Przeczytaj

Reguła dodawania - suma dwóch zbiorów rozłącznych

Reguła: Reguła dodawania - suma dwóch zbiorów rozłącznych

Załóżmy, że w wyniku podziału (rozbicia) pewnego zbioru otrzymaliśmy dwa podzbiory, $A$ i $B$ . Wtedy ten zbiór oznaczamy jako $A \cup B$ i mówimy, że jest on sumą dwóch zbiorów rozłącznych $A$ i $B$ .

Wtedy liczba elementów zbioru $A \cup B$ jest sumą liczb $|A|$ i $|B|$ , które opisują liczby elementów jego rozłącznych podzbiorów $A$ i $B$ , otrzymanych w wyniku tego podziału:

$|A \cup B| = |A| + |B|$ .

Przykład 1

Wykażemy, że w każdym ze zbiorów:

$A_{1}$ – trzycyfrowych liczb parzystych

oraz

$A_{2}$ – trzycyfrowych liczb nieparzystych

jest $450$ elementów.

Ponieważ zbiory $A_{1}$ oraz $A_{2}$ są rozłączne, a ich suma $A_{1} \cup A_{2}$ jest zbiorem wszystkich liczb trzycyfrowych:

$A_{1} \cup A_{2} = \{100, 101, 102, \dots, 998, 999\}$ ,

więc

$|A_{1} \cup A_{2}| = |A_{1}| + |A_{2}| = 999 - (100 - 1) = 900$ .

Ponadto (co wiemy z reguły równolicznościreguła równolicznościreguły równoliczności) $|A_{1}| = |A_{2}|$ , a to oznacza, że $|A_{1}| = |A_{2}| = \frac{1}{2} \cdot 900$ .

Uwaga. Powyżej stwierdziliśmy, że zbiory $A_{1}$ i $A_{2}$ są rozłączne. Używając symbolu iloczynu (części wspólnej) zbiorów oraz symbolu zbioru pustego zapisujemy ten fakt następująco: $A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$

Reguła dodawania

Reguła: Reguła dodawania

Jeżeli zbiory $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ :

$|A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}| = |A_{1}| + |A_{2}| + \dots + |A_{n}|$

Przykład 2

Obliczymy, ile jest liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez $3$ lub są podzielne przez $5$ .

Oznaczmy:

$A$ – zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez $3$ ,

$B$ – zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$ .

Mamy obliczyć, ile jest liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez $3$ lub przez $5$ , czyli liczbę $|A \cup B|$ elementów zbioru $A \cup B$ .

Korzystając z reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności zauważamy, że:

wszystkich liczb trzycyfrowych jest $900$ ,
wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez $3$ jest $|A| = \frac{1}{3} \cdot 900 = 300$ ,
wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$ jest $|B| = \frac{1}{5} \cdot 900 = 180$ ,

Zbiory $A$ i $B$ nie są jednak rozłączne – wśród liczb trzycyfrowych są takie, które dzielą się zarówno przez $3$ , jak i przez $5$ . Ponieważ liczba całkowita dzieli się przez $3$ i przez $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez $15$ , więc należy jeszcze obliczyć, ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez $15$ , czyli elementów zbioru $A \cap B$ . Korzystając z reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy, że $|A \cap B| = \frac{1}{15} \cdot 900 = 60$ .

Zbiór $A \cup B$ da się więc podzielić na trzy rozłączne podzbiory:

zbiór $A \cap B$ liczb trzycyfrowych podzielnych przez $3$ i podzielnych przez $5$ ,
zbiór $A ∖ B$ tych liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez $3$ i nie dzielą się przez $5$ ,
zbiór $B ∖ A$ tych liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez $5$ i nie dzielą się przez $3$ .

Zbiór $A$ liczb trzycyfrowych podzielnych przez $3$ możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór $A \cap B$ liczb podzielnych przez $5$ i podzbiór $A ∖ B$ liczb niepodzielnych przez $5$ .

