Warto przeczytać

Wizja Archimedesa, aby mając punkt podparcia, z pomocą dźwigni podnieść ciężar, którego masa jest tak ogromna, jak masa naszego globu, jest oczywiście nierealizowalna. Nie o to tu jednak chodzi. Prawdopodobnie też Archimedes nie chciał podnosić Ziemi, ale raczej pokazać potencjalnie nieograniczone możliwości dźwigni. Przypomnijmy więc pokrótce, „o co w dźwigni chodzi”.

RfqY3tr7TLE2w

Rys. 1. Rysunek przedstawia dźwignię dwustronną. Jest to poziomy pręt podparty trójkątnym klockiem, skierowanym wierzchołkiem do góry. Punkt podparcia leży bliżej lewego końca pręta. Między punktem podparcia i lewym końcem pręta narysowano poziomy wektor skierowany w lewo i oznaczony literą małe r z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią. Do lewego końca pręta przyłożony jest pionowy wektor, skierowany w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią. Między punktem podparcia i prawym końcem pręta narysowano poziomy wektor skierowany w prawo i oznaczony literą małe r z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. Do prawego końca pręta przyłożony jest pionowy wektor, skierowany w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. Wektor wielkie F z indeksem dolnym 2 ma mniejszą długość niż wektor wielkie F z indeksem dolnym 1.

Dźwignia jest w równowadze, kiedy równe są momenty sił działających na nią z obu stron punktu podparcia (zobacz schemat), to znaczy kiedy

Pomiędzy siłami i ich ramionami są kąty proste, więc możemy to równanie zapisać w postaci skalarnej jako

albo, jako klasyczny zapis proporcji:

Zależność pomiędzy działającym na dźwignię siłami ma postać:

Jest to zależność wprost proporcjonalnaProporcjonalność wprostwprost proporcjonalna, gdzie współczynnik proporcjonalności jest stosunkiem ramion siły drugiej do pierwszej. Zapisujemy to następująco:

W praktyce oznacza to, że kiedy rośnie $x$ (siła $F_{2}$), to rośnie także $y$ (siła $F_{1}$), a współczynnik proporcjonalności mówi, ile razy $y$ jest większe od $x$. Kiedy współczynnik proporcjonalności ma wartość większą od 1, to $y$ rośnie szybciej niż $x$, kiedy mniejszą, to rośnie wolniej. Kiedy ma wartość dodatnią, to wartości $y$ są dodatnie. Mówimy wtedy, że jest to zależność rosnącaFunkcja monotonicznazależność rosnąca. Kiedy ma wartość ujemną, to wartości $y$ też zwiększają się, ale w stronę wartości ujemnych. Mówimy, że jest to zależność malejącaFunkcja monotonicznazależność malejąca.

Zależność siły od długości jej ramienia, ma postać:

Wartość siły jest odwrotnie proporcjonalnaProporcjonalność odwrotnaodwrotnie proporcjonalna do długości jej ramienia, a współczynnikiem proporcjonalności jest wartość momentu siły $F_{2}$. Tę odwrotną proporcjonalność zapisujemy następująco:

W praktyce oznacza to, że kiedy rośnie $x$ (ramię siły $F_{1}$), to maleje $y$ (siła $F_{1}$), a współczynnik proporcjonalności równy jest iloczynowi $x\cdot y$. Kiedy więc dwukrotnie zwiększymy długość ramienia, to do utrzymania równowagi dźwigni wystarczy dwukrotnie mniejsza siła.

Dźwignia należy do najbardziej popularnych maszyn prostych. Podajmy kilka przykładów z codziennego życia: klamka, obcęgi, sekatory, nożyce, dziadek do orzechów itp. Kontynuuj jeszcze to wyliczanie…

Na przykładzie dźwigni, wprowadziliśmy terminy, stanowiące treść naszego e‑materiału: zależności rosnące i malejące, proporcjonalnośćProporcjonalnośćproporcjonalność prosta i odwrotna. Teraz powiemy o nich więcej.

Zaczniemy od zależności najprostszych, których wykres jest linią prostą.

Wiesz, że wtedy nazywamy to zależnością liniową. Opisująca ją funkcja także nazywa się funkcją liniową. Rozróżniamy trzy przypadki, związane z monotonicznością funkcjiFunkcja monotonicznamonotonicznością funkcji:

a) Linia poniżej przedstawia liniową funkcję rosnącą. Wykres wskazuje nam, że ze wzrostem zmiennej niezależnej $x$ zawsze związany jest wzrost zmiennej zależnej $y$. Podobnie jest w przypadku, gdy wartości tych zmiennych maleją. Ogólnie więc mówimy, że zmiany wartości $\Delta x$ oraz $\Delta y$ mają ten sam znak.

