Przypomnijmy definicję kąta między prostą a płaszczyzną.

Kąt między prostą a płaszczyzną

Definicja: Kąt między prostą a płaszczyzną

Jeśli prosta $k$ jest równoległa do płaszczyzny $\pi$ (ma z nią nieskończenie wiele punktów wspólnych albo nie ma żadnego), to przyjmujemy, że kąt między $k$ a $\pi$ jest równy $0°$.

Jeśli prosta $k$ przebija płaszczyznę $\pi$ (ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny), to kąt między $k$ a $\pi$ definiujemy jako kąt między $k$ a rzutem prostokątnym $k$ na $\pi$.

RubkDxpQU2XoN

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę pi, na której zaznaczono prostą p. Zaznaczono także prostą k, która przecina płaszczyznę w punkcie B na prostej p, pod kątem alfa. Na prostej k zaznaczono punkt A, który zrzutowano na prostą p pod kątem prostym, i na prostej p zaznaczono punkt A prim.

Graniastosłup trójkątny

Najprostszy graniastosłupgraniastosłupgraniastosłup to ten o podstawie trójkąta. Nie ma on przekątnych, bo wszystkie odcinki łączące wierzchołki graniastosłupa trójkątnego zawierają się w jego powierzchni, co czyni je przekątnymi ścian bocznych lub krawędziami.

Na poniższym rysunku zaznaczono kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy. Aby poprawnie zaznaczyć ten kąt, potrzebujemy rzutu prostokątnego tej przekątnej na płaszczyznę podstawy. Ponieważ graniastosłup jest prosty, rzut ten zawiera krawędź podstawy.

Graniastosłup trójkątny $ABCGHI$ i przekątna $AI$ ściany bocznej	Kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy
RKOIWk6Wp7CP5 Na ilustracji przedstawiono graniastosłup trójkątny o podstawie dolnej $ABC$, oraz górnej $GHI$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B, wierzchołek I, oraz nad wierzchołkiem C, znajduje się wierzchołek H. Zaznaczono przekątną $AI$ ściany bocznej.	REPZ0BWKLeShC Na ilustracji przedstawiono graniastosłup trójkątny o podstawie dolnej $ABC$, oraz górnej $GHI$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B, wierzchołek I, oraz nad wierzchołkiem C, znajduje się wierzchołek H. Zaznaczono kąt alfa między przekątną $AI$ ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.

Sytuacja wygląda nieco inaczej, gdy graniastosłup jest pochyłygraniastosłup pochyłypochyły. Wówczas rzut przekątnej na płaszczyznę podstawy może nie zawierać krawędzi.

Graniastosłup pochyły trójkątny $ABCDEF$ i przekątna $CE$ ściany bocznej

Kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy

RGSazbtsnxCFu Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły trójkątny o podstawie dolnej $ABC$, oraz górnej $DEF$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek D, nad wierzchołkiem B, wierzchołek E, oraz nad wierzchołkiem C, znajduje się wierzchołek F. Zaznaczono przekątną $CE$ ściany bocznej.

R1bdXyRbNdnJG Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły trójkątny o podstawie dolnej $ABC$, oraz górnej $DEF$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek D, nad wierzchołkiem B, wierzchołek E, oraz nad wierzchołkiem C, znajduje się wierzchołek F. Z wierzchołka E poprowadzono prostą prostopadłą do płaszczyzny podstawy i zaznaczono punkt E prim. Kąt $ECE\text{'}$ stanowi jest kątem między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy i oznaczono go alfa.

Graniastosłup czworokątny

W graniastosłupie czworokątnym pojawia się przekątna graniastosłupa – odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa, ale nie zawarty w jego powierzchni.

Poniżej ilustrujemy kąty między przekątną graniastosłupa prostegograniastosłup prostygraniastosłupa prostego o podstawie trapezu a płaszczyzną ścian bocznych albo podstawą. W każdym przypadku najpierw rzutujemy prostokątnie przekątną na rozważaną płaszczyznę.

Graniastosłup czworokątny $ABCDEFGH$ i jego przekątna $CH$

Kąt między przekątną $CH$ graniastosłupa a płaszczyzną podstawy

R1Q9HWbUqTWH9 Na ilustracji zaznaczono graniastosłup czworokątny, który w podstawie ma trapez. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od H do E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono przekątną graniastosłupa, łączącą wierzchołki C i H.

Rnfvq5zByANSS Na ilustracji zaznaczono graniastosłup czworokątny, który w podstawie ma trapez. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od H do E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono przekątną graniastosłupa, łączącą wierzchołki C i H, oraz przekątną $AC$ dolnej podstawy. Między przekątnymi zaznaczono kąt alfa.

