawym pionowym bokiem trójkąta prostokątnego o długości pierwiastek z trzech, czyli równej modułowi drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek M O ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 30 stopni między odcinkiem M O a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na dodatniej półosi O X oraz wcześniej wspomniany kąt 60 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z minus sześćdziesięciu stopni wynosi minus pierwiastek z trzech przez dwa.

b) $\sin \left(-150°\right)$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-150°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=1, \left|OP\right|=\sqrt{3}$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{3},-1\right)$. Zatem $\sin \left(-150°\right)=-\frac{1}{2}$.

RG36vyEzQReRp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem minus stu pięćdziesięciu stopni (kąt między dodatnią półosią O X a półprostą, przechodzący przez czwartą i trzecią ćwiartkę). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z ujemną półosią O X – jest to kąt o mierze trzydziestu stopni i znajduje się on w trzeciej ćwiartce. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych minus pierwiastek z trzech, minus 1. Z punktu M poprowadzony jest pionowy odcinek M P prostopadły do osi X, przy czym punkt P ma współrzędne minus pierwiastek z trzech, zero, co oznacza, że punkt ten leży na osi X. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa leży na ujemnej półosi O X i ma ona długość pierwiastek z trzech, czyli taką, jak moduł z pierwszej współrzędnej punktu M. Odcinek M P to lewy bok trójkąta prostokątnego o długości 1, czyli równej modułowi drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek O M ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 60 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na ujemnej półosi O X oraz wcześniej wspomniany kąt 30 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z minus stu pięćdziesięciu stopni wynosi minus jedna druga.

c) $\sin \left(-210°\right)$

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $-210°$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$. Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$. Wówczas trójkąt $MOP$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $\left|MP\right|=1, \left|OP\right|=\sqrt{3}$.

Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $\left(-\sqrt{3},1\right)$. Zatem $\sin \left(-210°\right)=\frac{1}{2}$.

RTDW4se1266xw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na pierwszej i drugiej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego półprosta po kątem minus dwustu dziesięciu stopni (kąt między dodatnią półosią O X a półprostą przechodzący przez czwartą, trzecią i drugą ćwiartkę układu). Zaznaczony jest także na rysunku kąt, jaki półprosta tworzy z dodatnią półosią O Y w drugiej ćwiartce – jest to kąt o mierze sześćdziesięciu stopni. Na półprostej zaznaczony jest punkt M o współrzędnych minus pierwiastek z trzech, 1. Z punktu M poprowadzony jest poziomy odcinek M P prostopadły do osi Y, przy czym punkt P ma współrzędne zero, 1, co oznacza, że leży na osi Y. W ten sposób powstaje trójkąt prostokątny, którego podstawa to odcinek M P o długości pierwiastek z trzech, czyli równej modułowi pierwszej współrzędnej punktu M. Odcinek O P jest pionowym prawym bokiem trójkąta prostokątnego o długości 1, czyli równej drugiej współrzędnej punktu M. Odcinek O M będący przekątną trójkąta ma więc długość 2. Na rysunku zaznaczone są także dwa pozostałe kąty wewnętrzne trójkąta: kąt 30 stopni między odcinkiem O M a M P, kąt prosty między odcinkiem M P a O P leżącym na dodatniej półosi O Y oraz wcześniej wspomniany kąt 60 stopni między odcinkiem O M a O P. Obok zapisane jest, że sinus z minus dwustu dziesięciu stopni wynosi jedna druga.

Wyznaczymy miary wszystkich kątów $\mathrm{\alpha }$, dla których $\mathrm{sin\alpha }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Z definicji funkcji sinus mamy, że $\sin \alpha =\frac{y}{r}$.

W tym przypadku $\frac{y}{r}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ponieważ $r>0$, to $y=-\sqrt{3}k$ i $r=2k$ dla pewnej liczby $k>0$.

Ponieważ możemy wybrać dowolny punkt na drugim ramieniu kąta, więc niech $k=1$. Wówczas punkt $M$ ma drugą współrzędną równą $-\sqrt{3}$ i jego promień wodzący jest równy $2$.

R1PyBjD72mkCL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzone są z niego dwa odcinki, tworzące kąty ostre z ujemną półosią O Y. Odcinek O M 1 znajduje się w trzeciej ćwiartce układu i ma długoś r równą 2. Odcinek O M 2 znajduje się w czwartej ćwiartce układu i również ma długość r równą dwa. Przez punkty M 1 i M 2 linią przerywaną poprowadzona jest pozioma prosta, która jest prostopadła do osi Y i przecina ją w punkcie P o współrzędnych 0, minus pierwiastek z trzech. Odcinek O P leży więc na osi Y i ma długość równą pierwiastek z trzech.

