Graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFGHIJKL$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez punkty leżące na krawędziach wychodzących z wierzchołka $K$ w odległości $2$ od tego wierzchołka. Obliczymy pole otrzymanego przekroju.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1O6eIPwcw8tJ

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny o wierzchołkach A B C D E F  G H I J K L. Przez graniastosłup przechodzi płaszczyzna, która przecina dwie sąsiednie krawędzie górnej podstawy, krawędź KJ i krawędź KL oraz krawędź boczną KE. Powstały przekrój ma kształt trójkąta.

Zauważmy, że dwa boki tego trójkąta są przeciwprostokątnymi równoramiennych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości $2$. Czyli każdy bok tego trójkąta będzie miał długość $2\sqrt{2}$. Długość trzeciego boku policzymy z twierdzenia cosinusów:

$c^2=2^2+2^2-2·2·2·\cos 120°=12$, więc $c=2\sqrt{3}$.

Aby policzyć pole trójkąta potrzebujemy wyznaczyć jego wysokość: $h^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-{\sqrt{3}}^2=5$, więc $h=\sqrt{5}$.

Zatem $P=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{5}}{2}=\sqrt{15}$

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFGHIJKL$ przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy przechodzącą przez odcinek $AC$. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość $6$ i jest nachylona pod kątem $30°$ do podstawy. Obliczymy pole tego przekroju.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RquDh7TmKnK0n

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny. W graniastosłupie zaznaczono prostokąt, którego pionowymi krawędziami są krawędzie boczne, a poziomymi krawędziami są krótsze przekątne podstaw. Pionowy bok prostokąta podpisano literą H, poziomy bok prostokąta podpisano literą x, przekątna prostokąta ma długość 6 i jest pod kątem 30 stopni do krawędzi x.

Zauważmy, że krótsza przekątna graniastosłupa jest również przekątną przekroju. Krótsza przekątna podstawy $x$ i wysokość graniastosłupa $H$ będą długościami boków tego prostokąta.

Skorzystajmy z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Mamy $\sin 30°=\frac{H}{6}$. Czyli $\frac{1}{2}=\frac{H}{6}$. A stąd $H=3$. Analogicznie $\cos 30°=\frac{x}{6}$, co daje $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{6}$ i ostatecznie $x=3\sqrt{3}$.

A zatem pole otrzymanego przekroju wynosi $P=3·3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość jest dwukrotnie dłuższa od krawędzi podstawy. Rozpatrzmy przekrój przechodzący przez dwie równoległe krótsze przekątne podstaw, który nie jest prostopadły do podstawy graniastosłupa. Pole tego przekroju wynosi $16\sqrt{15}$. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $a$ krawędź podstawy tego graniastosłupa. Wtedy wysokość ma długość $2a$, a krótsza przekątna podstawy $a\sqrt{3}$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że przekątna ściany bocznej ma długość $\sqrt{a^2+{\left(2a\right)}^2}=a\sqrt{5}$.

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1e284nfoIXJe

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny. Przez graniastosłup przechodzi płaszczyzna, która przecina dwa wierzchołki górnej i dwa wierzchołki dolnej podstawy. Powstały przekrój ma kształt prostokąta, którego dwa boki stanowią przekątne ścian bocznych, a dwa boki są krótszymi przekątnymi podstawy. Krawędź podstawy podpisano literą a, krawędź boczna ma długość $2a$, krótsza przekątna podstawy, a zarazem bok prostokąta ma długość $a\sqrt{3}$, przekątna ściany bocznej ma długość $a\sqrt{5}$.

Pole przekroju wynosi więc $P=a\sqrt{3}·a\sqrt{5}=a^2\sqrt{15}$. Podstawiając dane z zadania mamy $16\sqrt{15}=a^2\sqrt{15}$. Czyli $a=4$. Wysokość graniastosłupa ma więc długość $8$. Obliczmy objętość tego graniastosłupa: $V=6·\frac{4^2\sqrt{3}}{4}·8=192\sqrt{3}$.

