Przeczytaj

Przykład 1

Wyprowadzimy wzór na objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości $a$ .

Rozwiązanie:

R1Qtgeo8UobEH

Ilustracja przedstawia czworościan foremny ABCD o krawędzi a. Wysokość ściany bocznej DF o długości h z wysokością podstawy CF oraz krawędzią CD tworzą przekrój w kształcie trójkąta.

Czworościan foremny jest ostrosłupem, zatem jego objętość obliczamy ze wzoru $V = \frac{1}{3} P_{p} H$ .

Podstawa jest trójkątem równobocznym, czyli $V = \frac{1}{3} P_{p} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12} \cdot H$ .

Punkt $E$ jest środkiem ciężkości trójkąta $A B C$ , stąd długość odcinka $E F$ jest równa $\frac{1}{3} h$ , gdzie $h$ to wysokość trójkąta $A B C$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy równość ${(\frac{1}{3} h)}^{2} + H^{2} = h^{2}$ . Stąd $H^{2} = \frac{8}{9} h^{2}$ , czyli $H = \frac{2 \sqrt{2}}{3} h = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

$V = \frac{1}{3} P_{p} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12} \cdot H = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

Przykład 2

Czworościan foremnyczworościan foremnyCzworościan foremny wpisano w sześcian o krawędzi długości $a$ tak, że każda krawędź czworościanu jest przekątną tego sześcianu. Wyznaczymy stosunek objętości sześcianu do objętości czworościanu.

Rozwiązanie:

RxU6tM38mQUQ4

Ilustracja przedstawia czworościan foremny ACFH wpisany w sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości a w taki sposób, że wszystkie krawędzie czworościanu są przekątnymi ścian sześcianu.

Objętość sześcianu wynosi $V_{s z} = a^{3}$ . Długość $d$ krawędzi utworzonego czworościanu jest przekątną ściany sześcianu, czyli $d = a \sqrt{2}$ . Korzystając ze wzoru na objętość czworościanu $V_{c z} = \frac{d^{3} \sqrt{2}}{12}$ , stosunek objętości sześcianu do objętości czworościanu wynosi $\frac{V_{s z}}{V_{c z}} = \frac{a^{3}}{\frac{d^{3} \sqrt{2}}{12}} = \frac{a^{3}}{\frac{{(a \sqrt{2})}^{3} \sqrt{2}}{12}} = \frac{3}{1}$ .

Przykład 3

Czworościan foremny wpisano w sześcian o krawędzi długości $6 cm$ tak, że każda krawędź czworościanu jest przekątną tego sześcianu. Wyznaczymy objętość czworościanu.

Rozwiązanie:

Rozwiązując to zadanie spojrzymy na tę sytuację nieco inaczej, niż w przykładzie powyżej.

Zauważmy, że aby obliczyć objętość czworościanu wystarczy od objętości sześcianu odjąć cztery objętości ostrosłupów o podstawie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $6$ i wysokości długości $6$ .

Zatem $V = 6^{3} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{6 \cdot 6}{2} \cdot 6 = 72 {cm}^{3}$ .

R1Rl5GsGiYXaa

Przykład 4

Objętość czworościanu foremnego wynosi $V$ . Ścięto go w połowie wysokości płaszczyzną równoległą do podstawy. Objętość tej części czworościanu, która została, wynosi $77 {cm}^{3}$ . Obliczymy objętość $V$ czworościanu przed ścięciem.

RZZRsES4MtMEa

Ilustracja przedstawia czworościan foremny ABCD o podstawie krawędzi a. Poprowadzono płaszczyznę GFE w połowie wysokości czworościanu pod kątem prostym.

Rozwiązanie:

Trójkąty $△ D E I$ i $△ D A S$ są podobne ponieważ są prostokątne i mają wspólny kąt $∢ E D I$ .

Z założenia $|D I| = \frac{1}{2} |D S|$ , czyli skala podobieństwa $k = \frac{1}{2}$ .

Oznaczmy objętość części ściętej czworościanu przez $V_{s}$ , a objętość bryły, która pozostała po ścięciu przez $V_{p}$ .