Kąt między przekątną $CH$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany $ADGH$

Kąt między przekątną $BG$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany $BCFE$

RBKdblyzxsYmH Na ilustracji zaznaczono graniastosłup czworokątny, który w podstawie ma trapez. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od H do E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Na prostej AD zaznaczono punkt C prim, tak, że kąt $CC\text{'}H$ jest równy 90 stopni. Zaznaczono przekątną graniastosłupa, łączącą wierzchołki C i H. Kąt $CHC\text{'}$ oznaczono alfa.

RKRBYDewFE393 Na ilustracji zaznaczono graniastosłup czworokątny, który w podstawie ma trapez. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od H do E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono przekątną $BG$ graniastosłupa. Z wierzchołka G, poprowadzono prostą prostopadłą do płaszczyzny ściany $BCFE$, oraz zaznaczono punkt G prim. Kąt między przekątną $BG$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany $BCFE$ oznaczono alfa.

Choć analiza powyższych przykładów może być interesująca, dużo częściej będziemy zajmować się prostopadłościanem. Na poniższym rysunku zaznaczono kąty między przekątną prostopadłościanu a ścianami bocznymi i podstawą. Na wszystkich rysunkach znajduje się ten sam prostopadłościan widziany z różnych stron.

Przyjęto oznaczenia:
$\alpha$ – kąt między przekątną $BG$ a płaszczyzną podstawy $ABCD$,
$\beta$ – kąt między przekątną $BG$ a płaszczyzną ściany $BCFE$,
$\gamma$ – kąt między przekątną $BG$ a płaszczyzną ściany $ABEH$.

W tym przypadku kąt między przekątną graniastosłupa a ścianą boczną jest równy kątowi między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy. Analogicznie dla kątów między przekątną graniastosłupa a ścianami bocznymi.

Kąty między przekątną prostopadłościanu a ścianami bocznymi i podstawą
R158YhfKy3OYq Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $EFGH$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono kąt alfa między przekątną BD podstawy a przekątną BG prostopadłościanu. Kąt beta między przekątną BG prostopadłościanu a przekątną BF ściany bocznej, oraz kąt gamma między przekątną BG prostopadłościanu przekątną BH ściany bocznej.	RKD097UtJWXas Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $EFGH$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono kąt alfa między przekątną BD podstawy a przekątną BG prostopadłościanu. Zaznaczono kąt beta między przekątną BF ściany bocznej a przekątną BG graniastosłupa, oraz kąt gamma między przekątną BH ściany bocznej a przekątną BG prostopadłościanu.
R1GbgSlWUKD0B Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $EFGH$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono kąt alfa między przekątną DF ściany bocznej a przekątną DG prostopadłościanu. Zaznaczono kąt beta między przekątną DH ściany bocznej a przekątną DG prostopadłościanu, oraz kąt gamma między przekątną BD podstawy a przekątną DG prostopadłościanu.	R1UDlG6HVf7Ps Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $EFGH$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono kąt alfa między przekątną BD podstawy a przekątną BG prostopadłościanu. Zaznaczono kąt beta między przekątną BF ściany bocznej a przekątną BG prostopadłościanu, oraz kąt gamma między przekątną BH ściany bocznej a przekątną BG prostopadłościanu.

Ponownie sytuacja wygląda inaczej, gdy graniastosłup jest pochyły.

Na poniższych rysunkach zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa pochyłego o podstawie kwadratu a płaszczyzną podstawy.
Rkw95vrNZohym Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły o podstawie kwadratu. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast podstawę górną literami od E do H. Z wierzchołka H opuszczono wysokość graniastosłupa do płaszczyzny podstawy i zaznaczono punkt H prim, leżący poza powierzchnią podstawy. Zaznaczono kąt alfa przy wierzchołku B, w trójkącie prostokątnym $HBH\text{'}$.	RY1H8m7CVv8Ln Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły o podstawie kwadratu. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast podstawę górną literami od E do H. Z wierzchołka H opuszczono wysokość graniastosłupa do płaszczyzny podstawy i zaznaczono punkt H prim, leżący poza powierzchnią podstawy. Zaznaczono kąt alfa przy wierzchołku B, w trójkącie prostokątnym $HBH\text{'}$.

Przykład 1

Dany jest graniastosłupgraniastosłupgraniastosłup o podstawie rombu. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa ma długość $12$ i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $30°$. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość $4\sqrt{3}$. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

R101Plo38tRmf

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup o podstawie rombu. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, natomiast górną wielkimi literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C wierzchołek G, nad wierzchołkiem D wierzchołek H. Zaznaczono kąt alfa między przekątną BH graniastosłupa a przekątną BD podstawy. Zaznaczono kąt alfa równy trzydzieści stopni, między przekątną AC podstawy a przekątną CE graniastosłupa.

