Przeczytaj
Warto przeczytać
Krzywa obiekt geometryczny, którego szczególnym przypadkiem jest prosta. Ma różne cechy, których prostej „brakuje”, jak chociażby krzywizna czy punkt przegięcia. Niektóre krzywe mają swoje nazwy, na przykład: parabola, hiperbola, okrąg, elipsa, spirala itp.
Jeśli krzywa jest wykresem funkcji, może mieć punkty, które w ustalonym układzie współrzędnych interpretujemy jako minima czy maksima tej funkcji. Tego też w przypadku prostej nie zaobserwujemy.
Krzywą najłatwiej jest opisać wzorem w postaci zależności typu , gdzie wartości zmiennej są odkładane na osi poziomej, a zmiennej , na pionowej. Symbole , , , … to parametry tej zależności, jak np. we wzorze dla paraboli: .
Krzywa GaussaKrzywa Gaussa ma dwa parametry: oraz (sigma) i opisana jest zależnością
Często korzysta się z prostszej postaci krzywej Gaussakrzywej Gaussa dla wartości parametrów: = 0, = 1:
We wzorach tych jeden symbol może być dla Ciebie nowy: to liczba niewymierna, której wartość z wystarczającą dla nas dokładnością wynosi 2,718281828459. Liczba to podstawa logarytmów naturalnych, ale dla naszych celów wystarczy wiedzieć, że to po prostu liczba (większa niż 2, mniejsza niż 3), której wartość znamy.
Popatrzmy uważnie na te wzory, bo z nich wynikają ważne własności krzywej Gaussakrzywej Gaussa.
Pierwszy czynnik to liczba, którą łatwo możemy policzyć, jeśli znamy wartość .
Drugi czynnik zawiera potęgowanie liczby większej od 1. Wykładnik jest ujemny, a więc im większa jego wartość bezwzględna, tym mniejszy drugi czynnik.
Ułamek w wykładniku ma w liczniku i mianowniku wyrażenia w kwadracie, a więc zawsze będzie miał wartości nieujemne. Z parzystości funkcji kwadratowej mamy bardzo ważny wniosek: krzywa Gaussa jest symetryczna względem prostej .
Teraz już pora na pokazanie krzywych Gaussakrzywych Gaussa dla różnych wartości parametrów:
Zauważ, że
Każda z krzywych rozciąga się od minus do plus nieskończoności (co ciężko oddać ze względu na szybkie malenie funkcji rozkładu do zera w miarę zwiększania różnicy między argumentem a parametrem a)
Im mniejsza jest wartość parametru (sigma), tym węższa jest krzywa i tym wyżej sięga maksimum krzywej.
Parametr określa przesunięcie maksimum krzywej względem zera na osi x (Uwaga: jest to uniwersalna własność wykresów funkcji).
Pole obszaru między osią x a krzywą nie zależy od wartości parametrów - jest zawsze takie samo. Możesz to ocenić jedynie „na oko”, ale zapewniam Cię, że tak właśnie jest.
(Uwaga: współczynnik odwrotnie proporcjonalny do szerokości krzywej odpowiada właśnie za to - oryginalną funkcję wykładniczą podzielono przez pole pod jej wykresem.
Jest to jeden z przypadków normowania funkcji. Na dość wysokim poziomie jest to analogiczne do znajdowania wersora (wektora jednostkowego) dla danego niezerowego wektora - tylko obliczenie długości wektora jest zwykle prostsze niż obliczenie pola pod wykresem funkcji. Ale znów - na bardzo wysokim poziomie jest to praktycznie to samo...)
Ale dlaczego krzywa Gaussakrzywa Gaussa jest taka ważna? Odpowiem natychmiast: bo umożliwia w prosty i jednolity sposób oszacować dokładności wszelkich pomiarów, a także opisać bardzo wiele procesów zachodzących w przyrodzie. To mocne stwierdzenie i z pewnością wymaga wyjaśnienia.
