Przeczytaj

uogólnienie twierdzenia Talesa

Twierdzenie: uogólnienie twierdzenia Talesa

Dwie proste $p$ , $r$ przecinają się w punkcie $O$ . Jeżeli dwie proste równoległe $k$ , $l$ przecinają prostą $p$ w punktach $A$ , $B$ a prostą $r$ w punktach $C$ , $D$ , które są różne od $O$ to zachodzi równość stosunków $|O C| : |O D| = |O A| : |O B|$ .

Dowód

Jeżeli proste $k$ , $l$ leżą po tej samej stronie punktu $O$ , to zachodzi klasyczne twierdzenie Talesa.

W przeciwnym przypadku mamy sytuację przedstawioną tak jak na rysunku.

RHcUfD7nZJfEn

Ilustracja przedstawia dwie proste równoległe l i k, które przecinają proste r i p. Proste r oraz p przecinają się w punkcie O i układają się w X. Prosta p przecina prostą l w punkcie A. Punkt ten znajduje się w górnym lewym rogu ilustracji. Następnie prosta p przecina prostą k w punkcie B. Punkt ten znajduje się w dolnym prawym rogu ilustracji. Prosta r przecina prostą l w punkcie C. Punkt ten znajduje się w dolnym lewym rogu ilustracji. Następnie prosta r przecina prostą k w punkcie D. Punkt ten znajduje się w górnym prawym rogu ilustracji.

Niech punkt $C^{'}$ będzie odbiciem symetrycznym puntu $C$ w symetrii środkowej względem punktu $O$ . Podobnie, punkt $A^{'}$ niech będzie odbiciem symetrycznym puntu $C$ w symetrii środkowej względem punktusymetria środkowa względem punktu $O$ symetrii środkowej względem punktu $O$ .

Wówczas $|O C| = |O C^{'}|$ oraz $|O A| = |O A^{'}|$ . Z własności symetrii środkowej wynika, że prosta przechodząca przez punkty $C^{'}$ , $A^{'}$ jest równoległa do prostej $l$ , a z przechodniości relacji równoległości jest też równoległa do prostej $k$ .

Teraz z klasycznego twierdzenia Talesa wynika, że $|O C^{'}| : |O D| = |O A^{'}| : |O B|$ a stąd $|O C| : |O D| = |O A| : |O B|$ .

W dowodzie twierdzenia pokazaliśmy jak stosując symetrię środkową sprowadzić uogólnione twierdzenie Talesa do twierdzenia Talesa w wersji klasycznej. Możemy zatem wnioski z twierdzenia Talesa stosować również w wersji uogólnionej. Stąd przy oznaczeniach z rysunku prawdziwe są również proporcje $|O C| : |C A| = |O D| : |D B|$ , $|O C| : |O A| = |O D| : |O B|$ i wnioski z tych proporcji.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiony jest trapeztrapeztrapez, w którym boki $A B$ i $C D$ są równoległe. Punkt $E$ jest punktem przecięcia przekątnych.

R1Kzten4YyDB7

Ilustracja przedstawia trapez A B C D, gdzie A B to dolna podstawa, natomiast C D to górna podstawa. W figurze poprowadzono przekątne przecinające się w punkcie E.

Pokażemy, że w trapezie punkt przecięcia przekątnych dzieli przekątne w stosunku $|D C| : |A B|$ .

Wynika to wprost z uogólnionego twierdzenia Talesa, bo $|E D| : |E B| = |E C| : |E A| = |D C| : |A B|$ .

Przykład 2

Pokażemy, że w równoległobokurównoległobokrównoległoboku przekątne przecinają się w połowie.

R1VonQnmjliGP

Ilustracja przedstawia równoległobok A B C D, w którym poprowadzono przekątne przecinające się w punkcie S.

Ponieważ równoległobok jest trapezem, to $|S C| : |S A| = |D C| : |A B|$ .

Ponieważ, w równoległoboku przeciwległe boki są równe, to $|S C| : |S A| = 1$ czyli punkt $S$ jest środkiem przekątnej $A C$ . Podobne rozumowanie prowadzi do wniosku, że $S$ jest środkiem przekątnej $B D$ .

odwrotne do uogólnionego twierdzenia Talesa

Twierdzenie: odwrotne do uogólnionego twierdzenia Talesa

Jeżeli dwie proste $k$ , $l$ przecinają dwie przecinające się proste w punktach $A$ , $B$ , $C$ , $D$ tak jak na rysunku

RHcUfD7nZJfEn

oraz zachodzi równość stosunków $|O C| : |O D| = |O A| : |O B|$ , to proste $k$ , $l$ są równoległe.

Można udowodnić to twierdzenie, wykorzystując twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa w wersji klasycznej.

Przykład 3

Pokażemy, że jeżeli w czworokącie wypukłym przekątneprzekątna czworokąta wypukłegoczworokącie wypukłym przekątne przecinają się w połowie, to ten czworokąt jest równoległobokiem.

