Reguła dodawania - suma dwóch zbiorów rozłącznych
Reguła: Reguła dodawania - suma dwóch zbiorów rozłącznych

Załóżmy, że w wyniku podziału (rozbicia) pewnego zbioru otrzymaliśmy dwa podzbiory, A i B. Wtedy ten zbiór oznaczamy jako AB i  mówimy, że jest on sumą dwóch zbiorów rozłącznych A i B.

Wtedy liczba elementów zbioru AB jest sumą liczb AB, które opisują liczby elementów jego rozłącznych podzbiorów A i B, otrzymanych w wyniku tego podziału:

AB=A+B.

Przykład 1

Wykażemy, że w każdym ze zbiorów:

A1 – trzycyfrowych liczb parzystych

oraz

A2 – trzycyfrowych liczb nieparzystych

jest 450 elementów.

Ponieważ zbiory A1 oraz A2 są rozłączne, a ich suma A1A2 jest zbiorem wszystkich liczb trzycyfrowych:

A1A2=100,101,102,,998,999,

więc

A1A2=A1+A2=999-100-1=900.

Ponadto (co wiemy z reguły równolicznościreguła równolicznościreguły równoliczności) A1=A2, a to oznacza, że A1=A2=12·900.

Uwaga. Powyżej stwierdziliśmy, że zbiory A1A2 są rozłączne. Używając symbolu iloczynu (części wspólnej) zbiorów oraz symbolu zbioru pustego zapisujemy ten fakt następująco: A1A2=

Reguła dodawania
Reguła: Reguła dodawania

Jeżeli zbiory A1,A2,,An są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru A1A2An jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów A1,A2,,An:

A1A2An=A1+A2++An

Przykład 2

Obliczymy, ile jest liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez 3 lub są podzielne przez 5.

Oznaczmy:

A – zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3,

B – zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5.

Mamy obliczyć, ile jest liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez 3 lub przez 5, czyli liczbę AB elementów zbioru AB.

Korzystając z reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności zauważamy, że:

  • wszystkich liczb trzycyfrowych jest 900,

  • wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3 jest A=13·900=300,

  • wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5 jest B=15·900=180,

Zbiory A i B nie są jednak rozłączne – wśród liczb trzycyfrowych są takie, które dzielą się zarówno przez 3, jak i przez 5. Ponieważ liczba całkowita dzieli się przez 3 i przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 15, więc należy jeszcze obliczyć, ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 15, czyli elementów zbioru AB. Korzystając z reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności stwierdzamy, że AB=115·900=60.

Zbiór AB da się więc podzielić na trzy rozłączne podzbiory:

  • zbiór AB liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3 i podzielnych przez 5,

  • zbiór AB tych liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 3 i nie dzielą się przez 5,

  • zbiór BA tych liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 5 i nie dzielą się przez 3.

Zbiór A liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3 możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór AB liczb podzielnych przez 5 i podzbiór AB liczb niepodzielnych przez 5.

Wobec tego z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania otrzymujemy równość A=AB+AB, skąd AB=A-AB=300-60=240

Zbiór B liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5 możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór BA liczb podzielnych przez 3 i podzbiórBA liczb niepodzielnych przez 3.

Na podstawie reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania wynika stąd, że B=BA+BA, a więc BA=B-BA=180-60=120.

Korzystając z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania stwierdzamy, że wszystkich liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez 3 lub przez 5 jest AB=AB+AB+BA=240+60+120=420.

Ważne!

Ponieważ dla dowolnych dwóch zbiorów A oraz B prawdziwe są równości:

A=AB+AB,

B=BA+AB

oraz

AB=AB+AB+BA

więc

AB=A-AB+AB+B-AB=A+B-AB

o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów
Twierdzenie: o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów

Dla dowolnych dwóch zbiorów A oraz B prawdziwa jest równość

AB=A+B-AB

Przykład 3

W konkursie matematycznym uczestniczyło 247 uczniów. Każdy z uczestników miał do rozwiązania pięć tych samych zadań.

Po zakończeniu zawodów okazało się, że:

  • 31 uczestników nie rozwiązało żadnego z dwóch pierwszych zadań,

  • 198 uczestników rozwiązało zadanie pierwsze,

  • 63 uczestników rozwiązało zadanie drugie.

Ustalimy, ilu uczestników tego konkursu rozwiązało oba zadania: pierwsze i drugie.

Z treści zadania wynika, że liczba uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadanie pierwsze lub zadanie drugie jest równa 247-31=216.

Przyjmiemy teraz następujące oznaczenia:

A – zbiór uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadanie pierwsze,

B - zbiór uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadania drugie.

Wiemy, że AB=216, A=198 oraz B=63.

Oznaczmy przez x liczbę uczestników konkursu, którzy rozwiązali oba zadania.

Na podstawie reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania prawdziwe są następujące  zależności

AB=A-AB=198-x, BA=B-AB=63-x.

Zatem jeszcze raz korzystając z reguły dodawaniaReguła dodawaniareguły dodawania otrzymujemy równość

AB=AB+AB+BA=216,

skąd

216=198x+x+63x,

a więc

x=198+63216=45.

Oznacza to, że 45 uczestników tego konkursu rozwiązało oba zadania: pierwsze i drugie.

Uwaga.

Wiedząc, że AB=216, A=198 oraz B=63 można było od razu skorzystać z powyższego twierdzeniatwierdzenie o liczbie elementów sumy dwóch zbiorówtwierdzenia i zapisać, że z równości

AB=A+B-AB

dostajemy

AB=A+B-AB=198+63-216=45.

Słownik

reguła dodawania
reguła dodawania

jeżeli zbiory A1,A2,,An są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru A1A2An jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów A1,A2,,An:

A1A2An=A1+A2++An

reguła równoliczności
reguła równoliczności

dwa zbiory AB są równoliczne (mają tyle samo elementów) jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy: każdemu elementowi zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru B oraz każdemu elementowi zbioru B przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru A

twierdzenie o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów
twierdzenie o liczbie elementów sumy dwóch zbiorów

dla dowolnych dwóch zbiorów A oraz B prawdziwa jest równość AB=A+B-AB