Warto przeczytać

Od czego zależy okres drgań masy na sprężynie?

Niezależnie od tego, czy znajdujemy się w polu grawitacyjnym, czy nie, ciężarek zawieszony na sprężynie może zostać wprawiony w drgania. Okresokres drgańOkres tych drgań, który wynika z teoretycznej analizy ruchu drgającego, dany jest wyrażeniem:

Współczynnik sprężystościwspółczynnik sprężystościWspółczynnik sprężystości sprężyny oznaczony jest symbolem $k$, zaś $m$ to masa ciężarka. Z powyższego wzoru wynika, że okres drgań $T$ powinien zależeć od dwóch parametrów układu drgającego: od masy $m$ oraz od współczynnika sprężystościwspółczynnik sprężystościwspółczynnika sprężystości sprężyny $k$. Ta pierwsza zależność, $T(m)$, jest w tym e‑materiale przedmiotem Twoich badań eksperymentalnych.

Wpływ masy ciężarka na okres drgań

Im większa jest masa ciężarka, tym dłuższy jest okres jego drgań. Dokładnie mówiąc, aby okres zwiększył się dwukrotnie, masa musi wzrosnąć czterokrotnie – to jest wniosek ze wzoru (1). Można to również przewidzieć intuicyjnie: większa masa ma większą bezwładność. Trudniej ją więc przyspieszyć i zahamować. Ciężarek o masie coraz większej osiąga zatem prędkości o coraz mniejszej wartości. Przemieszcza się on - średnio rzecz biorąc - coraz wolniej, co interpretujemy jako wzrost okresu drgań.

Wpływ współczynnika sprężystości na okres drgań

Z kolei wzrost współczynnika $k$ powoduje, że okres zmniejsza się. Wiemy (porównaj e‑materiał „O czym mówi współczynnik sprężystości i jaka jest jego jednostka?”), że im większy współczynnik $k$, tym bardziej „sztywna” i trudna do rozciągnięcia jest sprężyna. Np. sprężyna amortyzatora samochodowego (Rys. 1.) ma znacznie większy współczynnik sprężystości niż sprężyna „slinky” do zabawy (Rys. 2.).

RkdJhqGFAjIY3

Rys. 1. Zdjęcie przedstawia dwa amortyzatory leżące na poziomej płaskiej powierzchni blatu stołu. Oba amortyzatory złożone są z metalowego pręta w kształcie cienkiego walca, w którego górnej części umieszczono jeden miedziany oraz jeden aluminiowy cylinder. Cylindry nałożone są na metalowy pręt. W dolnej części amortyzatorów umieszczony jest kolejny cylindryczny, czarny element o tej samej średnicy co aluminiowy i miedziany walec. Pomiędzy aluminiowym walcem i dolnym czarnym elementem, wokół metalowego pręta, umieszczona jest sprężyna. Sprężyna amortyzuje ruch, w wyniku którego cylindryczne elementy zbliżają się do siebie. Rozwiązania takie stosowane są w większości pojazdów kołowych takich jak samochody, motocykle i rowery.

RROxP9xeFFhep

Rys. 2. Zdjęcie przedstawia metalową, giętką sprężynę w postaci srebrnej spirali. Sprężyna wygięta jest w taki sposób, że jej końce spoczywają swoimi przekrojami na jasnej, poziomej powierzchni blatu stołu. Linia poprowadzona przez środek sprężyny tworzy półokrąg.

Większą siłą działa na ciężarek sprężyna, która ma większy współczynnik sprężystości. Intuicja podpowiada, że ciężarek pod jej wpływem prędzej przyspieszy oraz prędzej zostanie wyhamowany, osiągając - średnio rzecz biorąc - prędkości o wartości większej.  To zaś wywołuje szybsze tempo drgań i odpowiednio mniejszy ich okres.

Wykres zależności okresu drgań od masy

Zastanówmy się teraz, jak powinien wyglądać wykres zależności okresu $T$ od masy $m$ ciężarka, $T(m)$. Można przyjąć, że podczas drgań ciężarka współczynnik sprężystości sprężyny nie ulega zmianie. To przybliżenie jest tym dokładniejsze, im mniejsza jest amplituda drgań. Zapiszmy wyrażenie (1) w postaci zależności funkcyjnej:

Wykres funkcji $y(x)=\sqrt{ax}$

W równaniu tej zależności rozpoznajemy kwadratowy pierwiastek z masy $m$, która jest argumentem funkcji (inaczej: zmienną niezależną), pomnożonej przez stały czynnik $a = \sqrt{\frac{4\pi^2}{k}}$. Trzy wykresy funkcji $y(x)=\sqrt{ax}$, dla różnych wartości parametru $a$, pokazuje Rys. 3. W każdym z wykresów wartość $a$ jest stała.

RNwTTCCe22Ck5

Rys. 3. przedstawia wykres trzech funkcji y równe pierwiastek z a razy x dla różnych wartości parametru a. Dwuwymiarowy układ współrzędnych ma oś x wyskalowaną od 0 do 30 co 5 jednostek oraz oś y wyskalowaną od 0 do 10 co 5 jednostek. Z początku układu współrzędnych wychodzą trzy krzywe rosnące eksponencjalnie. Niebieska linia odpowiada a równemu 3 i osiąga maksimum dla y=9,5 jednostki. Zielona krzywa, a=2, maksimum dla y=7,9 jednostki. Fioletowa krzywa, a=1, maksimum dla y=5,5 jednostki.

Taki wykres możesz sporządzić we własnym zakresie. Zacznij od tabeli wartości funkcji dla różnych jej argumentów - utworzysz ją za pomocą kalkulatora bądź w arkuszu kalkulacyjnym. W każdym przypadku należy wybrać wartość współczynnika $a$ oraz określić dziedzinę dla zmiennej $x$.

Łatwo zauważyć, że im większa jest wartość współczynnika $a$, tym większe wartości przybiera funkcja dla ustalonego $x$. Zwróć też uwagę na inną, ciekawszą cechę tej funkcji: w pobliżu $x=0$ wykresy są najbardziej strome. W tym obszarze zadanej zmianie argumentu $x$ odpowiadają największe zmiany wartości $y$.

Wzorcowy wykres zależności $T(m)$

Celem eksperymentu jest zbadanie, czy okres drgań masy na sprężynce zależy od wartości tej masy. Należy więc zmierzyć okres drgań różnych znanych mas, zaczepionych na tej samej sprężynie. Jednym ze sposobów opracowania i analizy wyników jest naniesienie wyników pomiarów na wzorcowy wykres zależności $T(m)$. Wykres ten przygotujesz zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi, czyli z zależnością (2).

Zasady konstrukcji tabeli oraz samego wykresu są nieco bardziej skomplikowane niż w przypadku zależności funkcyjnej w matematyce. Jest to związane z tym, że zmienne oraz parametry, którymi operujemy w fizyce, są na ogół wielkościami mianowanymi.

1. Musisz znać wartość współczynnika sprężystości użytej sprężyny. Przyjmijmy przykładową wartość $k=4\,\text{N/m}$. Wtedy współczynnik, mnożący pod pierwiastkiem masę $m$, ma wartość

Zaokrąglenie do pięciu cyfr znaczących powinno być wystarczające wobec niepewności pomiarowej, występującej w typowym szkolnym doświadczeniu. Gdyby jednak okazało się, że Twoje wyniki są znane z dokładnością lepszą, należałoby ponownie wykonać obliczenia, z odpowiednio dobraną liczbą cyfr znaczących.

2. Musisz dopasować dziedzinę zmienności $m$ do warunków swojego eksperymentu. Przyjmijmy, że na sprężynie zamierzasz wieszać odważniki o masach od $50\,\text{g}$ do $300\,\text{g}$. Dobrym rozwiązaniem będzie wtedy wybór dziedziny dla masy $m\in[0;350\,\text{g}]$.

Zwróć przy tym uwagę, że do wyrażenia (2) musisz wstawiać masy wyrażone w kilogramach! Uzyskasz wtedy wykres pokazany na Rys. 4.

3. Musisz wykonać tabelę wartości funkcji (2) z parametrem obliczonym w punkcie (1). Na jej podstawie narysujesz wykres tej funkcji (Rys. 4).

RRhdFxYcbNt4F

Rys. 4. Rysunek przedstawia układ współrzędnych, w którym oś pionowa skierowana w górę opisuje okres drgań ciężarka na sprężynie wyrażony w sekundach wielka litera T i w nawiasie kwadratowym mała litera s, a oś pozioma skierowana w prawo opisuje masę ciężarka wyrażoną w kilogramach mała litera m i w nawiasie małymi literami kg. Na osi przedstawiającej długość okresu zaznaczono wartości od zera do dwóch sekund, co pół sekundy. Na osi masy zaznaczono wartości od zera do trzydziestu pięciu setnych kilograma, co pięć setnych kilograma. W układzie współrzędnych pokazano funkcje narysowaną czerwoną linią ciągłą. Funkcja jest niejednostajnie rosnąca i rośnie proporcjonalnie do pierwiastka z masy. Jest tak ponieważ długość okresu drgań ciężarka na sprężynie wyrażona jest jako iloczyn dwóch mała grecka litera pi pomnożone przez pierwiastek z masy podzielonej przez stałą sprężystości sprężyny.

Przebieg i opracowanie eksperymentu

Wiemy już więc, jaka jest przewidywana teoretycznie zależność okresu drgań ciężarka na sprężynie od jego masy. Teraz przydałoby się zweryfikować to przewidywanie poprzez eksperyment!

W tym celu można zaplanować i wykonać doświadczenie.

1. Zawieszamy na statywie sprężynę o znanym współczynniku sprężystości.

2. Przygotowujemy kilka ciężarków o różnych masach, których wartości znamy.

3. Wieszamy kolejne ciężarki, każdy z osobna, na sprężynie.

4. Każdy ciężarek wprawiamy w drgania o możliwie niewielkiej amplitudzie i stoperem mierzymy okres tych drgań.

5. Wyniki pomiarów umieszczamy - w postaci punktów z odcinkami niepewności pomiaru - na uprzednio przygotowanym wykresie wzorcowym.

6. Jeśli punkty układają się w pobliżu przewidzianej teoretycznie krzywej, oznacza to, że zgadza się ona z doświadczeniem.

Słowniczek