Zauważmy, że są dwa takie punkty: jeden leży w trzeciej, a drugi – w czwartej ćwiartce. Z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć ich odległości od osi $Y$:

${\left|MP\right|}^2+{\left|PO\right|}^2={\left|OM\right|}^2$

${\left|MP\right|}^2+3=4$

${\left|MP\right|}^2=1$

Zatem pierwsza współrzędna punktu $M$ to $1$ lub $-1$. Niech $M_1=\left(-1,-\sqrt{3}\right)$ i $M_2=\left(1,-\sqrt{3}\right)$.

R1V6LNAQOYZNG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzone są z niego dwa odcinki, tworzące kąty ostre z ujemną półosią O Y. Punkt M 1 ma współrzędne minus 1, minus pierwiastek z trzech. Odcinek O M 1 znajduje się w trzeciej ćwiartce układu i ma długoś r równą 2. Punkt M 2 ma współrzędne 1, minus pierwiastek z trzech. Odcinek O M 2 znajduje się w czwartej ćwiartce układu i również ma długość r równą dwa. Przez punkty M 1 i M 2 linią przerywaną poprowadzona jest pozioma prosta, która jest prostopadła do osi Y i przecina ją w punkcie P o współrzędnych 0, minus pierwiastek z trzech. Odcinek O P leży więc na osi Y i ma długość równą pierwiastek z trzech. Na rysunku zaznaczone są także kąty. Kąt między odcinkiem M 1 P a odcinkiem M 1 O wynosi 60 stopni. Kąt między odcinkiem M 1 O a O P wynosi 30 stopni. Kąt między odcinkiem M 2 P a odcinkiem M 2 O wynosi 60 stopni. Kąt między odcinkiem M 2 O a O P wynosi 30 stopni.

Wynika stąd, że każdy z trójkątów $M_{1}PO$ i $M_{2}PO$ jest połową trójkąta równobocznego.

Jednocześnie trójkąt $M_1{M}_{2}O$ jest równoboczny.

Zatem szukane kąty mają miary $180°+60°=240°$ oraz $270°+30°=300°$.

Rs9d64AQiVufL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na pierwszej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego w czwartej ćwiartce półprosta, tworząca kąt 300 stopni z dodatnią półosią O X. Kąt ten przechodzi przez ćwiartkę pierwszą, drugą, trzecią i czwartą. Na półprostej zaznaczony jest punkt M 2. Odcinek O M 2 tworzy z ujemną półosią O Y kąt 30 stopni. Obok zapisane jest: 270 stopni dodać 30 stopni równa się 300 stopni.

R1MzzsbeKdqC8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową Y. Rysunek skupia się głównie na trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Punkt O to początek układu. Poprowadzona jest z niego w trzeciej ćwiartce półprosta, tworząca kąt 240 stopni z dodatnią półosią O X. Kąt ten przechodzi przez ćwiartkę pierwszą, drugą i trzecią. Na półprostej zaznaczony jest punkt M 1. Odcinek O M 1 tworzy z ujemną półosią O Y kąt 30 stopni. Obok zapisane jest: 180 stopni dodać 60 stopni równa się 240 stopni.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że po obrocie drugiego ramienia kąta o $360°$ w jedną lub w drugą stronę, to ramię znajdzie się w dokładnie tym samym położeniu. Zatem

$\sin {240}^{\circ }=\sin \left({240}^{\circ }+{360}^{\circ }\right)=\sin \left({240}^{\circ }+2\cdot {360}^{\circ }\right)=...$

i

$\sin {240}^{\circ }=\sin \left({240}^{\circ }-{360}^{\circ }\right)=\sin \left({240}^{\circ }-2\cdot {360}^{\circ }\right)=...$.

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $240°+k·360°$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Ponadto

$\sin {300}^{\circ }=\sin \left({300}^{\circ }+{360}^{\circ }\right)=\sin \left({300}^{\circ }+2\cdot {360}^{\circ }\right)=...$

i

$\sin {300}^{\circ }=\sin \left({300}^{\circ }-{360}^{\circ }\right)=\sin \left({300}^{\circ }-2\cdot {360}^{\circ }\right)=...$.

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $300°+k·360°$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Dostaliśmy dwie serie rozwiązań: $240°+k·360°$ oraz $300°+k·360°$, gdzie
$k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

odległość punktu od początku układu współrzędnych

stosunek rzędnej dowolnie wybranego punktu $M$ należącego do drugiego ramienia tego kąta do promienia wodzącego punktu $M$, definicja wymaga, aby kąt był umieszczony w położeniu standardowym