R1VonQnmjliGP

$\frac{|S A|}{|S C|} = \frac{|S D|}{|S B|} = 1$ , więc na mocy twierdzenia odwrotnego do uogólnionego twierdzenia Talesa bok $C B$ jest równoległy do $A D$ .

Analogicznie, $\frac{|S A|}{|S C|} = \frac{|S B|}{|S D|} = 1$ , więc bok $C D$ jest równoległy do $A B$ .

Popatrzmy na rysunek przedstawiający schematycznie działanie projektora.

RzOahRXx8nvKH

Ilustracja przedstawia schemat projektora. Z lewej strony mamy pionową strzałkę h z grotem skierowanym w dół. Górny punkt strzałki to punkt C, a dolny to punkt A. Z punktów tych poprowadzono dwa odcinki: A B oraz C D przecinające się w punkcie S. Między punktami B oraz D również poprowadzono pionową strzałkę, jednak z grotem skierowanym w górę. Strzałkę tę opisano jako h prim. Od środka strzałki h do środka strzałki h prim poprowadzono linią przerywaną odcinek przechodzący przez punk przecięcia S. Odcinek między strzałką h a punktem S opisano jako d 1, a odcinek między punktem S a strzałką h prim opisano jako d 2

$S$ jest punktem na soczewce, $h$ i $h^{'}$ oznaczają, odpowiednio wysokość obrazu oryginalnego i obrazu na ekranie. Odległość obrazu oryginalnego od soczewki oznaczona jest symbolem $d_{1}$ , a odległość ekranu od soczewki symbolem $d_{2}$ .

Obraz na ekranie jest odwrócony w stosunku do obrazu oryginalnego.

Przykład 4

Przy powyższych oznaczeniach załóżmy, że znamy $d_{1}$ . Obliczymy, w jakiej odległości $d_{2}$ od ekranu ustawić projektor, by obraz na ekranie był $100$ razy większy niż obraz oryginalny.

Z uogólnionego twierdzenia Talesa, gdzie prostymi przecinającymi się są prosta przechodząca przez punkty $A$ , $B$ oraz prosta przedstawiona na rysunku linią przerywaną wynika, że $\frac{\frac{h^{'}}{2}}{\frac{h}{2}} = \frac{d_{2}}{d_{1}}$ , ale wiemy, że $h^{'} = 100 h$ , więc $\frac{d_{2}}{d_{1}} = 100$ , czyli $d_{2} = 100 d_{1}$ .

Doświadczenie 1

Rzutnik multimedialny działa tak, że każdy punkt obrazu z komputera przekształca na odpowiedni punkt na katodzie. Przyjmujemy, że obraz utworzony na katodzie jest obrazem oryginalnym i ma pewną wysokość $h$ , której nie potrafimy zmierzyć. Odległość $d_{1}$ katody od soczewki też nie jest znana, ale jeśli nie będziemy dostrajać rzutnika poprzez ustawianie soczewki, to odległość ta jest stała. Celem doświadczenia jest wyznaczenie zależności między odległością $d_{2}$ soczewki od ekranu i wysokością $h'$ obrazu na ekranie oraz wniosek, że stosunek $\frac{d_{2}}{h'}$ jest stały. Z uogólnienia twierdzenia Talesa wynika, że stosunek $\frac{d_{1}}{h}$ jest równy wyznaczonemu stosunkowi $\frac{d_{2}}{h'}$ .

W doświadczeniu wykorzystujemy komputer z prostym obrazkiem przedstawiającym prosty kształt lub postać. Komputer połączony jest z rzutnikiem multimedialnym. Poza tym potrzebny jest statyw, ekran i miarka do mierzenia długości.

Ustawiamy rzutnik na statywie w pozycji poziomej tak, by płaszczyzna soczewki była równoległa do płaszczyzny ekranu.

Rysujemy na podłodze linię prostopadłą do płaszczyzny ekranu. Po tej linii będziemy przesuwać statyw.

Przesuwamy statyw zmieniając odległość rzutnika od ekranu. Przy każdym ustawieniu mierzymy i zapisujemy odległość i odpowiadającą jej wielkość obrazka na ekranie.

Wyznacz stosunki otrzymanych wartości. Jeśli pomiary były dokładne, zauważysz, że otrzymane stosunki są w przybliżeniu równe.

Pokażemy uogólnienie twierdzenia o proporcji odcinków wyznaczonych przez proste równoległe, które mówi, że jeżeli ramiona kąta przecięte są kilkoma prostymi równoległymi to odcinki utworzone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. Na rysunku pary proporcjonalnych odcinków zaznaczone są kolorami, czyli

|O A| : |O D| = |A B| : |D E| = |B C| : |E F|

RPrKwxCI3B7jD

Ilustracja przedstawia trójkąt O C F. Ramiona F O oraz O C przecinają dwa równoległe odcinki: D A oraz E B, gdzie punkty D oraz E leżą na ramieniu F O, a punkty A B leżą na ramieniu O C.