Zmiany te są do siebie proporcjonalne: $\Delta y=a\cdot\Delta x$, przy czym współczynnik proporcjonalności $a\gt 0$.

Rz6yzwvVALvGV

Rys. 2. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono x, na osi pionowej y. Wykres jest linią prostą, skierowaną ukośnie w górę i w prawo i przecinającą oś y powyżej punktu przecięcia osi. Od wybranego punktu na wykresie narysowano poziomą strzałkę skierowaną w prawo i opisaną nierównością: delta x jest większe od zera. Przy końcu tej strzałki narysowano przerywaną linią pionowy odcinek o początku na osi x i o końcu w punkcie na wykresie, leżącym powyżej wybranego punktu. Od końca przerywanego odcinka poprowadzono przerywaną linią poziomy odcinek kończący się na osi y. Od wybranego punktu na wykresie narysowano pionową strzałkę skierowaną do góry, kończącą się na poziomym przerywanym odcinku i opisaną nierównością: delta y jest większe od zera.

b) Linia poniżej jest z kolei przykładem wykresu liniowej funkcji malejącej. Wykres pokazuje, że ze wzrostem zmiennej niezależnej $x$ zawsze związany jest spadek wartości zmiennej zależnej $y$ (lub odwrotnie). Ogólnie mówimy, że zmiany wartości $\Delta x$ oraz $\Delta y$ mają przeciwne znaki.

Zmiany te także są do siebie proporcjonalne: $\Delta y=a\cdot\Delta x$, ale współczynnik proporcjonalności $a \lt 0$.

RT0M1aGwudMNE

Rys. 3. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono x, na osi pionowej y. Wykres jest linią prostą, skierowaną ukośnie w dół i w prawo i przecinającą oś y wysoko powyżej punktu przecięcia osi. Od wybranego punktu na wykresie narysowano pionową strzałkę skierowaną w dół i opisaną nierównością: delta y jest mniejsze od zera. Przy końcu tej strzałki narysowano poziomą strzałkę skierowaną w prawo i kończącą się w punkcie na wykresie. Pozioma strzałka opisana jest nierównością: delta x jest większe od zera.

c) Linia na wykresie może być równoległa do osi odciętych; obrazuje ona wtedy funkcję stałą. Taki wykres oznacza, że zmiana argumentu funkcji (czyli zmiennej niezależnej) nie powoduje zmiany wartości funkcji (czyli zmiennej zależnej). Z tego wynika prosty wniosek: wykreślane zmienne są od siebie niezależne.

Można to zapisać podobnie, jak w poprzednich dwóch przypadkach: $\Delta y=a\cdot\Delta x$, ale teraz $a=0$. Interpretacja jest prosta: bez względu na zmianę $x$, zmiana $y$ jest zawsze zerowa, bo $y$ od $x$ nie zależy.

R15BMdoZuoJjr

Rys. 4. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono x, na osi pionowej y. Wykres jest poziomą linią prostą.

Zależność liniowa i zależność proporcjonalna

Jeśli dwie wielkości fizyczne, nazwijmy je $x$ oraz $y$, są od siebie zależne liniowo, to zależność tę przedstawiamy najogólniej za pomocą funkcji liniowej o postaci:

Współczynnik kierunkowy $a$ decyduje o tym, czy funkcja opisuje zależność rosnącą (czyli $a \gt 0$), malejącą ($a \lt 0$), czy brak zależności ($a=0$ – funkcja stała). Współczynnik kierunkowy jest tożsamy ze współczynnikiem proporcjonalności, o którym wspominaliśmy w poprzednim punkcie.

Wyraz wolny $b$ pokazuje punkt przecięcia wykresu funkcji z osią rzędnych (tzw. osią y). Czasami mówi się, że „$b$ jest wartością, jaką przyjmuje $y$, gdy $x=0$” albo „$b$ jest wartością początkową $y$”. Na rysunku pokazano funkcję liniową z ujemną wartością $b$:

R1Ayrj2wHqNBw

Rys. 5. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono x, na osi pionowej y. Wykres jest linią prostą, skierowaną ukośnie w górę i w prawo i przecinającą oś y poniżej punktu przecięcia się osi x i y. Punkt przecięcia osi y oznaczono literą małe b.

Zależność proporcjonalna to szczególna zależność liniowa, w której wyraz wolny $b=0$.

