Warto przeczytać

Krzywa obiekt geometryczny, którego szczególnym przypadkiem jest prosta. Ma różne cechy, których prostej „brakuje”, jak chociażby krzywizna czy punkt przegięcia. Niektóre krzywe mają swoje nazwy, na przykład: parabola, hiperbola, okrąg, elipsa, spirala itp.

Jeśli krzywa jest wykresem funkcji, może mieć punkty, które w ustalonym układzie współrzędnych interpretujemy jako minima czy maksima tej funkcji. Tego też w przypadku prostej nie zaobserwujemy.

Krzywą najłatwiej jest opisać wzorem w postaci zależności typu $y=f\left(x;a,b,c,\dots \right)$, gdzie wartości zmiennej $x$ są odkładane na osi poziomej, a zmiennej $y$, na pionowej. Symbole $a$, $b$, $c$, … to parametry tej zależności, jak np. we wzorze dla paraboli: $y=a{x}^2+bx+c$.

Krzywa GaussaKrzywa GaussaKrzywa Gaussa ma dwa parametry: $a$ oraz $\sigma$ (sigma) i opisana jest zależnością

Często korzysta się z prostszej postaci krzywej GaussaKrzywa Gaussakrzywej Gaussa dla wartości parametrów: $a$ = 0, $\sigma$ = 1:

We wzorach tych jeden symbol może być dla Ciebie nowy: $e$ to liczba niewymierna, której wartość z wystarczającą dla nas dokładnością wynosi 2,718281828459. Liczba $e$ to podstawa logarytmów naturalnych, ale dla naszych celów wystarczy wiedzieć, że to po prostu liczba (większa niż 2, mniejsza niż 3), której wartość znamy.

Popatrzmy uważnie na te wzory, bo z nich wynikają ważne własności krzywej GaussaKrzywa Gaussakrzywej Gaussa.

1. Pierwszy czynnik to liczba, którą łatwo możemy policzyć, jeśli znamy wartość $\sigma$.

2. Drugi czynnik zawiera potęgowanie liczby większej od 1. Wykładnik jest ujemny, a więc im większa jego wartość bezwzględna, tym mniejszy drugi czynnik.

3. Ułamek w wykładniku ma w liczniku i mianowniku wyrażenia w kwadracie, a więc zawsze będzie miał wartości nieujemne. Z parzystości funkcji kwadratowej mamy bardzo ważny wniosek: krzywa Gaussa jest symetryczna względem prostej $x=a$.

Teraz już pora na pokazanie krzywych GaussaKrzywa Gaussakrzywych Gaussa dla różnych wartości parametrów:

Rl3HsCtMN22p0

Rys. 1. Rysunek przedstawia wykresy funkcji Gaussa dla różnych, zadanych jej parametrów. Zaprezentowany jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i przedstawia wartości mała litera y równa się funkcja mała litera f od parametrów mała litera x średnik mała litera a średnik i sigma. Parametry zostały ujęte w nawiasie kwadratowym. Na pionowej osi układu zaznaczono wartości od zera do ośmiu dziesiątych, co jedną dziesiątą. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i opisana jest małą literą x. Na osi tej zaznaczono wartości od minus siedmiu do plus siedmiu, co jeden. W układzie widoczne są cztery funkcje narysowane ciągłymi liniami o różnych kolorach. Wszystkie funkcje przedstawiają krzywe Gaussa o różnych parametrach. Wszystkie funkcje przyjmują wartości równe zero dla większości przedziału mała litera x, poza pewnym wybranym obszarem, gdzie funkcje osiągają wartości maksymalne. Czerwoną linią narysowano funkcję, która dla mała litera x równe zero przyjmuje wartość maksymalną równą cztery dziesiąte. Funkcja jest symetryczna w przedziale mała litera x od około minus dwa i pięć dziesiątych do plus dwa i pięć dziesiątych. Parametry tej funkcji to mała litera a równa się zero i sigma równa się jeden. Szarą linią narysowano funkcję, która dla mała litera x równe zero przyjmuje wartość maksymalną równą osiem dziesiątych. Funkcja jest symetryczna w przedziale mała litera x od około minus dwa do plus dwa. Parametry tej funkcji to mała litera a równa się zero i sigma równa się pięć dziesiątych. Zieloną linią narysowano funkcję, która dla mała litera x równe zero przyjmuje wartość maksymalną równą dwie dziesiąte. Funkcja jest symetryczna w przedziale mała litera x od około minus pięć do plus pięć. Parametry tej funkcji to mała litera a równa się zero i sigma równa się dwa. Niebieską linią narysowano funkcję, która dla mała litera x równe pięć i pięć dziesiątych przyjmuje wartość maksymalną równą cztery dziesiąte. Funkcja jest symetryczna w przedziale mała litera x od około plus trzy do plus osiem. Parametry tej funkcji to mała litera a równa się sześć i sigma równa się jeden.