Teraz zapytamy, czy jeśli przedłużymy ramiona kąta i jedna z prostych równoległych będzie po drugiej stronie punktu $O$ , to proporcje odcinków wyznaczonych przez te proste będą zachowane? Odpowiedź na to pytanie przedstawia następujące twierdzenie:

uogólnienie twierdzenia o proporcji odcinków wyznaczonych przez proste równoległe

Twierdzenie: uogólnienie twierdzenia o proporcji odcinków wyznaczonych przez proste równoległe

Jeżeli dwie przecinające się proste $p$ , $q$ przecięte są kilkoma prostymi równoległymi, to odcinki utworzone przez te proste na prostej $p$ są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na prostej $q$ , czyli zgodnie z oznaczeniami na rysunku

|A B| : |D E| = |B C| : |E F| = |O B| : |O E|

R7elYsTBlGoB0

Ilustracja przedstawia dwie ukośne proste przecinające się w punkcie O, które układają się w spłaszczoną literę X. Po lewej stronie zaznaczono punkt A na jednej prostej oraz punt D na drugiej i połączono je w odcinek A D. Kolorem wyróżniono odcinki A O oraz D O. Po prawej stronie na jednej prostej zaznaczono punkty E i F, a poniżej nich na drugiej prostej zaznaczono punkty B i C. Punkty połączono, otrzymując odcinki E B oraz F C. Kolorami wyróżniono następujące odcinki: O E oraz O B oraz E F oraz B C.

Dowód

Równość $|B C| : |E F| = |O B| : |O E|$ zachodzi na mocy klasycznego twierdzenia Talesa. Ponadto, z uogólnionego twierdzenia Talesa i powyższej równości mamy $|O A| : |O D| = |O B| : |O E| = |B C| : |E F|$ .

Trzeba pokazać, że $|A B| : |D E| = |B C| : |E F|$

Z powyższych proporcji wyznaczamy

$|O A| = \frac{|O D| \cdot |B C|}{|E F|}$ oraz $|O B| = \frac{|O E| \cdot |B C|}{|E F|}$

Stąd $\frac{|A B|}{|D E|} = \frac{|O A| + |O B|}{|O E| + |O D|} = \frac{\frac{|O D| \cdot |B C|}{|E F|} + \frac{|O E| \cdot |B C|}{|E F|}}{|O E| + |O D|} = \frac{\frac{|B C|}{|E F|} (|O E| + |O D|)}{|O E| + |O D|} = \frac{|B C|}{|E F|}$ .

To należało pokazać.

Przykład 5

W trapezie przedstawionym na rysunku podane są długości odcinków $D E$ i $E C$ . Wyznaczymy stosunek długości przekątnych tego trapezu.

R1PTDicopZYJw

Ilustracja przedstawia trapez A B C D w którym poprowadzono przekątne. Przekątną A C opisano jako b, a przekątną B D jako a. Przekątne przecinają się w punkcie E.

Z uogólnienia twierdzenia o proporcji odcinków wyznaczonych przez proste równoległeproste równoległeproste równoległe mamy, że:

$\frac{|B D|}{|A C|} = \frac{a}{b}$

Przykład 6

Wiadomo, że dwie przecinające się cięciwy okręgu dzielą się w taki sposób, że $a b = c d$ .

RxXi5hehV6775

Ilustracja przedstawia okrąg z zaznaczonym środkiem. W górnej części poprowadzono dwie przekątne, które przecinają się wewnątrz okręgu. Każda przekątna składa się z dwóch odcinków: pierwsza od końca leżącego okręgu do puntu przecięcia ma długość a, natomiast od punktu przecięcia do drugiego końca leżącego na okręgu ma długość b. Druga przekątna jest analogicznie podzielona i składa się z odcinków d leżącego nad a oraz z odcinka leżącego nad b.

Wyznaczymy warunki na $a$ , $b$ , $c$ , $d$ takie, żeby cięciwy były przekątnymi trapezu.

Zgodnie z własnością przekątnych trapezu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , czyli $a = \frac{b c}{d}$ . Po wstawieniu do równości $a b = c d$ dostajemy $a b = \frac{b^{2} c}{d} = c d$ . Stąd $b^{2} = d^{2}$ , czyli $b = d$ i stąd $a = c$ .

Ostatecznie, przecinające się cięciwy są przekątnymi trapezu jeśli $a = c$ i $b = d$ .

Słownik

proste równoległe

proste są równoległe jeżeli nie mają punktu wspólnego lub pokrywają się

symetria środkowa względem punktu

O

symetria środkowa względem punktu

O

symetrią środkową względem punktu $O$ zwanego środkiem symetrii nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym punkt $O$ jest stały, a każdemu innemu punktowi $A$ przyporządkowuje punkt $A^{'}$ taki, że punkt $O$ jest środkiem odcinka $A A^{'}$

trapez

czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych

równoległobok

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych

przekątna czworokąta wypukłego

odcinek łączący przeciwległe wierzchołki czworokąta

Wprowadzenie

Aplet

Słownik