W fizyce bardzo często mamy do czynienia z sytuacją, w której zmienna niezależna $x$ jest przyczyną jakiegoś zjawiska, a zmienna zależna $y$ opisuje skutek (lub jeden ze skutków). Związek przyczynowo‑skutkowy w tym zjawisku może być opisywany liniową funkcją $y(x)$. Co sądzisz o przekonaniu, że „przy zerowej przyczynie powinien występować zerowy skutek”? Jest ono intuicyjnie zrozumiałe. Tak może być tylko, gdy wyraz wolny b w zależności liniowej jest równy zero. Funkcja liniowa przybiera wtedy postać funkcji proporcjonalnej:

a jej wykres przechodzi przez punkt (0; 0) układu współrzędnych, jak na rysunku:

RQfbUnREGxt0x

Rys. 6. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono x, na osi pionowej y. Wykres jest linią prostą, skierowaną ukośnie w górę i w prawo i przecinającą oś y w punkcie przecięcia osi.

Weźmy prosty przykład: druga zasada dynamiki Newtona stwierdza, że wypadkowa siła $F$ (przyczyna – $x$) działającą na ciało o masie $m$ wywołuje przyspieszenie $a$ tego ciała (skutek – $y$). Opisuje też zależność pomiędzy tymi wielkościami za pomocą funkcji:

Jest to funkcja liniowa, w której współczynnik kierunkowy $a$ jest odwrotnością masy $m$, zaś współczynnik wolny $b=0$. Zobaczysz to, porównując ten zapis z dwoma poprzednimi wzorami:

Przyjmujemy, że skutkiem zerowej siły wypadkowej jest ruch jednostajny ciała, czyli ruch z zerowym przyspieszeniem. Dlatego też przyjmujemy, że zależność przyspieszenia od wypadkowej siły jest nie tylko liniowa, ale wręcz proporcjonalna.

Nachylenie wykresu funkcji liniowej

Na rysunku widzisz wykresy dwóch funkcji liniowych, obie są rosnące. Obie mają wyrazy wolne $b$ o tej samej wartości. Jednak wykresy te nie pokrywają się, gdyż mają różne wartości współczynnika kierunkowego $a$. Opierając się na intuicji można stwierdzić, że funkcja (1) ma większe nachylenie (względem poziomej osi) niż funkcja (2), że jest bardziej od niej stroma.

R1HIogu2FjQ8t

Rys. 7. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono x, na osi pionowej y. W układzie współrzędnych narysowano 2 wykresy. Każdy z wykresów jest linią prostą, skierowaną ukośnie w górę i w prawo i przecinającą oś y w tym samym punkcie, leżącym powyżej punktu przecięcia osi. Wykres oznaczony cyfrą 1 jest bardziej stromy i tworzy większy kąt z osią x niż wykres oznaczony cyfrą 2.

Różnicę tę możesz potwierdzić obliczeniami. Nachylenie funkcji liniowej to nic innego, jak współczynnik kierunkowy tej funkcji. Jest ono więc stosunkiem zmiany wartości funkcji $\Delta y$ do zmiany wartości argumentu $\Delta x$:

Na marginesie: zwróć uwagę, że nachylenie funkcji może być ujemne (wtedy, gdy jest ona malejąca); może także wynosić zero (to przypadek funkcji stałej).

Wybierz teraz na osi x dowolne dwa punkty o odciętych $x_{p}$ i $x_{k}$. Na linii (1) odpowiadające im rzędne to odpowiednio $y_{1p}$ i $y_{1k}$, zaś na linii (2) tym samym odciętym odpowiadają rzędne $y_{2p}$ i $y_{2k}$.

RQjXzFL3sJWTt

Rys. 8. Narysowano obok siebie 2 jednakowe układy współrzędnych. W każdym z nich na osi poziomej odłożono x, na osi pionowej y. Wykresy w obu układach współrzędnych to linie proste, skierowane ukośnie w górę i w prawo i przecinającą oś y w tym samym punkcie, leżącym powyżej punktu przecięcia osi. Wykres położony z lewej strony, oznaczony cyfrą 1, jest bardziej stromy niż wykres z prawej strony, który jest oznaczony cyfrą 2. Na obu wykresach zaznaczono na osi x jednakowe punkty. Punkt leżący z lewej strony ma współrzędną oznaczoną literą x z indeksem dolnym p, punkt leżący z prawej strony ma współrzędną oznaczoną literą x z indeksem dolnym k. Od tych punktów poprowadzono do góry przerywane linie proste przecinające wykresy. Od punktów przecięcia pionowych linii z wykresami narysowano w lewo poziome linie przerywane. Punkty przecięcia tych linii z osią y w lewym układzie współrzędnych oznaczone są literami y z indeksem dolnym 1p oraz y z indeksem dolnym 1k. W prawym układzie współrzędnych punkty przecięcia poziomych, przerywanych linii z osią y oznaczone są literami y z indeksem dolnym 2p oraz y z indeksem dolnym 2k. W obu układach współrzędnych między liniami pionowymi narysowano jednakowe, poziome odcinki zakończone z obu stron strzałkami i oznaczone jako delta x. W układzie z lewej strony między liniami poziomymi narysowano pionowy odcinek zakończony z obu stron strzałkami i oznaczony jako delta y z indeksem dolnym 1. W układzie z prawej strony między liniami poziomymi narysowano odcinek zakończony z obu stron strzałkami i oznaczony jako delta y z indeksem dolnym 2. Odcinek delta y z indeksem dolnym 2 jest krótszy niż odcinek delta y z indeksem dolnym 1.

Mianowniki obu wyrażeń są jednakowe, bo wybraliśmy w nich tę samą parę $x_{p}$ i $x_{k}$. Nie ulega natomiast wątpliwości, że $\Delta y_{1} \gt \Delta y_{2}$ – odczytujemy to z wykresu. To zaś pociąga za sobą związek $a_{1} \gt a_{2}$, zgodny z intuicyjnym wyobrażeniem, że linia (1) jest bardziej stroma niż linia (2).

Rozpoznawanie i obliczanie nachylenia wykresu to umiejętności, które warto posiadać. Gdy funkcja liniowa (w tym funkcja proporcjonalna) opisuje jakąś zależność, to jej nachylenie jest na ogół związane z parametrem tej zależności. We wspomnianym już zagadnieniu zależności przyspieszenia ciała od wypadkowej siły nań działającej, takim parametrem jest masa ciała. Stwierdziliśmy, że współczynnik kierunkowy zależności $a(F)$, a zatem nachylenie wykresu tej funkcji, to odwrotność masy ciała. Tak więc, gdybyśmy przedstawili zależności $a(F)$ dla dwóch różnych ciał (lub większej ich liczby), to różnice w nachyleniu wykresów bezpośrednio oddawałyby różnice w ich masach: ciału o większej masie odpowiadałby wykres mniej stromy.

Wykres zależności może nie być linią prostą

Wtedy zależność, którą on opisuje, jest nieliniowa. W fizyce jest wiele takich zależności, niektóre z nich poznasz w trakcie nauki w szkole średniej. Można tu wymienić zależność kwadratową energii potencjalnej sprężystości od wydłużenia sprężyny, odwrotnie proporcjonalną zależność ciśnienia gazu od jego objętości w przemianie izotermicznej czy wykładniczą zależność liczebności próbki promieniotwórczej od upływającego czasu. Zależności te mają właściwości specyficzne, z których wiele poznasz na lekcjach matematyki oraz fizyki. Tutaj ograniczymy się do problematyki monotonicznościFunkcja monotonicznamonotoniczności i nachylenia funkcji nieliniowych.

Funkcja nieliniowa może być zarówno rosnąca jak i malejąca. Przyjrzyj się poniższemu wykresowi. Przedstawia on pewną funkcję $y(x)$ w dziedzinie $(x_{p},x_{k})$. Patrząc na ten wykres, pomyśl przez chwilę o przekroju górotworu. Patrz na obszary, w których wędrowiec „wchodzi” i na takie, w których „schodzi”.

ROdPrnhtAq4RT

Rys. 9. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono x, na osi pionowej y. W układzie współrzędnych narysowano wykres, który ma kształt fali. Wykres zaczyna się w punkcie o odciętej oznaczonej literą x z indeksem dolnym małe p i początkowo wznosi się w górę i w prawo. W punkcie o odciętej oznaczonej literą x z indeksem dolnym wielkie A wykres osiąga maksimum i dalej zaczyna opadać, kierując się w dół i w prawo. W punkcie o odciętej oznaczonej literą x z indeksem dolnym wielkie B wykres osiąga minimum i dalej rośnie, kierując się w górę i w prawo, aż do osiągnięcia końcowego, najwyższego punktu o odciętej oznaczonej literą x z indeksem dolnym k. Na początkowej części rosnącej wykresu zaznaczono 2 punkty oznaczone cyframi 1 i 2. Punkt oznaczony cyfrą 2 leży wyżej i dalej na prawo niż punkt oznaczony cyfrą 1. Punkt oznaczony cyfrą 1 ma współrzędne: x z indeksem dolnym 1 oraz y z indeksem dolnym 1. Punkt oznaczony cyfrą 2 ma współrzędne: x z indeksem dolnym 2 oraz y z indeksem dolnym 2.