Weźmy więc za przykład czynność najprostszą i codzienną, a taką na pewno jest chodzenie. Ale czy wiesz, jaka jest długość Twojego kroku? To zależy, odpowiesz. Jest większa, jak się spieszę i mniejsza, jak spaceruję. A jak często Twoje kroki są długie, jak często krótkie. Nie wiesz? A ja wiem.
Gdybyś mierzył długość swych kroków w ciągu jakiegoś czasu, np. miesiąca (byłoby ich zapewne tysiące), to można byłoby wyliczyć ich średnią długość. Poszczególne długości byłyby jednak „porozrzucane” wokół tej średniej, większość w pobliżu, ale sporo większe i mniejsze też by się zdarzały. Chcę Ci więc powiedzieć, że rozkład odstępstw długości Twych kroków od średniej opisywany jest krzywą Gaussakrzywą Gaussa. Rzecz jasna dotyczy to także nas wszystkich, chociaż każdy ma inną średnią i inny rozrzut.
Ta średnia i ten rozrzut to właśnie parametry krzywej Gaussakrzywej Gaussa: średnia to , rozrzut to , natomiast wysokość krzywej pokazuje, jak często dane odstępstwo od średniej się zdarza; jeśli często, to wysokość jest mniejsza, jeśli rzadko, to większa. Wiedz też, że bardzo dużo procesów, w których na wynik ma wpływ wiele różnych czynników, opisanych jest krzywą Gaussakrzywą Gaussa, jak chociażby rozrzut czasu jazdy autobusu na danej trasie, czy liczby pasażerów w autobusie.
Przykłady można mnożyć, ale najbardziej klasycznym, a dla nas najważniejszym, jest proces powstawania błędów przypadkowych w pomiarach. Nieważne, co mierzysz: długość, czas, masę, prędkość, ciśnienie, temperaturę… Kiedy na wynik pomiaru mają wpływ różne czynniki o charakterze przypadkowym, to rozrzut odpowiednio dużej liczby wyników pojedynczych pomiarów wokół wartości mierzonej będzie zgodny z krzywą Gaussakrzywą Gaussa (i im większa liczba tych wyników, tym lepsza zgodność). Ułatwia to w zasadniczy sposób ocenę dokładności pomiarów, pozwala porównywać pomiary wykonywane rożnymi przyrządami i metodami, umożliwia jednolity dla wszystkich na świecie ich opis.
Gdyby wydzielić grupę pomiarów, które mieszczą się w zakresie odległym od wartości średniej mniej niż wartość jednej sigmy, to okazałoby się, że takich pomiarów jest około 68,3 procent, w granicach dwóch sigm mieści się 95,5 procent, a w granicach trzech mieści się 99,7 procent (Rys. 2.). Odległość od wartości średniej równa wartości jednej sigmy to odchylenie standardoweodchylenie standardowe. Wartość tego odchylenia można łatwo wyliczyć znając wartości wyników pomiarów: długości kroków, czasu jazdy autobusu itd. Ważne jest, że mając tak wyliczone odchylenie standardoweodchylenie standardowe i wiedząc, że jest to równocześnie parametr krzywej Gaussa, wiemy wszystko o rozkładzie interesującej nas wielkości i nie musimy dla każdego przypadku szukać oddzielnego rozwiązania. Tu jest właśnie geniusz Gaussa, który już w młodości, jak wiesz, umiał upraszczać wykonywanie obliczeń.
Więcej o rozkładzie Gaussa i odchyleniu standardowym dowiesz się z e‑materiału „Rozkład normalny”.
Słowniczek
(ang. Gaussian curve) krzywa określona wzorem Gaussa , gdzie i są parametrami. Krzywa przypomina kształt dzwonu i jest symetryczna względem punktu . Parametr określa szerokość i wysokość krzywej. Pole pod krzywą Gaussa wynosi 1, niezależnie od wartości parametrów. Krzywa Gaussa ma bardzo szerokie zastosowanie w statystyce i analizie niepewności pomiarowych.
(ang. standard deviation) to parametr krzywej Gaussa, który określa szerokość i wysokość krzywej. Może poprzyjmować tylko nieujemne wartości.