Zauważ, że

1. Każda z krzywych rozciąga się od minus do plus nieskończoności (co ciężko oddać ze względu na szybkie malenie funkcji rozkładu do zera w miarę zwiększania różnicy między argumentem a parametrem a)

2. Im mniejsza jest wartość parametru $\sigma$ (sigma), tym węższa jest krzywa i tym wyżej sięga maksimum krzywej.

3. Parametr $a$ określa przesunięcie maksimum krzywej względem zera na osi x (Uwaga: jest to uniwersalna własność wykresów funkcji).

4. Pole obszaru między osią x a krzywą nie zależy od wartości parametrów - jest zawsze takie samo. Możesz to ocenić jedynie „na oko”, ale zapewniam Cię, że tak właśnie jest.

Ale dlaczego krzywa GaussaKrzywa Gaussakrzywa Gaussa jest taka ważna? Odpowiem natychmiast: bo umożliwia w prosty i jednolity sposób oszacować dokładności wszelkich pomiarów, a także opisać bardzo wiele procesów zachodzących w przyrodzie. To mocne stwierdzenie i z pewnością wymaga wyjaśnienia.

Weźmy więc za przykład czynność najprostszą i codzienną, a taką na pewno jest chodzenie. Ale czy wiesz, jaka jest długość Twojego kroku? To zależy, odpowiesz. Jest większa, jak się spieszę i mniejsza, jak spaceruję. A jak często Twoje kroki są długie, jak często krótkie. Nie wiesz? A ja wiem.

Gdybyś mierzył długość swych kroków w ciągu jakiegoś czasu, np. miesiąca (byłoby ich zapewne tysiące), to można byłoby wyliczyć ich średnią długość. Poszczególne długości byłyby jednak „porozrzucane” wokół tej średniej, większość w pobliżu, ale sporo większe i mniejsze też by się zdarzały. Chcę Ci więc powiedzieć, że rozkład odstępstw długości Twych kroków od średniej opisywany jest krzywą GaussaKrzywa Gaussakrzywą Gaussa. Rzecz jasna dotyczy to także nas wszystkich, chociaż każdy ma inną średnią i inny rozrzut.

Ta średnia i ten rozrzut to właśnie parametry krzywej GaussaKrzywa Gaussakrzywej Gaussa: średnia to $a$, rozrzut to  $\sigma$, natomiast wysokość krzywej pokazuje, jak często dane odstępstwo od średniej się zdarza; jeśli często, to wysokość jest mniejsza, jeśli rzadko, to większa. Wiedz też, że bardzo dużo procesów, w których na wynik ma wpływ wiele różnych czynników, opisanych jest krzywą GaussaKrzywa Gaussakrzywą Gaussa, jak chociażby rozrzut czasu jazdy autobusu na danej trasie, czy liczby pasażerów w autobusie.

Przykłady można mnożyć, ale najbardziej klasycznym, a dla nas najważniejszym, jest proces powstawania błędów przypadkowych w pomiarach. Nieważne, co mierzysz: długość, czas, masę, prędkość, ciśnienie, temperaturę… Kiedy na wynik pomiaru mają wpływ różne czynniki o charakterze przypadkowym, to rozrzut odpowiednio dużej liczby wyników pojedynczych pomiarów wokół wartości mierzonej będzie zgodny z krzywą GaussaKrzywa Gaussakrzywą Gaussa (i im większa liczba tych wyników, tym lepsza zgodność). Ułatwia to w zasadniczy sposób ocenę dokładności pomiarów, pozwala porównywać pomiary wykonywane rożnymi przyrządami i metodami, umożliwia jednolity dla wszystkich na świecie ich opis.

Gdyby wydzielić grupę pomiarów, które mieszczą się w zakresie odległym od wartości średniej mniej niż wartość jednej sigmy, to okazałoby się, że takich pomiarów jest około 68,3 procent, w granicach dwóch sigm mieści się 95,5 procent, a w granicach trzech mieści się 99,7 procent (Rys. 2.). Odległość od wartości średniej równa wartości jednej sigmy to odchylenie standardoweOdchylenie standardoweodchylenie standardowe. Wartość tego odchylenia można łatwo wyliczyć znając wartości wyników pomiarów: długości kroków, czasu jazdy autobusu itd. Ważne jest, że mając tak wyliczone odchylenie standardoweOdchylenie standardoweodchylenie standardowe i wiedząc, że jest to równocześnie parametr krzywej Gaussa, wiemy wszystko o rozkładzie interesującej nas wielkości i nie musimy dla każdego przypadku szukać oddzielnego rozwiązania. Tu jest właśnie geniusz Gaussa, który już w młodości, jak wiesz, umiał upraszczać wykonywanie obliczeń.

R16gYfRLaEp6O

Rys. 2. Na rysunku przedstawione są wykresy funkcji Gaussa dla parametrów mała litera a równa zero i mała grecka litera sigma równa jeden. Zaprezentowany jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i przedstawia wartość funkcji. Na osi wartości zaznaczono wartości od zera do pięciu dziesiątych, co jedna dziesiąta. Oś pozioma skierowana jest w prawo i podpisano ją małą literą x. Na osi poziomej zaznaczono wartości od minus czterech do plus pięciu, co jeden. W układzie widoczna jest funkcja Gaussa narysowana czerwoną ciągłą linią. Funkcja osiąga maksimum równe cztery dziesiąte dla argumentu mała litera x równe zero. Funkcja rośnie od zera do wartości maksymalnej w przedziale mała litera x od minus trzech do zera. Funkcja maleje od wartości maksymalnej do zera w przedziale mała litera x od zera do plus trzech. Na wykresie zaznaczono poziomymi, dwustronnymi, niebieskimi strzałkami szerokość przedziału mała litera x, gdzie pole powierzchni pod krzywą zajmuje określną cześć całego pola pod krzywą. Dziewięćdziesiąt dziewięć i siedem dziesiątych procent pola znajduje się w przedziale moduł z mała litera x mniejsze od trzech sigma, co przekłada się na przedział mała litera x od minus trzech do plus trzech. Dziewięćdziesiąt pięć i pięć dziesiątych procent pola znajduje się w przedziale moduł z mała litera x mniejsze od dwóch sigma, co przekłada się na przedział mała litera x od minus dwóch do plus dwóch. Sześćdziesiąt siedem i trzy dziesiąte procent pola znajduje się w przedziale moduł z mała litera x mniejsze od jeden sigma, co przekłada się na przedział mała litera x od minus jeden do plus jeden.

Więcej o rozkładzie Gaussa i odchyleniu standardowym dowiesz się z e‑materiału „Rozkład normalny”.

Słowniczek