Mówimy, że punkt $A^{\text{'}}$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $k$, jeśli odcinek $A{A}^{\text{'}}$ jest prostopadłyprostopadłośćprostopadły do prostej $k$ i przecina ją w takim punkcie $S$, że odcinki $AS$ i $A^{\text{'}}S$ są równej długości.

RlXgmhVXZesgR

Na ilustracji przedstawiono prostą k. Nad prostą k zaznaczono punkt A, który odbito symetrycznie względem prostej k. Zaznaczono odcinek łączący punkty A i A prim, prostopadły do prostej k w punkcie S.

Znajdziemy punkt $A^{\text{'}}$ symetryczny do punktu $A=\left(-1,-4\right)$ względem osi $X$.

Rozwiązanie

W tym celu z punktu $A$ prowadzimy prostą prostopadłą do osi $X$, która przecina tę oś w punkcie $S=(-1,0)$. Odcinek $AS$ ma długość $4$, a więc przedłużamy go pionowo o $4$ jednostki w górę, zatrzymując się w punkcie $A^{\text{'}}=\left(-1,4\right)$. Jest to szukany punkt symetryczny do $A$ względem osi $X$, bowiem odcinek $A{A}^{\text{'}}$ jest prostopadły do osi $X$ oraz $\left|AS\right|=\left|S{A}^{\text{'}}\right|$. Zauważmy, że pierwsze współrzędne punktów $A$ i $A^{\text{'}}$ są równe, a drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi.

RFhpKBrsH1q9w

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono punkt A o współrzędnych $\left(-1;-4\right)$, oraz punkt A prim o współrzędnych $\left(-1;4\right)$. Zaznaczono odcinek łączący punkt A i A prim, prostopadły do osi $X$ w punkcie S o współrzędnych $\left(-1;0\right)$.

Punkt symetryczny do punktu $A=\left(x,y\right)$ względem osi $X$ ma współrzędne: $A^{\text{'}}=\left(x,-y\right)$.

Dowód

Pokażemy, że punkty $A$ i $A^{\text{'}}$ spełniają definicję punktów symetrycznych względem osi $X$. Zauważmy, że środkiem odcinka $A{A}^{\text{'}}$ jest punkt: $S=\left(\frac{x+x}{2},\frac{y-y}{2}\right)=\left(x,0\right)$.

A zatem: $\left|AS\right|=\left|S{A}^{\text{'}}\right|$ oraz odcinek $A{A}^{\text{'}}$ jest prostopadły do osi $X$.

R9Gf3I5rzzUJz

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ oraz z pionową osią $Y$. Na płaszczyźnie zaznaczono punkt A o współrzędnych $\left(x;y\right)$ oraz punkt A prim o współrzędnych $\left(x;-y\right)$. Zaznaczono odcinek łączący punkt A i A prim, prostopadły do osi $X$ w punkcie S o współrzędnych $\left(x;0\right)$.

Punkt symetryczny do punktu $A=\left(x,y\right)$ względem osi $Y$ ma współrzędne $A^{\text{'}}=\left(-x,y\right)$.

Rs20uiOrfkNJJ

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ oraz z pionową osią $Y$. Na płaszczyźnie zaznaczono punkt A o współrzędnych $\left(x;y\right)$ oraz punkt A prim o współrzędnych $\left(-x;y\right)$. Zaznaczono odcinek łączący punkt A i A prim, prostopadły do osi $Y$ w punkcie S o współrzędnych $\left(0;y\right)$.

Dowód

Szkic dowodu. Wystarczy, podobnie jak w poprzednim dowodzie, przeanalizować rysunek.

Mówimy, że punkt $A^{\text{'}}$ jest symetryczny do punktu $A$ względem punktu $O$, jeśli $O$ jest środkiem odcinka $A{A}^{\text{'}}$.

R173PO3Ay4IiB

Na ilustracji przedstawiono ukośny odcinek $AA\text{'}$. Zaznaczono punkt O, stanowiący jego środek.

Punkt symetryczny do punktu $A=\left(x,y\right)$ względem początku układu współrzędnych ma współrzędne $A^{\text{'}}=\left(-x,-y\right)$.

