Przypomnijmy definicję kąta między prostą a płaszczyzną.

Kąt między prostą a płaszczyzną
Definicja: Kąt między prostą a płaszczyzną

Jeśli prosta k jest równoległa do płaszczyzny π (ma z nią nieskończenie wiele punktów wspólnych albo nie ma żadnego), to przyjmujemy, że kąt między kπ jest równy 0°.

Jeśli prosta k przebija płaszczyznę π (ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny), to kąt między kπ definiujemy jako kąt między k a rzutem prostokątnym k na π.

RubkDxpQU2XoN

Graniastosłup trójkątny

Najprostszy graniastosłupgraniastosłupgraniastosłup to ten o podstawie trójkąta. Nie ma on przekątnych, bo wszystkie odcinki łączące wierzchołki graniastosłupa trójkątnego zawierają się w jego powierzchni, co czyni je przekątnymi ścian bocznych lub krawędziami.

Na poniższym rysunku zaznaczono kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy. Aby poprawnie zaznaczyć ten kąt, potrzebujemy rzutu prostokątnego tej przekątnej na płaszczyznę podstawy. Ponieważ graniastosłup jest prosty, rzut ten zawiera krawędź podstawy.

Graniastosłup trójkątny ABCGHI i przekątna AI ściany bocznej

Kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy

RKOIWk6Wp7CP5
REPZ0BWKLeShC

Sytuacja wygląda nieco inaczej, gdy graniastosłup jest pochyłygraniastosłup pochyłypochyły. Wówczas rzut przekątnej na płaszczyznę podstawy może nie zawierać krawędzi.

Graniastosłup pochyły trójkątny ABCDEF i przekątna CE ściany bocznej

Kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy

RGSazbtsnxCFu
R1bdXyRbNdnJG

Graniastosłup czworokątny

W graniastosłupie czworokątnym pojawia się przekątna graniastosłupa – odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa, ale nie zawarty w jego powierzchni.

Poniżej ilustrujemy kąty między przekątną graniastosłupa prostegograniastosłup prostygraniastosłupa prostego o podstawie trapezu a płaszczyzną ścian bocznych albo podstawą. W każdym przypadku najpierw rzutujemy prostokątnie przekątną na rozważaną płaszczyznę.

Graniastosłup czworokątny ABCDEFGH i jego przekątna CH

Kąt między przekątną CH graniastosłupa a płaszczyzną podstawy

R1Q9HWbUqTWH9
Rnfvq5zByANSS

Kąt między przekątną CH graniastosłupa a płaszczyzną ściany ADGH

Kąt między przekątną BG graniastosłupa a płaszczyzną ściany BCFE

RBKdblyzxsYmH
RKRBYDewFE393

Choć analiza powyższych przykładów może być interesująca, dużo częściej będziemy zajmować się prostopadłościanem. Na poniższym rysunku zaznaczono kąty między przekątną prostopadłościanu a ścianami bocznymi i podstawą. Na wszystkich rysunkach znajduje się ten sam prostopadłościan widziany z różnych stron.

Przyjęto oznaczenia:
α – kąt między przekątną BG a płaszczyzną podstawy ABCD,
β – kąt między przekątną BG a płaszczyzną ściany BCFE,
γ – kąt między przekątną BG a płaszczyzną ściany ABEH.

W tym przypadku kąt między przekątną graniastosłupa a ścianą boczną jest równy kątowi między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy. Analogicznie dla kątów między przekątną graniastosłupa a ścianami bocznymi.

Kąty między przekątną prostopadłościanu a ścianami bocznymi i podstawą

R158YhfKy3OYq
RKD097UtJWXas
R1GbgSlWUKD0B
R1UDlG6HVf7Ps

Ponownie sytuacja wygląda inaczej, gdy graniastosłup jest pochyły.

Na poniższych rysunkach zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa pochyłego o podstawie kwadratu a płaszczyzną podstawy.

Rkw95vrNZohym
RY1H8m7CVv8Ln
Przykład 1

Dany jest graniastosłupgraniastosłupgraniastosłup o podstawie rombu. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa ma długość 12 i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30°. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość 43. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

R101Plo38tRmf

Przyjmijmy oznaczenia jak na powyższym rysunku. Zauważmy, że z trójkąta prostokątnego EAC możemy wyznaczyć wysokość AE graniastosłupa: AE=6.

Z trójkąta prostokątnego DBH mamy:

BD=BH2-DH2=432-62=12=23

Zatem DBH jest trójkątem prostokątnym o bokach długości 6, 23, 43. Oznacza to, że jest to trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°.

Zatem kąt między przekątną BH graniastosłupa a jego podstawą ma miarę 60°.

Graniastosłup sześciokątny

Im więcej krawędzi w podstawie graniastosłupa, tym więcej możliwości – wszak każda przekątna graniastosłupa tworzy jakiś kąt z każdą ścianą tego graniastosłupa.

Rozważmy graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy sześciokątny.

Na poniższych rysunkach zaznaczono kąty pomiędzy przekątnymi (są dwie różne) graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego a jego podstawą.

RgDQBQzjL7iVH
R1B5VygysGNfj

Zaznaczamy jeszcze kąt między przekątną tego graniastosłupa a ścianą boczną zawierającą jeden z końców przekątnej.

Kąt między krótszą przekątną AJ graniastosłupa a płaszczyzną ściany bocznej AFKL

Kąt między dłuższą przekątną AI graniastosłupa a ścianą boczną ABGL

RkYsTuMuJU5dl
Rbt9iIKCaPxpG
Przykład 2

Dany jest graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy sześciokątny. O krawędzi podstawy 4 i wysokości 42. Wyznaczymy miarę kąta między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną.

R1ZrE6GOOE7Nf

Rozważmy kąt między przekątną AG ściany ABGL, a płaszczyzną ściany AFKL. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BAG możemy wyznaczyć długość przekątnej AG:

AG=AB2+BG2=16+32=48=43

Niech G' będzie rzutem prostokątnym G na płaszczyznę ściany AFKL. Wówczas kąt GG'L jest prosty. Ponadto można zauważyć, że GLG'=60°, stąd LGG'=30°. Ponieważ LG'=2, więc GG'=23.

Z trójkąta prostokątnego ALG' mamy:

AG'=AL2+LG'2=32+4=36=6

Trójkąt prostokątny AGG' ma boki długości AG'=6, AG=43 oraz GG'=23 .

Wynika stąd, że jest to trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°, więc GAG'=30°.

Słownik

graniastosłup
graniastosłup

wielościan, którego dwie ściany są równoległymi wielokątami przystającymi, zaś pozostałe ściany są równoległobokami; równoległe ściany nazywamy podstawami graniastosłupa, zaś pozostałe to ściany boczne

graniastosłup prosty
graniastosłup prosty

graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami

graniastosłup pochyły
graniastosłup pochyły

graniastosłup, w którym istnieją ściany boczne, które nie są prostokątami

graniastosłup prawidłowy
graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, w którego podstawie znajduje się wielokąt foremny