Zgodzisz się, że na odcinku od początku dziedziny $x_{p}$ do punktu $x_{A}$ funkcja jest rosnąca – wartości funkcji są coraz większe w miarę wzrostu argumentu. Inaczej: dla każdej pary argumentów $x_{1}$ i $x_{2}$ należących do przedziału $(x_{p},x_{A})$ prawdą jest, że jeśli $x_{2} \gt x_{1}$ to odpowiadającą im parę $y_{2}$ i $y_{1}$ łączy ta sama relacja: $y_{2} \gt y_{1}$. Przyjrzyj się zapisowi tego faktu za pomocą symboli logicznych (czy znasz taki zapis?). Jest krótszy niż zapis słowny.

Przykład takiej pary punktów $(x_{1},y_{1})$ oraz $(x_{2},y_{2})$ pokazany jest na rysunku.

Z kolei w przedziale $(x_{A},x_{B})$ obowiązuje odwrotny związek: jeśli dowolna para argumentów należących do tego przedziału spełnia relacją $x_{2} \gt x_{1}$, to odpowiadającą im parę $y_{2}$ i $y_{1}$ łączy relacja odwrotna: $y_{2} \lt y_{1}$.

Funkcja nieliniowa może mieć lokalne ekstrema. Wróć do wyobrażenia o przekroju górotworu. Łatwo zapewne rozpoznać miejsca leżące „wysoko” i „nisko” – „szczyty” i „doliny”. Bez problemu zauważysz, że w punkcie $x_{p}$ funkcja przyjmuje swą najmniejszą wartość (w zadanej dziedzinie), zaś w punkcie $x_{k}$ największą. Ale te miejsca, to nie jest odpowiednio: dolina i szczyt.

Warto natomiast zwrócić uwagę na punkty $x_{A}$ oraz $x_{B}$. Stanowią one rozgraniczenie pomiędzy odcinkami, na których funkcja jest, kolejno, rosnąca, malejąca, po czym znów rosnąca. Są to, w przypadku naszej funkcji, tzw. ekstrema lokalne. W punkcie $x_{A}$ funkcja osiąga swe maksimum lokalne, zaś w $x_{B}$ osiąga lokalne minimum. Te właśnie dwa punkty są podobne do szczytu i doliny.

W fizyce takie punkty lokalnych ekstremów (minimów lub maksimów) na ogół znamionują pewien wyróżniony stan opisywanego procesu lub zjawiska. Przykładowo, gdy rozpatrujemy ruch ciała podrzuconego pionowo w górę w polu grawitacyjnym, to zależność współrzędnej położenia $y$ (której oś zwrócona jest przeciwnie do zwrotu przyspieszenia ziemskiego) od czasu $t$ przedstawia wykres.

RSuHO9GA4j6Ey

Rys. 10. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono małe t, na osi pionowej małe h. Wykres ma kształt paraboli, której ramiona skierowane są w dół. Wykres zaczyna się w punkcie przecięcia osi i wznosi się w prawo i w górę, aż do osiągnięcia maksimum. Punkt maksimum ma współrzędne: małe t z indeksem dolnym z oraz małe h z indeksem dolnym małe m.

W chwili $t_{z}$ wysokość osiąga swe lokalne maksimum; oznacza to, że podrzucone ciało, po osiągnięciu tej wysokości, przestało się wznosić i zaczęło spadać. Co więc się dzieje z ciałem w samej chwili $t_{z}$? W tej i tylko w tej chwili jest ono w spoczynku.

Procesy fizyczne charakteryzują się różnymi zależnościami pomiędzy opisującymi je zmiennymi. Są to zależności rosnące i malejące, liniowe i nieliniowe. Opisują je równania wyrażające prawa i zasady fizyki. Zauważ, że te same zależności występują w bardzo różniących się tematycznie działach fizyki. Dla przykładu – co łączy ze sobą stygnięcie wody w szklance, rozładowanie kondensatora i rozpad promieniotwórczy? A co łączy drgania struny, ruch huśtawki, zmienny prąd elektryczny, oraz rozchodzenie się głosu i światła?

Łączą je te prawa i fizyki, które da się zapisać z użyciem podobnych obiektów matematycznych. W tym zaklęte jest, często niedostrzegane, piękno fizyki.

Słowniczek