Mamy zależność $\frac{V_{s}}{V} = {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}$ . Stąd $V_{s} = \frac{1}{8} V$ , czyli $V_{p} = \frac{7}{8} V$ , a stąd $V = \frac{8}{7} V_{p} = \frac{8}{7} \cdot 77 = 88 {cm}^{3}$ .

Przykład 5

Stella octangulastella octangulaStella octangula wpisana jest w sześcian o objętości $V$ . Wyznaczymy stosunek objętości sześcianu do objętości $V_{s}$ stelli octanguli.

Rozwiązanie:

R1UV9RX1kzkDt

Ilustracja przedstawia wielościan gwiaździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych wpisany w sześcian.

Objętość stelli octanguli znajdziemy dodając do objętości czworościanu $V_{1}$ wpisanego w sześcian, którego krawędź jest przekątną sześcianu, objętość czterech mniejszy czworościanów foremnych o objętości $V_{2}$ :

$V_{s} = V_{1} + 4 V_{2}$ , których krawędź jest połową krawędzi czworościanu większego jako połowa długości przekątnej kwadratu.

Z Przykładu 4. wynika, że $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{1}{8}$ . Podstawiając otrzymujemy $V_{s} = V_{1} + 4 V_{2} = V_{1} + 4 \frac{1}{8} V_{1} = \frac{3}{2} V_{1}$ . Następnie korzystając z Przykładu 2. stosunek objętości sześcianu do objętości dużego czworościanu wynosi $\frac{V}{V_{1}} = \frac{3}{1}$ . W konsekwencji $\frac{V}{V_{s}} = \frac{3 V_{1}}{\frac{3}{2} V_{1}} = \frac{2}{1}$ .

Przykład 6

Łącząc odpowiednio środki krawędzi o długości $a$ czworościanu foremnego otrzymamy ośmiościan foremnyośmiościan foremnyośmiościan foremny. Wyznaczymy stosunek objętości tego czworościanu do objętości ośmiościanu.

Rozwiązanie:

RqBsCtXPfwkZG

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o krawędzi długości a. Środki krawędzi oznaczono literami EFGJLK. Połączono te punkty tworząc ośmiościan foremny. Obok znajduję się czworościan foremny o długości a pół.

Zauważmy, że ośmiościan tworzą dwa przystające ostrosłupy o podstawie kwadratu, którego bok wynosi $\frac{a}{2}$ , połączone podstawami.

Krawędzie ostrosłupów mają również długość $\frac{a}{2}$ .

Zatem objętość ośmiościanu $V = 2 V_{o} = 2 \cdot \frac{1}{3} P_{p} H$ , gdzie $P_{p}$ to pole podstawy ostrosłupa, a $H$ jego wysokość.

Pole podstawy $P_{p} = {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{a^{2}}{4}$ .

Wyznaczymy długość odcinka $O K$ :

$|O K| = \frac{\frac{a}{2}}{2} \sqrt{2} = \frac{a}{4} \sqrt{2}$ . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $F O K$ otrzymujemy $\frac{a^{2}}{4} = H^{2} + {(\frac{a}{4} \sqrt{2})}^{2}$ .

Stąd $H^{2} = \frac{a^{2}}{4} - \frac{2 a^{2}}{16} = \frac{2 a^{2}}{16} = \frac{a^{2}}{8}$ , więc $H = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$ .

Podstawiając do wzoru otrzymujemy $V = 2 V_{o} = 2 \cdot \frac{1}{3} P_{p} H = \frac{2}{3} \cdot \frac{a^{2}}{4} \cdot \frac{a}{2 \sqrt{2}} = \frac{a^{3}}{12 \sqrt{2}}$ .

Korzystając z Przykładu 1. objętość czworościanu wyraża się wzorem $V_{c z} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ , zatem $\frac{V_{c z}}{V} = \frac{\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}}{\frac{a^{3}}{12 \sqrt{2}}} = \frac{2}{1}$ .

Przykład 7

Na czworościanie foremnym opisano kulę. Wyznaczymy stosunek objętości tej kuli do objętości czworościanu.

