Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy $\frac{3}{4}$, a przeciwprostokątna trójkąta ma długość $40$. Wyznaczymy pole i obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Jeżeli tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy $\frac{3}{4}$, to narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

R5Itgixb35W7u

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o podstawie $4x$, pionowej przyprostokątnej $3x$ oraz o przeciwprostokątnej $40$. Zaznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta. Kąt prosty między bokami $4x$ i $3x$ oraz kąt $\alpha$ między bokami $4x$ i $40$.

Do wyznaczenia wartości $x$ wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa. Zatem:

${\left(3x\right)}^2+{\left(4x\right)}^2={40}^2$

$9x^2+16x^2=1600$

$25x^2=1600$

$x^2=64$.

Wobec tego $x=8$.

Przyprostokątne trójkąta mają długości $3x=24$ i $4x=32$.

Zatem obwód trójkąta jest równy:

$L=24+32+40=96$.

Pole trójkąta wynosi:

$P=\frac{1}{2}·32·24=384$.

Obliczymy pole i obwód równoległoboku o wymiarach jak na rysunku, jeżeli wiadomo, że $\sin \alpha =\frac{3}{4}$.

RbMOvpfmkpZDg

Rysunek przedstawia równoległobok. Z lewego górnego wierzchołka upuszczono na dolną podstawę wysokość $h$ i oznaczono między nimi kąt prosty. Wysokość dzieli podstawę na dwie części: po lewej krótsza część $y$ i po prawej dłuższa $x$. Między podstawą a lewym bokiem oznaczono ostry kąt wewnętrzny $\alpha$. Bok ukośny równoległoboku ma długość $8$, a krótsza przekątna łącząca kąty rozwarte równoległoboku ma długość $12$.

Rozwiązanie:

Jeżeli $\sin \alpha =\frac{3}{4}$, to zachodzi zależność:

$\frac{h}{8}=\frac{3}{4}$, czyli $h=6$.

Długości odcinków $x$ i $y$ obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$6^2+x^2={12}^2$

$36+x^2=144$

$x^2=108$

$x=6\sqrt{3}$,

$6^2+y^2=8^2$

$36+y^2=64$

$y^2=28$

$y=2\sqrt{7}$.

Zatem podstawa równoległoboku ma długość:

$x+y=6\sqrt{3}+2\sqrt{7}$.

Obwód równoległoboku wynosi:

$L=2·\left(6\sqrt{3}+2\sqrt{7}\right)+2·8=12\sqrt{3}+4\sqrt{7}+16$.

Pole równoległoboku jest równe:

$P=\frac{1}{2}·\left(6\sqrt{3}+2\sqrt{7}\right)·6=18\sqrt{3}+6\sqrt{7}$.

Wyznaczymy obwód i pole trapezu równoramiennego o kącie ostrym $\alpha$, jeżeli ramię oraz krótsza podstawa mają długość $a$.

Rozwiązanie:

Narysujmy trapez równoramienny i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RLyjZROoqi0jG

Rysunek przedstawia trapez równoramienny o ramionach oraz podstawie górnej $a$. Między ramionami a podstawą dolną oznaczono kąty $\alpha$. Z lewego górnego wierzchołka upuszczono na podstawę dolną wysokość $h$ i oznaczono kąt prosty między wysokością a podstawą. Upuszczona wysokość dzieli dolną podstwę na dwa odcinki. Lewy krótszy $y$ i prawy dłyższy $x$.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, wyznaczamy długości odpowiednich odcinków:

$\frac{h}{a}=\sin \alpha$, więc $h=a·\sin \alpha$,

$\frac{y}{a}=\cos \alpha$, więc $y=a·\cos \alpha$.

Zauważmy, że $x=a+2·y$, zatem:

$x=a+2·a·\cos \alpha$.

Pole tego trapezu wynosi:

$P=\frac{1}{2}·\left(2a+2a·\cos \alpha \right)·a·\sin \alpha =a^2·\left(1+\cos \alpha \right)·\sin \alpha$.

Obwód tego trapezu jest równy:

$L=2a+2a·\cos \alpha +2a=4a+2a·\cos \alpha =2a·\left(2+\cos \alpha \right)$.

Działka ma kształt trapezu, jak na poniższym rysunku. Obliczymy obwód i pole tej działki.

R1AKWckfyjtVY

Rysunek przedstawia trapez o podstawie górnej o długości $4$ metry, podstawie dolnej $a$. Lewy ukośny bok $c$ nachylony jest do podstawy dolnej pod kątem sześćdziesięciu pięciu stopni. Z lewego górnego wierzchołka upouszczono wysokość $h$ i oznaczono kąt prosty między podstawą a wysokością. Z prawego górnego wierzchołka również opuszczono wysokość $h$ i analogicznie oznaczono kąt prosty. W ten sposób wewnątrz trapezu powstał prostokąt o bokach górnym i dolnym $a$ oraz o dwóch pozostałych bokach $h$. Prawe ramię trapezu ma długość ośmiu mterów i jest nachylone do dolnej podstawy pod kątem pięćdziesięciu dwóch stopni. Opuszczona z prawej strony wysokość wydziela na dolnej podstawie kawałek $x$ i w ten sposób powstaje także wewnątrz trapezu trójkąt prostokątny o bokach $h$, $x$ oraz $8$ metrów.

Rozwiązanie:

Do wyznaczenia długości $x$, $h$ i $c$ użyjemy tablic wartości funkcji trygonometrycznych.

Zatem:

$\frac{h}{8}=\sin 52°$, więc $h=8·\sin 52°\approx 8·0,79=6,32$,

$\frac{x}{8}=\cos 52°$, więc $x=8·\cos 52°\approx 8·0,62=4,96$,

$\frac{6,32}{c}=\sin 65°$, więc $c\approx 6,97$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy zależność:

$y^2+{\left(6,32\right)}^2={\left(6,97\right)}^2$, więc $y\approx 2,94$.

Długość podstawy $a$ trapezu wynosi:

$a=4+x+y=4+4,96+2,94=11,9$.

Obwód trapezu jest równy:

$L=a+8+4+c=11,9+8+4+6,97=30,87 \mathrm{m}$.

Pole trapezu wynosi:

$P=\frac{\left(11,9+4\right)}{2}·6,32=50,244 {\mathrm{m}}^2$.

Obliczymy obwód rombu, jeżeli jego pole jest równe $48$, a cosinus kąta ostrego wynosi $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Rozwiązanie:

Narysujmy romb i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RICiDMVO6LwnV

Rysunek przedstawia romb o boku $a$. Z lewego górnego wierzchołka poprowadzono wysokość i zaznaczono kąt prosty między wysokością a podstawą. Wewnętrzny kąt ostry równoległoboku wynosi $\alpha$.

Jeżeli $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$, to korzystając ze wzoru na jedynkę trygonometryczną, obliczamy wartość sinusa tego kąta:

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha =\frac{1}{9}$, czyli $\sin \alpha =\frac{1}{3}$, bo $\alpha$ jest kątem ostrym.

Ze wzoru na pole równoległoboku $P=a^2·\sin \alpha$ obliczamy długość boku rombu:

$48=a^2·\frac{1}{3}$, więc $a^2=144$, czyli $a=12$.

Wobec tego obwód rombu jest równy:

$L=4·12=48$.

funkcje wyrażające stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych

suma długości wszystkich boków wielokąta

suma pól trójkątów, z których zbudowany jest dany wielokąt