Dowód

Szkic dowodu. Wystarczy zauważyć, że początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka $A{A}^{\text{'}}$.

Znajdziemy czworokąt $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ symetryczny względem początku układu współrzędnych do czworokąta $ABCD$ o wierzchołkach $A=\left(0,1\right)$, $B=\left(\mathrm{2,2}\right)$, $C=\left(1,4\right)$ oraz $D=\left(-1,3\right)$.

Rozwiązanie

Punktami symetrycznymi względem punktu $\left(0,0\right)$ do podanych wierzchołków są: $A^{\text{'}}=\left(0,-1\right)$, $B^{\text{'}}=\left(-2,-2\right)$, $C^{\text{'}}=\left(-1,-4\right)$ oraz $D^{\text{'}}=\left(1,-3\right)$.
A zatem czworokąt o wierzchołkach: $A^{\text{'}},B^{\text{'}},C^{\text{'}}$ i $D^{\text{'}}$ jest symetryczny do czworokąta $ABCD$ względem środka układu współrzędnych.

RYoFLlb9yYsgE

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa kwadraty. Żółtym kolorem zaznaczono kwadrat o wierzchołkach $A\left(0;1\right)$, $B\left(2;2\right)$, $C\left(1;4\right)$, $D\left(-1;3\right)$. Kolorem niebieskim zaznaczono kwadrat o wierzchołkach A prim $\left(0;-1\right)$, B prim $\left(-2;-2\right)$, C prim ($\left(-1;-4\right)$ oraz D prim $\left(1;-3\right)$.

Niech $A=\left(0,0\right)$ i $B=\left(1,0\right)$, punkt $C=\left(x,y\right)$ leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, a punkt $C^{\text{'}}$ jest punktem do niego symetrycznym względem osi $Y$. Wykażemy, że jeśli $\alpha =\mathrm{\angle }BAC$ oraz ${\alpha }^{\text{'}}=\angle BA{C}^{\text{'}}$, to: ${\alpha }^{\text{'}}=180°-\alpha$.

R173WLRuDDnmc

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ oraz z pionową osią $Y$. Na płaszczyźnie narysowano łuk łączący punkty $\left(-1;0\right)$, $\left(0;1\right)$ oraz $\left(1;0\right)$. Punkt o współrzędnych $\left(0;0\right)$ oznaczono literą A, natomiast punkt $\left(0;1\right)$ oznaczono literą B. Niebieskim kolorem zaznaczono trójkąt $ABC$, którego wierzchołek C znajduje się na łuku w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. $\angle CAB$ oznaczono alfa. Kolorem żółtym zaznaczono rozwartokątny trójkąt $ABC\text{'}$, którego wierzchołek C prim leży na łuku w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. $\angle C\text{'}AB$ oznaczono alfa prim.

Rozwiązanie

Punkt $B^{\text{'}}=\left(-1,0\right)$ jest punktem symetrycznym do punktu $B$, więc trójkąt $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ jest symetryczny do trójkąta $ABC$ względem osi $Y$ (Patrz: rysunek). Trójkąty te są zatem przystającefigury przystająceprzystające i w konsekwencji $\alpha =\beta$. Kąty ${\alpha }^{\text{'}}$ oraz $\beta$ są kątami przyległymi, więc:
${\alpha }^{\text{'}}=180°-\beta =180°-\alpha$.

R1afMucwP7gQl

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ oraz z pionową osią $Y$. Na płaszczyźnie narysowano łuk łączący punkty B prim$\left(-1;0\right)$, $\left(0;1\right)$ oraz B $\left(1;0\right)$. Niebieskim kolorem zaznaczono trójkąt $ABC$, którego wierzchołek C znajduje się na łuku w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. $\angle CAB$ oznaczono alfa. Kolorem żółtym zaznaczono trójkąt $AB\text{'}C\text{'}$ którego wierzchołek C prim leży na łuku w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. $\angle C\text{'}AB\text{'}$ oznaczono beta.

proste, odcinki oraz prosta i odcinek są prostopadłe jeśli przecinają się pod kątem prostym lub leżą na prostych, które przecinają się pod kątem prostym

figury, które przekształcając przez przesunięcia, obroty i symetrie można nałożyć na siebie