Rozwiązanie:

R1vX7OU47tWNY

Ilustracja przedstawia czworościan foremny ABCD. Zaznaczono wysokość czworościanu H tworzy ona z podstawą punkt S. Punkt F jest środkiem krawędzi BC. Połączono punkty tworząc trójkąt DSF. Z punktu A do krawędzi trójkąta DF poprowadzono prostą prostopadłą tworząc punkt E.

Niech $a$ oznacza długość krawędzi czworościanu, a $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ wysokość jego ściany.

Korzystając z Przykładu 1. wysokość czworościanu wynosi $H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Punkt $O$ jest punktem przecięcia się wysokości i zarazem środkiem kuli opisanej na tym czworościanie.

Niech $R$ oznacza długość odcinka $D O$ .

Trójkąty $D S F$ i $D E O$ są trójkątami prostokątnymi (kąt prosty trójkąta $D E O$ to kąt $D E O$ , a trójkąta $D S F$ kąt $D S F$ ) posiadającymi wspólny kąt $O D E$ .

Stąd wynika, że są podobne. Zachodzi więc $\frac{R}{\frac{2}{3} h} = \frac{h}{H}$ , czyli $R = \frac{2}{3} h \frac{h}{H} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{a \sqrt{6}} = \frac{3 a}{2 \sqrt{6}} = \frac{3 a \sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

Stosunek objętości kuli opisanej na czworościanie foremnym do objętości tego czworościanu to $\frac{V_{k}}{V_{c z}} = \frac{\frac{4}{3} π R^{3}}{\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}} = \frac{4 \cdot 12}{3} \cdot \frac{π}{a^{3} \sqrt{2}} \cdot {(\frac{a \sqrt{6}}{4})}^{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ .

Dwa ostatnie przykłady dotyczą pojęcia wielościanu dualnegowielościan dualnywielościanu dualnego.

Przykład 8

Wyznaczymy stosunek objętości czworościanu dualnego (wewnętrznego) do objętości czworościanu foremnego pierwotnego (zewnętrznego).

Rozwiązanie:

RvuwhqMfGsvLY

Ilustracja przedstawia czworościan foremny ABCD. Zaznaczono wysokość podstawy AH oraz ściany bocznej DH. W czworościan wpisano kolejny czworościan wewnętrzny GESF.

Wyznaczymy skalę podobieństwa między ścianą boczną czworościanu foremnego zewnętrznego, a ścianą boczną czworościanu foremnego wewnętrznego.

Trójkąty prostokątne $D S H$ i $D O F$ są podobne, ponieważ mają wspólny kąt $O D F$ .

Stąd $\frac{|O F|}{|F D|} = \frac{|S H|}{|H D|}$ .

Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy $\frac{|O F|}{|F D|} = \frac{\frac{1}{3} h}{h} = \frac{1}{3}$ , gdzie $h$ oznacza wysokość trójkąta równobocznego – ściany zewnętrznego czworościanu foremnego.

Skala podobieństwa jest $k = \frac{1}{3}$ , zatem stosunek objętości tych czworościanów wyraża się zależnością:

$\frac{V_{d}}{V} = {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27}$ , gdzie $V_{d}$ oznacza objętość czworościanu dualnego (wewnętrznego).

Przykład 9

W czworościanie dualnym wpisano następny czworościan foremny dualny do niego. Jaki jest stosunek objętości tego „podwójnie dualnego” czworościanu foremnego do pierwotnego czworościanu?

Rozwiązanie:

$\frac{V_{d}}{V} = {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27}$ i $\frac{V_{d d}}{V_{d}} = {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{3^{3}}$ , stąd $\frac{V_{d d}}{V} = {(\frac{1}{3})}^{3} \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{3^{6}}$ .

Słownik

czworościan foremny

czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi

ośmiościan foremny

wielościan foremny o $8$ ścianach będącymi przystającymi trójkątami równobocznymi

stella octangula

wielościan gwiaździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych

wielościan dualny

wielościan zbudowany w ten sposób, że wierzchołek wielościanu dualnego leży w środku ciężkości ściany wielościanu pierwotnego, a jego krawędzie powstają przez połączenie środków ciężkości dwóch sąsiednich ścian

Wprowadzenie

Animacja 3D

Słownik