Przeczytaj

Objętość każdego graniastosłupa możemy policzyć ze wzoru

V = P_{p} \cdot H

gdzie $P_{p}$ jest polem podstawy, a $H$ wysokością graniastosłupawysokość graniastosłupawysokością graniastosłupa.

Przykład 1

W graniastosłupie na rysunku: $|A B| = 2, |A C| = 2 \sqrt{5}, |A G| = 3, |A D| = 5$ . Odcinek $D G$ jest wysokością graniastosłupa.

R1Y4C5y2ikcRX

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły ABCDEF o podstawie trójkąta prostokątnego. Poprowadzono odcinki AG i DG w taki sposób, że przecinają się one prostopadłe.

Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Podstawa jest trójkątem prostokątnym. Obliczymy długość drugiej przyprostokątnej w podstawie. Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc $2^{2} + {|B C|}^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2}$ . Czyli ${|B C|}^{2} = 16$ , a stąd $|B C| = 4$ .

Trójkąt $A G D$ jest trójkątem pitagorejskim o bokach długości $3$ , $4$ , $5$ , czyli wysokość graniastosłupa $|D G| = 4$ .

Obliczmy pole podstawy $P_{p} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4$ . Zatem objętość tego graniastosłupa wynosi $V = 4 \cdot 4 = 16$ .

Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa, możemy wyprowadzić wzory na objętość w szczególnych przypadkach:

sześcian o krawędzi $a$ : $V = a^{3}$ ;
prostopadłościan o krawędziach $a, b, c$ : $V = a b c$ ;
graniastosłupy prawidłowe o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $H$ :
- trójkątny: $V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} H$ ;
- czworokątny: $V = a^{2} H$ ;
- sześciokątny: $V = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} H$ .

Przykład 2

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o bokach długości $6$ i kącie między nimi $120 °$ . Obliczymy objętość tego graniastosłupa, jeśli jego pole powierzchni całkowitej jest równe $78 \sqrt{3} + 120$ .

Rozwiązanie

Wiemy, że $P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}$ , gdzie $P_{c}$ – pole powierzchni całkowitej graniastosłupa; $P_{p}$ – pole jego podstawy i $P_{b}$ – pole powierzchni bocznej.

Zauważmy, że:

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 120 ° = 18 \cdot \sin 60 ° = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3}$ .

Oznaczymy przez $H$ długość wysokości tego graniastosłupa i przez $a$ – długość podstawy trójkąta.

Zatem:

$78 \sqrt{3} + 120 = 2 \cdot 9 \sqrt{3} + 2 \cdot 6 \cdot H + a \cdot H$

$78 \sqrt{3} + 120 = 18 \sqrt{3} + 12 \cdot H + a \cdot H$

$60 \sqrt{3} + 120 = 12 \cdot H + a \cdot H$

Narysujemy podstawę tego graniastosłupa

R1cEzQ5k39ptp

Ilustracja przedstawia trójkąt rozwartokątny o kącie rozwartym 120° ramionami o długości 6 oraz podstawie długości a.

Z twierdzenia cosinusów:

$a^{2} = 6^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos 120 °$

$a^{2} = 72 - 72 \cdot (- \cos 60 °)$

$a^{2} = 108$

$a = 6 \sqrt{3}$

Zatem:

$60 \sqrt{3} + 120 = 12 \cdot H + 6 \sqrt{3} \cdot H$

$60 \sqrt{3} + 120 = H (6 \sqrt{3} + 12)$

$H = 10$

Obliczamy objętość graniastosłupa:

$V = P_{p} \cdot H$

$V = 9 \sqrt{3} \cdot 10 = 90 \sqrt{3}$

Przykład 3

W graniastosłupie prostym podstawą jest trapez prostokątny o podstawach długości $2$ i $6$ oraz wysokości $3$ . Dłuższa przekątna graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątna graniastosłupa ma długość $9$ . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Obliczymy pole podstawy.

$P_{p} = \frac{(2 + 6) \cdot 3}{2} = 12$

Aby obliczyć objętość, potrzebujemy jeszcze długości wysokości. Zrobimy rysunek pomocniczy.

RFVGM3NhIAyBc

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trapezu prostokątnego. Podstawy trapezu mają krawędzie o długości 2 i 6 oraz krótsze ramię o długości trzy. Dłuższa przekątna d trapezu tworzy z wysokością graniastosłupa przekrój w kształcie trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości dziewięć.

Obliczymy najpierw długość dłuższej przekątnej podstawy z twierdzenia Pitagorasa:

$3^{2} + 6^{2} = d^{2}$ , a stąd

$d = 3 \sqrt{5}$ .

