Funkcję $f$: $D\to \mathrm{ℝ}$ określoną w zbiorze $D$ nazywamy okresową, jeżeli istnieje taka liczba $T\ne 0$ (zwana okresem funkcji), że dla każdego $x\in D$, liczba $x\pm T\in D$ oraz zachodzi równość

Rozważmy funkcję, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez pięć. Sprawdzimy, czy jest to funkcja okresowa.

Rozwiązanie:

Mamy następujące wartości funkcji:

$f\left(0\right)=0$, bo $0=5·0+0$,

$f\left(1\right)=1$, bo $1=5·0+1$,

$f\left(2\right)=2$, bo $2=5·0+2$,

$f\left(3\right)=3$, bo $3=5·0+3$,

$f\left(4\right)=4$, bo $4=5·0+4$,

$f\left(5\right)=0$, bo $5=5·1+0$,

$f\left(6\right)=1$, bo $6=5·1+1$,

$f\left(7\right)=2$, bo $7=5·1+2$,

$f\left(8\right)=3$, bo $8=5·1+3$,

$f\left(9\right)=4$, bo $9=5·1+4$,

$f\left(10\right)=0$, bo $10=5·2+0$,

$f\left(11\right)=1$, bo $11=5·2+1$,

$f\left(12\right)=2$, bo $12=5·2+2$,

$f\left(13\right)=3$, bo $13=5·2+3$,

$f\left(14\right)=4$, bo $14=5·2+4$,

Podobnie wyznaczamy wartości funkcji dla każdej następnej liczby naturalnej.

Zauważmy, że:

$f\left(0\right)=f\left(5\right)=f\left(10\right)=\dots =0$

$f\left(1\right)=f\left(6\right)=f\left(11\right)=\dots =1$

$f\left(2\right)=f\left(7\right)=f\left(12\right)=\dots =2$

$f\left(3\right)=f\left(8\right)=f\left(13\right)=\dots =3$

$f\left(4\right)=f\left(9\right)=f\left(14\right)=\dots =4$

Istnieje zatem liczba $T=5$ taka, że dla każdego $x\in \mathrm{\mathbb{N}}$, liczba $x+5\in \mathrm{\mathbb{N}}$ oraz zachodzi równość:

Nie jest to jednak funkcja okresowa (w sensie przyjętej definicji), bo liczba $x-5$ na przykład dla $x=1$ nie  jest liczbą naturalną. Nie jest zatem spełniony warunek funkcji okresowej.

Poniżej tę funkcję przedstawiono za pomocą wykresu.

R1KfHPwlhljJX

lustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 14 i pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono funkcję f składającą się z punktów o współrzędnych: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawis siedem średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias dziesięć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jedenaście średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwanaście średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzynaście średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias czternaście średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$. Funkcja $f$ przyporządkowuje każdemu argumentowi jego resztę z dzielenia przez $3$. Poniżej tę funkcję przedstawiono za pomocą tabeli oraz wykresu. Sprawdzimy, czy podana funkcja jest okresowa.

Rozwiązanie:

RsengAxkyUoy0

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 8 i pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono funkcję f składającą się z punktów o współrzędnych: nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawis siedem średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że $f\left(1\right)=f\left(4\right)=f\left(7\right)=1$ i również $f\left(2\right)=f\left(5\right)=f\left(8\right)=2$.

Widzimy, że wartości tej funkcji powtarzają się dla argumentów w odstępie co $3$ jednostki, spełniony jest warunek z definicji funkcji okresowej $f\left(1\right)=f\left(1+3\right)$, $f\left(2\right)=f\left(2+3\right)$.

Jednak dla argumentu $x=8$, liczba $x+3=8+3=11$ nie należy do dziedziny funkcji, zatem funkcja $f$ nie jest okresowa w sensie przyjętej definicji.

Poniżej na wykresie mamy przykład funkcji, której dziedziną jest zbiór $D=\left.⟨0;\infty \right)$. Sprawdzimy, czy podana funkcja jest okresowa.

Rbk97RQbIhDXa

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 15 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono funkcję f składającą się czterech ukośnych odcinków. Pierwszy z nich ma początek w zamalowanym punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu i koniec w zamalowanym punkcie nawias cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi z nich ma początek w zamalowanym punkcie nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu i koniec w zamalowanym punkcie nawias osiem średnik trzy zamknięcie nawiasu. Trzeci z nich ma początek w zamalowanym punkcie nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu i koniec w zamalowanym punkcie nawias dwanaście średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty z nich ma początek w zamalowanym punkcie nawias dwanaście średnik zero zamknięcie nawiasu i koniec poza płaszczyzną układu. Pomiędzy drugim i trzecim fragmentem zaznaczono odcinek, który podpisano $T=4$.

Rozwiązanie:

Widzimy, że wartości tej funkcji powtarzają się, gdy argument funkcji wzrasta o $4$ jednostki. Spełniony jest  warunek  $f\left(0\right)=f\left(0+4\right)$, podobnie $f\left(4\right)=f\left(8\right)=f\left(12\right)$ Jeśli „zawęzimy” definicję funkcji okresowej, to możemy przyjąć, że jest to funkcja okresowa o okresie podstawowym $T=4$.

Rozważmy funkcję $f\left(x\right)=\sin x$. Sprawdzimy, czy jest to funkcja okresowafunkcja okresowafunkcja okresowa.

R1bqisc3vlFEr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus $\mathrm{\pi }$ do $6\mathrm{\pi }$ i pionową osią y od minus 1 do jeden. W układzie zaznaczono funkcję $\mathrm{y}=\sin \left(\mathrm{x}\right)$ która ma kształt sinusoidy. Przechodzi przez charakterystyczne punkty o współrzędnych: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias $0,5\mathrm{\pi }$ średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias $\mathrm{\pi }$ średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias $1,5\mathrm{\pi }$ średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias $2\mathrm{\pi }$ średnik zero zamknięcie nawiasu. Punkt $0,5\mathrm{\pi }$ średnik jeden zamknięcie nawiasu i punkt nawias $2,5\mathrm{\pi }$ średnik jeden zamknięcie nawiasu połączono poziomym odcinkiem i podpisano $\mathrm{T}=2\mathrm{\pi }$.

Rozwiązanie:

W przypadku funkcji $f\left(x\right)=\sin x$, której wartości powtarzają się, gdy argument funkcji wzrasta o $2\pi$ jednostek, spełniony jest warunek z definicji funkcji okresowej, na przykład $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{\pi }{2}+2\pi \right)= f\left(\frac{5\pi }{2}\right)$, podobnie $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=f\left(\frac{3\pi }{2}+2\pi \right)= f\left(\frac{7\pi }{2}\right)$, więc jest to funkcja okresowa o okresie podstawowym równym $T=2\pi$.

funkcja, której wartości powtarzają się w ustalonym „odstępie”, który nazywamy okresem i symbolicznie oznaczamy $T$

funkcja, która dla każdego argumentu przyjmuje tę samą wartość

najmniejsza liczba dodatnia $T$ spełniającą warunek definicji funkcji okresowej