Pole przekroju graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego zawierającego dłuższą przekątną podstawy i równoległą do niej krawędź podstawy wynosi $12$, a wysokość tego przekroju ma długość $4$. Obliczymy pole powierzchni graniastosłupa.

Rozwiązanie

R19al87Ls84sA

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny. Przez graniastosłup przechodzi płaszczyzna, która przecina krawędź górnej podstawy oraz dłuższą przekątną dolnej podstawy, która jest równoległa do tej krawędzi. Przekrój taki ma kształt trapezu, którego krótszą podstawę stanowi krawędź górnej podstawy, dłuższą podstawę stanowi przekątna dolnej podstawy, a ramionami są przekątne ścian bocznych. Krawędź podstawy podpisano literą a, dłuższą przekątną podstawy podpisano $2a$, wysokość trapezu ma długość cztery.

Korzystając ze wzoru na pole trapezu otrzymujemy $12=\frac{3a·4}{2}$, a stąd $a=2$.

Obliczmy teraz długość ramienia trapezu z twierdzenia Pitagorasa:

RV1FNuhJzxSo6

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny, którego krótsza podstawa ma długość 2, wysokość ma długość 4, a ramię podpisano literą x. Wysokość, ramię oraz fragment podstawy stanowią trójkąt prostokątny, gdzie przeciwprostokątną jest ramię trapezu x, a przyprostokątnymi wysokość o długości 4 i fragment dolnej podstawy, który ma długość jeden.

Mamy więc $1^2+4^2=x^2$. A stąd $x=\sqrt{17}$.

Ramię trapezu jest przekątną ściany bocznej, a więc z twierdzenia Pitagorasa: $2^2+H^2={\left(\sqrt{17}\right)}^2$. A zatem $H=\sqrt{13}$.

Stąd $P_c=2·6·\frac{4\sqrt{3}}{4}+6·2·\sqrt{13}=12\left(\sqrt{3}+\sqrt{13}\right)$.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną zawierającą dwie równoległe krawędzie podstaw nie leżące na jednej ścianie bocznej. Obliczymy pole tego przekroju wiedząc, że krawędź podstawy ma długość $4$, a krawędź boczna ma długość $6$.

Rozwiązanie

Przekrój ma kształt sześciokąta, który można podzielić na dwa przystające trapezy. Jedna z podstaw trapezu jest krawędzią podstawy graniastosłupa, zaś druga jest dwukrotnie dłuższa.

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R15JsRnCNTjA7

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny. Przez graniastosłup przechodzi płaszczyzna, która przecina krawędź górnej podstawy oraz równoległą do niej leżącą po przekątnej dolną krawędź podstawy. Przekrój taki ma kształt sześciokąta, którego krawędzie są odpowiednio krawędziami podstawy graniastosłupa lub leżą w płaszczyźnie ścian bocznych. Powstały sześciokąt podzielono na dwa trapezy, za pomocą odcinka łączącego dwie naprzeciwległe krawędzie boczne. W górnym trapezie zaznaczono wysokość h, bok trapezu podpisano literą x. Wysokość w tym trapezie wyznacza trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest ramię trapezu x, a przyprostokątnymi wysokość oraz fragment dłuższej podstawy o długości dwa. Krawędź dolnej podstawy graniastosłupa o długości 4, wraz z fragmentem krawędzi bocznej, który ma długość 3 i ramieniem dolnego trapezu o długości x tworzą trójkąt prostokątny, w którym krawędź x jest przeciwprostokątną.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy $3^2+4^2=x^2$. Czyli $x=5$. Obliczymy wysokość trapezu, który powstał z twierdzenia Pitagorasa. Mamy: $2^2+h^2=5^2$, a stąd $h=\sqrt{21}$.

Czyli pole przekroju będzie wynosić $P=2·\frac{\left(4+8\right)\sqrt{21}}{2}=12\sqrt{21}$.

graniastosłup, w którego podstawie jest sześciokąt foremny a ściany boczne są przystającymi prostokątami

wielokąt, który jest częścią wspólną wielościanu i płaszczyzny, która go przecina