Teraz obliczymy wysokość graniastosłupa, również korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$H^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} = 9^{2}$ , a stąd

$H^{2} = 36$ , co daje

$H = 6$ .

Teraz już możemy obliczyć objętość tego graniastosłupa.

$V = P_{p} \cdot H$

$V = 12 \cdot 6 = 72$

Przykład 4

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznychprzekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka ma miarę $60 °$ , a krawędź podstawy ma długość $2$ . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Zrobimy rysunek pomocniczy.

RChuuWl0kXUhD

Ilustracja przedstawia graniastosłup sześciokątny A B C D E F M N O P R S. Krawędzie podstawy mają długość dwa. Przekątne ścian bocznych MB i OB o długości x tworzą kąt 60 stopni. Odcinek MO ma miarę d indeks dolny 1 koniec indeksu i jest krótszą przekątną sześciokąta w podstawie.

Oczywiście $d_{1} = 2 \sqrt{3}$ . Ponieważ kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych ma miarę $60 °$ , to trójkąt, którego bokami są przekątne ścian bocznych i krótsza przekątna podstawy, jest równoboczny. A zatem $x = 2 \sqrt{3}$ .

Obliczymy długość wysokości z twierdzenia Pitagorasa:

$2^{2} + H^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2}$ , a stąd

$H^{2} = 8$ i ostatecznie

$H = 2 \sqrt{2}$ .

Obliczmy objętość tego graniastosłupa.

$V = 6 \cdot \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 2 \sqrt{2} = 12 \sqrt{6}$ .

Przykład 5

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego bok ma długość $17$ , a jedna z przekątnych ma długość $30$ . Kąt nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy ma miarę $40 °$ . Obliczymy objętość tego graniastosłupa. Wynik przybliżymy do części dziesiątych.

Rozwiązanie

Mając długość krawędzi podstawy oraz jednej z przekątnych podstawy możemy obliczyć długość drugiej przekątnej podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że $15^{2} + x^{2} = 17^{2}$ , a stąd $x = 8$ . A zatem druga przekątna podstawy ma długość $16$ .

Teraz już możemy zrobić rysunek pomocniczy:

RBnJzhGElp7zw

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie będącej rombem. Przekątna graniastosłupa oraz przekątna podstawy o mierze 30 jednostek tworzą kąt 40 stopni. Wysokość graniastosłupa wynosi H.

Obliczamy długość wysokości graniastosłupa:

$tg 40^{\circ} = \frac{H}{30}$

A stąd $H \approx 0, 8391 \cdot 30 = 25, 173$ .

Czyli $V = \frac{16 \cdot 30}{2} \cdot 25, 173 = 6041, 5$ .

Przykład 6

Podstawą graniastosłupa prostego $A B C D E F G H$ jest wielokąt jak na rysunku (jedna kratka to jedna jednostka).

RbONpRUiUx9uL

Ilustracja przedstawia wielokąt ABCD w kształcie grotu strzałki. Składa się on z dwóch takich samych trójkątów rozwartokątnych o wspólnej podstawie AC długości trzech kratek i wysokościach trzech kratek.

Przekątna $C E$ graniastosłupa jest nachylona pod kątem $53 °$ do płaszczyzny podstawy. Obliczymy objętość graniastosłupa.

Rozwiązanie

Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa – jest to suma pól przystających trójkątów rozwartokątnych $A C B$ i $A D C$ . Mamy więc $P = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 9$ .

Narysujemy teraz ten graniastosłup i uwzględnimy kąt dany w treści zadania:

RUw3fM3A5ycLa

Ilustracja przedstawia graniastosłup ABCDEFGH o podstawie grotu strzałki ABCD. Przekątna podstawy AC tworzy z przekątną graniastosłupa CE kąt 53 stopni.

Wiemy, że $|A C| = 3$ . Wtedy $\frac{|A E|}{|A C|} = tg 53^{\circ}$ . Czyli $|A E| \approx 3 \cdot 1, 327 = 3, 981$

Stąd $V = 9 \cdot 3, 981 = 35, 829$ .

Słownik

wysokość graniastosłupa

odcinek łączący płaszczyzny podstaw, którego długość jest równa odległości między płaszczyznami podstaw

przekątna graniastosłupa

odcinek łączący dwa wierzchołki podstaw nie leżące na jednej ścianie graniastosłupa

przekątna ściany bocznej graniastosłupa

przekątna równoległoboku, który jest ścianą boczną graniastosłupa

Wprowadzenie

Animacja 3D

Słownik