Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją dotyczącą obliczania pola i obwodu trójkąta z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RHWVfNcRJ7AXt

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D19iDxrRQ

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej obliczania pól i obwodów wielokątów.

Polecenie 2

Okno ma kształt trapezu równoramiennego, w którym przekątna długości $6$ jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego sinus jest równy $\frac{2}{3}$ , a górna podstawa ma długość $4$ . Oblicz obwód oraz pole powierzchni tego okna.

Narysujmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

Rbroeqjb0ExC6

Rysunek przedstawia trapez o lewym ramieniu r, podstawie górnej b oraz podstawie dolnej a. Z lewego górnego wierzchołka upouszczono wysokość h i oznaczono kąt prosty między podstawą a wysokością. Z prawego górnego wierzchołka poprowadzono także przekątną do wierzchołka przeciwległego o długości 6. Przekątna ta nachylona jest do podstawy pod kątem α. Wysokość dzieli podstawę w taki sposób, że wewnątrz trapezu tworzy się trójkąt prostokątny o bokach: r, h, x, przy czym bok trójkąta x jest częścią dolnej podstawy trapezu.

Jeżeli $\sin α = \frac{2}{3}$ , to $\frac{h}{6} = \frac{2}{3}$ .

Wobec tego $h = 4$ .

Do wyznaczenia wartości $a$ korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$a^{2} + 4^{2} = 6^{2}$ , zatem $a = 2 \sqrt{5}$ .

Ponieważ $a = 4 + x$ , więc $x = 2 \sqrt{5} - 4$ .

Wobec tego podstawa dolna trapezu ma długość:

$a + x = 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 4 = 4 \sqrt{5} - 4$ .

Ramię trapezu obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + h^{2} = r^{2}$

$r^{2} = {(2 \sqrt{5} - 4)}^{2} + 4^{2}$

$r^{2} = 20 + 16 - 16 \sqrt{5} + 16$

$r = \sqrt{52 - 16 \sqrt{5}} \approx 4, 03$ .

Pole powierzchni okna jest równe:

$P = \frac{4 \sqrt{5} - 4 + 4}{2} \cdot 4 = 8 \sqrt{5}$ .

Obwód okna wynosi:

$L = 4 \sqrt{5} - 4 + 4 + 2 \cdot 4, 03 = 4 \sqrt{5} + 8, 06 \approx 17$ .

Przeczytaj

Sprawdź się