Przyjmijmy oznaczenia jak na powyższym rysunku. Zauważmy, że z trójkąta prostokątnego $EAC$ możemy wyznaczyć wysokość $AE$ graniastosłupa: $\left|AE\right|=6$.

Z trójkąta prostokątnego $DBH$ mamy:

$\left|BD\right|=\sqrt{{\left|BH\right|}^2-{\left|DH\right|}^2}=\sqrt{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2-6^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Zatem $DBH$ jest trójkątem prostokątnym o bokach długości $6$, $2\sqrt{3}$, $4\sqrt{3}$. Oznacza to, że jest to trójkąt o kątach $30°$, $60°$, $90°$.

Zatem kąt między przekątną $BH$ graniastosłupa a jego podstawą ma miarę $60°$.

Graniastosłup sześciokątny

Im więcej krawędzi w podstawie graniastosłupa, tym więcej możliwości – wszak każda przekątna graniastosłupa tworzy jakiś kąt z każdą ścianą tego graniastosłupa.

Rozważmy graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy sześciokątny.

Na poniższych rysunkach zaznaczono kąty pomiędzy przekątnymi (są dwie różne) graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego a jego podstawą.

RgDQBQzjL7iVH Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Zaznaczono zielonym kolorem kąt alfa między krótszą przekątną AE podstawy a krótszą przekątną AJ graniastosłupa. Zaznaczono różowym kolorem kąt beta między dłuższą przekątną AD podstawy a dłuższą przekątną AI graniastosłupa.

R1B5VygysGNfj Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Zaznaczono różowym kolorem kąt alfa między krótszą przekątną AE podstawy a krótszą przekątną AJ graniastosłupa. Zaznaczono zielonym kolorem kąt beta między dłuższą przekątną AD podstawy a dłuższą przekątną AI graniastosłupa.

Zaznaczamy jeszcze kąt między przekątną tego graniastosłupa a ścianą boczną zawierającą jeden z końców przekątnej.

Kąt między krótszą przekątną $AJ$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany bocznej $AFKL$

Kąt między dłuższą przekątną $AI$ graniastosłupa a ścianą boczną $ABGL$

RkYsTuMuJU5dl Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Z wierzchołka J poprowadzono prostą prostopadłą do płaszczyzny ściany bocznej $AFKL$ w punkcie J prim. Zaznaczono kąt alfa przy wierzchołku A, w trójkącie $JAJ\text{'}$.

Rbt9iIKCaPxpG Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Zaznaczono krótszą przekątną GI górnej podstawy, oraz przekątną AG ściany bocznej. Pomiędzy zaznaczonymi przekątnymi jest kąt prosty. Zaznaczono kąt alfa przy wierzchołku A, w trójkącie prostokątnym $AGI$.

Przykład 2

Dany jest graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy sześciokątny. O krawędzi podstawy $4$ i wysokości $4\sqrt{2}$. Wyznaczymy miarę kąta między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną.

R1ZrE6GOOE7Nf

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Z wierzchołka G poprowadzono prostą prostopadłą do płaszczyzny ściany bocznej AFKL w punkcie G prim. Połączono wierzchołek L z wierzchołkiem G prim. Kąt $ALG\text{'}$ jest kątem prostym. Kąt $GAG\text{'}$ oznaczono alfa.

Rozważmy kąt między przekątną $AG$ ściany $ABGL$, a płaszczyzną ściany $AFKL$. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BAG$ możemy wyznaczyć długość przekątnej $AG$:

$\left|AG\right|=\sqrt{{\left|AB\right|}^2+{\left|BG\right|}^2}=\sqrt{16+32}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

Niech $G\text{'}$ będzie rzutem prostokątnym $G$ na płaszczyznę ściany $AFKL$. Wówczas kąt $GG\text{'}L$ jest prosty. Ponadto można zauważyć, że $\left|\sphericalangle GLG\text{'}\right|=60°$, stąd $\left|\sphericalangle LGG\text{'}\right|=30°$. Ponieważ $\left|LG\text{'}\right|=2$, więc $\left|GG\text{'}\right|=2\sqrt{3}$.

Z trójkąta prostokątnego $ALG\text{'}$ mamy:

$\left|AG\text{'}\right|=\sqrt{{\left|AL\right|}^2+{\left|LG\text{'}\right|}^2}=\sqrt{32+4}=\sqrt{36}=6$

Trójkąt prostokątny $AGG\text{'}$ ma boki długości $\left|AG\text{'}\right|=6$, $\left|AG\right|=4\sqrt{3}$ oraz $\left|GG\text{'}\right|=2\sqrt{3}$.

Wynika stąd, że jest to trójkąt o kątach $30°$, $60°$, $90°$, więc $\left|GAG\text{'}\right|=30°$.

Słownik