Wobec tego z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania otrzymujemy równość $|A| = |A \cap B| + |A ∖ B|$ , skąd $|A ∖ B| = |A| - |A \cap B| = 300 - 60 = 240$

Zbiór $B$ liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$ możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór $B \cap A$ liczb podzielnych przez $3$ i podzbiór $B ∖ A$ liczb niepodzielnych przez $3$ .

Na podstawie reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania wynika stąd, że $|B| = |B \cap A| + |B ∖ A|$ , a więc $|B ∖ A| = |B| - |B \cap A| = 180 - 60 = 120$ .

Korzystając z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania stwierdzamy, że wszystkich liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez $3$ lub przez $5$ jest $|A \cup B| = |A ∖ B| + |A \cap B| + |B ∖ A| = 240 + 60 + 120 = 420$ .

Ważne!

Ponieważ dla dowolnych dwóch zbiorów $A$ oraz $B$ prawdziwe są równości:

$|A| = |A ∖ B| + |A \cap B|$ ,

$|B| = |B ∖ A| + |A \cap B|$

oraz

$|A \cup B| = |A ∖ B| + |A \cap B| + |B ∖ A|$

więc

$|A \cup B| = (|A| - |A \cap B|) + |A \cap B| + (|B| - |A \cap B|) = |A| + |B| - |A \cap B|$

o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów

Twierdzenie: o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów

Dla dowolnych dwóch zbiorów $A$ oraz $B$ prawdziwa jest równość

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Przykład 3

W konkursie matematycznym uczestniczyło $247$ uczniów. Każdy z uczestników miał do rozwiązania pięć tych samych zadań.

Po zakończeniu zawodów okazało się, że:

$31$ uczestników nie rozwiązało żadnego z dwóch pierwszych zadań,
$198$ uczestników rozwiązało zadanie pierwsze,
$63$ uczestników rozwiązało zadanie drugie.

Ustalimy, ilu uczestników tego konkursu rozwiązało oba zadania: pierwsze i drugie.

Z treści zadania wynika, że liczba uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadanie pierwsze lub zadanie drugie jest równa $247 - 31 = 216$ .

Przyjmiemy teraz następujące oznaczenia:

$A$ – zbiór uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadanie pierwsze,

$B$ - zbiór uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadania drugie.

Wiemy, że $|A \cup B| = 216$ , $|A| = 198$ oraz $|B| = 63$ .

Oznaczmy przez $x$ liczbę uczestników konkursu, którzy rozwiązali oba zadania.

Na podstawie reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania prawdziwe są następujące zależności

$|A ∖ B| = |A| - |A \cap B| = 198 - x$ , $|B ∖ A| = |B| - |A \cap B| = 63 - x$ .

Zatem jeszcze raz korzystając z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania otrzymujemy równość

$|A \cup B| = |A ∖ B| + |A \cap B| + |B ∖ A| = 216$ ,

skąd

$216 = 198 - x + x + 63 - x$ ,

a więc

$x = 198 + 63 - 216 = 45$ .

Oznacza to, że $45$ uczestników tego konkursu rozwiązało oba zadania: pierwsze i drugie.

Uwaga.

Wiedząc, że $|A \cup B| = 216$ , $|A| = 198$ oraz $|B| = 63$ można było od razu skorzystać z powyższego twierdzeniatwierdzenia i zapisać, że z równości

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

dostajemy

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 198 + 63 - 216 = 45$ .

Słownik

reguła dodawania

jeżeli zbiory $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ :

$|A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}| = |A_{1}| + |A_{2}| + \dots + |A_{n}|$

reguła równoliczności

dwa zbiory $A$ i $B$ są równoliczne (mają tyle samo elementów) jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy: każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $B$ oraz każdemu elementowi zbioru $B$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $A$

twierdzenie o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów

dla dowolnych dwóch zbiorów $A$ oraz $B$ prawdziwa jest równość $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik